2023-2024学年河南省郑州市中牟县高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省郑州市中牟县高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，直线与直线垂直，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点，，点关于点对称的点为，点关于坐标平面对称的点为，则( )
A. B. C. D.
3.已知是等差数列，数列是递增数列，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，分别为，的中点，为底面圆周上一点，且，，则直线与直线所成角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知圆：与圆：相交于、两点，则圆：上的动点到直线距离的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于顶点的一点，点为坐标原点，过点作直线的垂线，与轴交于点，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
8.斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于，两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则点的轨迹为直线
B. 若，则点的轨迹为圆除去，两点
C. 若，则点的轨迹为椭圆
D. 若，则点的轨迹为双曲线
10.已知数列的前项和满足且，则下列说法正确的是( )
A. 数列是公比为的等比数列 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则数列是递增数列
11.如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，，若，，，则( )
A.
B.
C. ，
D.
12.已知，是椭圆：的两个焦点，双曲线：的一条渐近线与交于，两点，若，则( )
A. B.
C. 的离心率为 D. 的离心率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面的一个法向量为，点，，且，若点到平面的距离为，则 ______．
14.满足“直线与圆相切”的的一个值为______．
15.函数的所有正零点从小到大依次记为，，，则 ______．
16.已知一组圆，，，均与三个定圆，，相切，则圆，，，的面积和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：，直线在轴上的截距为，且．
求直线的方程；
直线经过与的交点，且与直线：平行，求直线与的交点到的距离．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知抛物线：的焦点为，，的方向向量为．
求抛物线的方程；
过点且斜率为正的直线交抛物线于，两点，且，求为坐标原点的面积．
20.本小题分
已知数列的前项和为，且满足
求证：数列为等比数列；
若，求的前项和．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点．
求证：；
在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求：，若不存在，请说明理由．
22.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆经过点．
求椭圆的方程；
经过的直线与椭圆交于，两点，求证：为定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设直线的倾斜角为，，
因为点，，可得，
又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
所以，可得．
故选：．
求出直线的斜率，由题意可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小．
本题考查直线垂直的性质的应用及直线的倾斜角的求法，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：空间直角坐标系中，点，，
点关于点对称的点为，点关于坐标平面对称的点为，
由题意可知，，
故．
故选：．
利用两点间距离公式能求出结果．
本题考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：设等差数列的通项公式为，，
又数列是递增数列，
则，，
即，
化简可得，，
即，，
当时，，则C正确，选项符号无法判定，
故选：．
根据等差数列与递增数列的概念列出不等式，即可得解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
所以直线与直线所成角的余弦值为，
所以直线与直线所成的角为．
故选：．
构建空间直角坐标系，应用向量法求直线与直线所成角的余弦值，即可求解．
本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，涉及两圆相交时公共弦的求法，属于基础题．
根据题意，联立圆、的方程可得直线的方程，求出圆的圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆：与圆：相交于、两点，
联立两个圆的方程可得，即直线的方程为，
圆：，其圆心为，半径为，
点到直线的距离，
则圆上的点到直线距离的最大值为；
故选：．
6.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点为，点是抛物线上异于顶点的一点，点为坐标原点，过点作直线的垂线，与轴交于点，
依题意，设，由，得为的中点，则，
则，易得直线的垂线的方程为，
令，得，故，由抛物线的定义可得，
故．
故选：．
设，求得直线的垂线的方程为，求出点的坐标，进而求解结论．
本题考查抛物线的几何性质，直线的斜率等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：当时，；
当时，，
，
可得，
所以．
故选：．
根据已知的递推关系式得到新等式，两式作差整理即可求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设的中点为，，，，
双曲线的渐近线方程化为，由、在渐近线上，
得，，
两式作差可得：，
即，，
又，，
设直线的倾斜角为，，，
则，则的斜率为，
得，即，．
双曲线的渐近线方程为，
故选：．
设的中点为，，，，由“点差法”及的斜率可得，再设直线的倾斜角为，由已知可得的斜率为，求出，则双曲线的渐近线方程可求．
本题考查双曲线的几何性质，训练了“点差法”的运用，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：：设，由，得，化简得，所以轨迹为一条直线，故A正确；
：因为，所以，所以点在以为直径的圆除去，两点上，故B正确；
：因为，所以点的轨迹是线段，故C错误；
：因为，由双曲线定义可得点的轨迹是双曲线，故D正确．
故选：．
：设，然后根据两点间距离公式化简方程即可判断；：根据圆的定义即可判断；：根据线段的定义即可判断；：根据双曲线的定义即可判断．
本题考查了轨迹方程，涉及到椭圆，双曲线，圆的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，，满足上式；
所以；
所以，
所以数列是公比为的等比数列，选项A正确；
若，则，解得，所以选项B错误；
若，则，选项C正确；
若，则，
当时，，则，
所以数列是递减数列，选项D错误．
故选：．
根据等比数列的定义与性质，利用前项和的定义，求出和的值，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了等比数列的定义与性质，以及前项和的定义应用问题，的中档题．
