2023-2024学年青海省西宁市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年青海省西宁市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点且与直线垂直的直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.如图，在平行六面体中，，，，点在上，且：：，则( )
A.
B.
C.
D.
3.若离心率为的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则( )
A. B. C. D.
4.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为( )
A. B. C. D.
6.若直线：和直线：间的距离为，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7.若直线：与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知抛物线：，过点的直线与抛物线交于，两点点在第一象限，点为抛物线的焦点，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的离心率为 B. 的最大值为
C. 的周长为 D. 存在点，使得为等边三角形
10.在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项中错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
12.已知圆：，圆：，则下列说法正确的是( )
A. 若点在圆的内部，则
B. 若，则圆，的公共弦所在的直线方程是
C. 若圆，外切，则
D. 过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线是圆的一条对称轴，则 ______．
14.已知，，空间向量若，则 ______．
15.已知抛物线：的焦点为，，为上一点，则的最小值为______．
16.任意，有，若，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆过点，和
Ⅰ求圆的方程；
Ⅱ求与垂直且被圆截得弦长等于的直线的方程．
18.本小题分
在棱长为的正方体中，点是的中点，点是中点．
证明：平面；
求到面的距离．
19.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求的通项公式；
记数列的前项和为，求．
20.本小题分
已知，是椭圆的两个焦点，，为上一点．
求椭圆的标准方程；
若为上一点，且，求的面积．
21.本小题分
如图，在五面体中，平面，，，为的中点，．
求异面直线与所成角的大小；
求二面角的余弦值．
22.本小题分
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点．
求抛物线的方程；
若直线与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，，在第一象限，，在第四象限，且，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设与直线垂直的直线方程为，将点代入可得：，解得，
即直线的方程为．
故选：．
由直线的垂直关系，设所求的直线的方程，将点的坐标代入，可得参数的值，即求出直线的方程．
本题考查两条直线垂直的性质的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为：：，所以，
则有：
．
故选：．
利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式．
本题考查空间向量的线性运算，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，渐近线方程为，
其中一条渐近线与直线垂直，
，得．
故选：．
根据双曲线离心率求得，再根据双曲线的一条渐近线与直线垂直列出，求解．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据等差数列的性质得：
故选A
先通过性质将转化为，再将转化为，求解．
本题主要考查等差数列的性质和项之间的关系．
5.【答案】
【解析】解：因为，所以，所以交点坐标为，
所以原点到交点的距离为．
故选：．
先求解出，的交点坐标，然后根据点到点的距离公式求解出结果．
本题考查的知识要点：两点间的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：直线：和直线：间的距离为，
，
解得或．
故选：．
利用两平行线间的距离公式直接求解．
本题考查实数值的求法，考查两平行线间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
联立方程，解得，
两直线的交点坐标为，
两直线的交点在第一象限，
，解得，
，
，
故选：．
由题意可知，联立两直线方程求出交点坐标，再由交点在第一象限列出不等式组，解出的取值范围，再利用直线倾斜角与斜率关系求出倾斜角的范围即可．
本题主要考查了直线的交点坐标，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意知，点，
设点，，其中，，
由于，所以，即，
将代入：得，
，，即，
故直线的斜率为，其方程为，
联立，可得，解得，
所以，
由抛物线的定义，得．
故选：．
先根据抛物线的定义，利用，可求得点的坐标，再利用点斜式写出直线的方程，并将其与抛物线的方程联立，求出点的纵坐标，然后由抛物线的定义，即可得解．
本题考查直线与抛物线的位置关系，熟练掌握抛物线的定义与几何性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由椭圆：可得，，
则，
故椭圆的离心率为，
即A正确；
由椭圆的性质，
当点为椭圆的右顶点时，
可得，
故B正确；
的周长为，
故C错误；
当点为椭圆的短轴的端点时，
可得，，
此时为等边三角形，
即D正确．
故选：．
由椭圆的性质，结合椭圆的定义逐一判断．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆的定义，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，
对于，，，
与既不平行也不垂直，
直线与平面不垂直，故A错误；
对于，，，
，
，故B正确；
对于，，，
与不平行，
平面与平面不平行，故C错误；
对于，，
，
即平面与平面垂直，故D正确．
故选：．
根据给定条件，利用空间向量的运算，即可证明判断位置关系．
本题主要考查了平面的法向量的应用以及利用向量的数量积判断向量的共线与垂直，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对选项：由等比数列的性质有，
即，解得，故A错误；
对选项：，，
，即，故B正确；
对选项：由，又，解得或，
当时，即，解得，
故，故C错误；
对选项：由，有，即，
故或，故D错误．
故选：．
对选项，根据等比数列等距片段的性质即可得；对选项，计算出与即可得到；对选项，借助，计算出与后再计算即可得到；对选项，直接计算即可得到．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若点在圆的内部，则有，即，解可得，A错误；
对于，若，圆方程为：，与圆：联立，可得，
即圆，的公共弦所在的直线方程是，B正确；
对于，圆：，其圆心为，半径为，
圆：，其圆心为，半径为，
若圆，外切，则有，解可得，C正确；
对于，点在圆的外部，
线段的中点为，，
故以为圆心，为直径的圆为，设该圆为圆，
切点、所在的直线就是圆和圆公共弦所在的直线，
联立两圆的方程，可得，即直线的方程是，D正确．
故选：．
根据题意，由点与圆的位置关系分析，由两圆公共弦所在直线方程的求法分析，由圆与圆的位置关系分析，由圆的切线性质以及两圆公共弦所在直线方程的求法分析，综合可得答案．
本题考查圆的方程的应用，涉及直线与圆、圆与圆的位置关系，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：圆的圆心坐标为，
因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在此直线上，
所以，解得．
故答案为：．
将问题转化为直线过圆心，从而得解．
本题考查直线与圆位置关系的应用，明确直线过圆心是关键，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，所以，即，得．
故答案为：．
根据，从而可求出，即可求解．
本题考查的知识要点：共线向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：如图，过作准线的垂线，垂足为，
则，
显然点在抛物线内，则当，，三点共线时，
最小，其最小值为．
故答案为：．
根据抛物线的几何性质，数形结合，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，，
当取正整数时，令，则，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
．
．
故答案为：．
根据条件构造等差数列，求出公差，由此能求出结果．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：Ⅰ设圆的方程为．
因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是圆方程的解，
故解此方程组，得，，．
故所求圆的方程为．
Ⅱ直线的方程为，故设直线的方程为．
由题意，圆心到直线与直线的距离相等，
故有，
解得或．
所以直线的方程为或．
【解析】Ⅰ设出圆的标准方程，代入三个点的坐标，求得，，则圆的方程可得．
Ⅱ设出直线的方程，利用点到直线的距离求得，则可求得直线的方程．
本题主要考查了直线与圆的问题的综合运用．考查了学生分析问题和基本的运算能力．
18.【答案】证明：以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，则，，所以，
又因为，
所以，
所以平面；
解：由知平面的法向量为，又因为，
所以到面的距离为．
【解析】建立空间直角坐标系，利用线面垂直时，直线的方向向量与平面的法向量共线证明即可；
利用空间向量，根据点到平面的距离公式求解即可．
本题考查了向量法在证明空间位置关系和求空间距离上的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为，
则
化简整理，得，
解得，
，．
由可得，，
则
．
【解析】根据已知条件列出关于，的方程组并求解，结合等差数列的通项公式可得答案；
利用裂项相消法可求得结果．
本题主要考查等差数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，等差数列的通项公式的运用，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
20.【答案】解：由，是椭圆的焦点，
且，则，
因为点在椭圆上，
由椭圆的定义可知，
则，
由，可得，
所以椭圆的标准方程：；
因为在椭圆上，所以，
又，，
所以，
所以，
所以．
【解析】根据焦距求出的值，再根据在椭圆上，，可得的值，由，求出的值，得到椭圆的标准方程；
利用余弦定理和面积公式求解出．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．
21.【答案】解：建系如图，设，则根据题意可得：．
，
，
异面直线与所成角的大小为；
设平面的法向量为，
则
取，
又根据题意可得平面的一个法向量为，
，又由图可知二面角为锐角，
二面角的余弦值为．
【解析】建系，利用向量法及向量的夹角公式即可求解；
建系，利用向量法及向量夹角公式即可求解．
本题考查异面直线所成角的求解，二面角的求解，向量法的应用，属中档题．
22.【答案】解：因为抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，
所以点和点不可能同时在抛物线上，
点和点不可能同时在抛物线上，
点和点也不可能同时在抛物线上，
所以抛物线过，两点，
不妨设，
因为抛物线经过点，
所以，
解得，
所以抛物线的方程为，
易知抛物线过点，符合题意，
综上，抛物线的方程为；
不妨设直线的方程为，，，，，
易知，且，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为，
所以，
即，
可得，
此时，
整理得
又因为，，
所以，
因为，
所以，
联立，
解得，
所以，，，
故．
【解析】由题意，先判断四个点有哪些符合题意，设出抛物线方程，将一个点代入，得到抛物线方程，再进行验证即可；
设出直线的方程和，，，四点的坐标，将直线的方程分别和抛物线和的方程联立，利用韦达定理和向量的运算进行求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
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