11.【答案】
【解析】解：设，则，；
对于连接，因为，，
所以，
，
则：，故A错误；
对于，因为，，
所以所以，即，故B正确；
对于因为，．
所以；
因为，所以，因为，所以，所以：，故C正确，D错误．
故选：．
直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：双曲线：的渐近线方程为，
不妨取为，如图所示，则直线的倾斜角为，
由对称性知，四边形是平行四边形，
因为，所以四边形为矩形，
所以，
因为，所以是边长为的等边三角形，
所以，即A正确，B错误；
由椭圆的定义知，，
所以椭圆的离心率，即C错误，D正确．
故选：．
先写出双曲线的渐近线方程，再证四边形是平行四边形，以及是边长为的等边三角形，然后逐一分析选项即可．
本题考查椭圆和双曲线的几何性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】或
【解析】解：根据题意，，，则，
又平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离，
变形可得，即或．
故答案为：或．
根据题意，由点到平面的距离公式可得关于的方程，解可得答案．
本题考查点到平面的距离计算，注意平面的法向量，属于基础题．
14.【答案】或，答案不唯一
【解析】解：圆的圆心为，半径，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
解得或．
故答案为：或，答案不唯一．
由圆与直线相切建立方程，求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：令，
可得或，解得所有的正零点为，，，，，，；
观察发现所有正零点构成首项为，公差为的等差数列，
因此，该数列的前项和为．
故．
故答案为：．
根据题意求函数的零点，观察发现所有正零点构成首项为，公差为的等差数列，进而利用等差数列的前项和公式得到答案．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，涉及到三角函数零点问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设：，：，：，
若圆与，内切，与内切时，设圆心为，半径为，可得，由可知，，且有两个；
同理，若圆与，外切，与内切时，可得，且有两个；
若圆与内切，与外切，与内切时，可得，且有两个；
若圆与内切，与外切，与内切时，可得，且有两个；
综上所述，共有个圆满足题意，面积和为．
故答案为：．
分所求圆与已知圆内切，外切，分别讨论求解即可．
本题主要考查圆和圆的位置关系，考查计算能力和分类讨论思想，属于中档题．
17.【答案】解：直线：的斜率为，因为，
所以直线的斜率为，
又直线在轴上的截距为，
由斜截式方程可知，直线的方程为；
联立方程得，解得，，
即直线，交点坐标为，
因为与直线：平行，设直线：，
因为直线经过点，所以，解得，
所以直线的方程为，
因为直线，的交点在直线上，所以交点到直线的距离等于直线，的距离，
即．
【解析】由直线的方程，可得它的斜率，再由两条直线垂直，可得直线的斜率，代入斜截式方程，可得直线的方程；
求出直线，交点坐标，由题意设直线的方程，将交点坐标代入，可得参数的值，再由平行线间的距离公式，可得直线与的交点到的距离．
本题考查直线平行的性质的应用及两条直线垂直的性质的应用，点到直线的距离等于平行线间的距离，属于基础题．
18.【答案】证明：取的中点，连接，，
，分别为，的中点，，，
又为的中点，，，
，，
四边形是平行四边形，
G.
又平面，平面，
平面；
解：在直三棱柱中，平面，
又，平面，，，
又，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
令，得
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】取的中点，连接，，利用线线平行证明线面平行；
建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角正弦值．
本题主要考查线面平行的证明，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：抛物线的焦点为，
因为的方向向量为，
所以，解得，
所以抛物线的方程为．
设直线的方程为，与轴的交点为，
联立，得．
所以，，
则，因为，
所以，
所以的面积．
【解析】根据直线的方向向量，可知直线的斜率为，利用斜率公式即可求出，进而求出抛物线的方程；
设直线的方程为，求出直线与轴的交点，再与抛物线方程联立，消元，利用韦达定理表示出，求出，根据条件，求出，利用面积公式即可求出结果．
本题考查抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，属中档题．
20.【答案】证明：当时，，解得，
当时，，，两式相减得，
化简得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列；
解：由可得，则，
所以，
令，
则数列的前项和为
，
因为数列的前项和为，
所以数列的前项和．
【解析】由题意得到，利用等比数列定义即可得证；
由题意得到，令，利用裂项相消求和和等比数列的求和公式即可求解．
本题考查了等比数列的证明和裂项相消求和，属于中档题．
21.【答案】解：证明：如图，取的中点，连接，
为的中点，且，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
又，
，
是的中点，
．
，，
为等腰直角三角形，，
连接，
为的中点，
，，
，，
，
．
由可知，
，，两两垂直，
以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，，，
假设在棱上存在点，设点，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，
，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，
故，
设平面与平面的夹角为，
则，，
整理得，
解得或舍去，
此时，，：，
故棱上存在点，当：时，平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】取的中点，连接，根据题意可得四边形是平行四边形，推出，又是的中点，即可得出答案．
连接，推出，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，假设在棱上存在点，设点，求出平面的法向量为，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，，进而可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
22.【答案】解：因为椭圆的离心率为，
所以，
又因为椭圆经过点，
所以，
解得，，
故椭圆的方程为：；
证明：椭圆的右焦点为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
则，
所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，
联立，整理可得，
显然，则，，
因为，
而，
，
所以．
即证得为定值，且定值为．
【解析】由离心率的大小，可得，的关系，再将点的坐标代入，可得，的关系，进而求出，的值；
分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，进而可得弦长的表达式，求出，的表达式，进而可得为定值，即证得为定值．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
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