2023-2024学年安徽省合肥市肥东县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省合肥市肥东县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的开口方向是( )
A. 向右 B. 向上 C. 向左 D. 向下
2.在中，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，当时，随的增大而减小的是( )
A. B. C. D.
4.将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为( )
A. B.
C. D.
5.如图，是线段的黄金分割点，，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D. ：：
6.若点、和分别在反比例函数的图象上，且，则下列判断中正确的是( )
A. B. C. D.
7.若反比例函数的图象位于第一、三象限，则二次函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知中，是高，，，，则为( )
A. B. C. 或 D. 或
9.如图，在平面直角坐标系中，，将沿轴向上平移个单位长度至，连接，若反比例函数的图象恰好经过点及的中点，则值等于( )
A.
B.
C.
D.
10.的边上有、、三点，各点位置如图所示．若，，，则根据图中标示的长度，求四边形与的面积比为何？( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
11.如果：：，那么：______．
12.如图，直线若，，，则的长为______．
13.如图，中，，为上一点，且：：，，为垂足，连接，则的值等于______．
14.在二次函数中，为大于的常数．
若此二次函数的图象过点，则等于______；
如果，，都在此二次函数的图象上，且，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：．
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
与是位似图形，位似中心是点，请在图中标出点的位置，并写出点的坐标；
以点为位似中心，将放大为原来的倍得到其中与，与，与是对应点，并且每对对应点分别在点的同侧．
17.本小题分
已知抛物线．
用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；
取何值时，？
18.本小题分
如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，问经过几秒钟，与相似．
19.本小题分
学校科技创新社团制作了一种固定翼飞机的机翼模型，形状如图所示测得，，，，，求边的长参考数据：，，，，，
20.本小题分
如图放置的木板余料，下方边缘为，上方边缘呈抛物线形状，最大高度为如图，建立平面直角坐标系，在轴上，轴正好是此木板的对称轴．
求木板上方边缘对应的抛物线的函数表达式；
如图，若从此木板中切割出矩形，且边在轴上，求此矩形的最大周长；
若从此木板中横向切割出短边为的矩形木板若干块矩形的长边与轴共线或平行，然后拼接成一个短边为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出此时的切割方案，并直接写出拼接后矩形长边的最长长度结果保留根号
21.本小题分
如图，点是矩形的边的中点，是边上一动点，线段和相交于点，连接，过作交于点．
证明：；
已知，，，求的长；
当点为的中点时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：抛物线中，，
抛物线开口向上，
故选：．
根据，得出抛物线开口向上，即可求解．
本题考查了二次函数图象的性质，理解二次项系数大于，抛物线开口向上是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：在中，，
，
故选：．
根据余弦的定义列出算式，计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、，随的增大而增大，故本选项错误，
B、，随的增大而减小，故本选项正确，
C、，随的增大而增大，故本选项错误，
D、，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故本选项错误，
故选：．
利用一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质判定即可．
本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质，解题的关键是熟记一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质．
4.【答案】
【解析】解：将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为：，即．
故选：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5.【答案】
【解析】解：是线段的黄金分割点，，
，
，，，
故选：．
根据黄金分割的定义进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了黄金分割，勾股定理，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意，，
点、在第二象限，在第四象限，且在每个象限内随的增大而增大，
最小，
，
，，
．
故选：．
判断出各个点所在的象限，根据反比例函数的增减性可得其中两组点的大小关系，进而比较同一象限点的大小关系即可．
考查反比例函数图象上点的坐标的特点；用到的知识点为：第二象限点的纵坐标总大于第四象限点的纵坐标；在同一象限内，比例系数小于，随的增大而增大．
7.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
抛物线开口向上，
二次函数的对称方程为直线，
抛物线的顶点在轴左侧，
选项符合题意．
故选：．
先根据反比例函数的图象位于第一、三象限判断出的符号，再根据二次函数的对称轴方程即可得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质和图象，二次函数的性质和图象，熟知以上知识是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：当在三角形内部时，
，，
，，
．
当在外部时，
，
，，
，，
．
故选C．
分两种情况讨论，在三角形内部，在三角形外部，分别画出图形求解即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是分类讨论，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
9.【答案】
【解析】解：设，则，
点是的中点，，
，
反比例函数的图象恰好过点与的中点，
，
解得，
，
，
，
负数舍去，
，
，
故选：．
设，则由题意，进而求得，根据反比例函数系数，得到，解得，利用勾股定理求得的值，得到，代入解析式即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化平移，能够根据题意表示出、的坐标是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，，
∽，
，
，
，
，
，
，
：：，
同法可证∽，
，
，
：：，
：：：，
故选：．
证明∽，推出，推出，可得，推出：：，同法：：，由此可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】：
【解析】解：：：，
：．
故答案为：：．
根据比例式的性质求解即可求得答案．
本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
12.【答案】
【解析】解：，
，
即：
，
故答案为：．
由，得到，代入数据即可得到结果．
本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：过点作的垂线，垂足为，
，
．
在中，
，
即．
令，则，
．
：：，
，
．
在中，
，
则．
，
则．
．
在中，
．
故答案为：．
过点作的垂线，利用特殊角的三角函数值即可解决问题．
本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及巧用特殊角的三角函数值是解题的关键．
14.【答案】 或
【解析】解：将代入得：
，
解得：，
故答案为：．
，都在二次函数图象上，
二次函数的对称轴为直线，
，
，
解得，
，
点在对称轴左侧，点对称轴右侧，
在二次函数中，令，，
抛物线与轴的交点坐标为，
点关于对称轴对称点的坐标为，
，
，解得，
当点，都在对称轴左侧时，
随的增大而减小，且，
，解得，
此时满足的条件为：；
当点在对称轴左侧，点在对称轴右侧时，
，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，
解得：，
此时，满足的条件是：，
综上分析，或．
故答案为：或．
将代入计算得出值即可；
先根据点的纵坐标相等，可得对称轴，再分两种情况讨论得出结果即可．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是分类讨论．
15.【答案】解：
．
【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】解：如图，点的位置即为所求，；
如图，即为所求．

【解析】对应点的连线的交点即为位似中心；
利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质．
17.【答案】解：，
顶点坐标，
对称轴是直线；
令，即，
解得或，
抛物线开口向下，
当或时，．
【解析】用配方法时，先提二次项系数，再配方，写成顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标及对称轴；
令，确定函数图象与轴的交点，结合开口方向判断的取值范围．
本题考查了二次函数的三种形式，抛物线的顶点式适合于确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最大小值，增减性等；抛物线的交点式适合于确定函数值，，．
18.【答案】解：设经过秒后，与相似，则有，，，
当∽时，有：：，
即：：，
解得
当∽时，有：：，即：：，
解得．
所以，经过或时，与相似．
解法二：设后，与相似，则有，，，
分两种情况：
当与对应时，有，即，解得
当与对应时，有，即，解得
所以经过或时，以、、三点为顶点的三角形与相似．
【解析】设经过秒后，与相似，根据路程公式可得，，，然后利用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可．
本题综合了路程问题和三角形的问题，所以学生平时学过的知识要会融合起来．
19.【答案】解：作，，如图：
在中，，，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
【解析】作，，在中，求出，，证四边形是矩形得；在中求出即可求解
本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键．
20.【答案】解：由题意得：，抛物线的顶点为，
，．
设抛物线的解析式为，
，
解得：，
木板上方边缘对应的抛物线的函数表达式为；
设，
四边形为矩形，
，关于轴对称，
，
，，
矩形的周长
，
，
当时，矩形的周长的最大值为．
此矩形的最大周长为；
如图，切割方案如下：
设抛物线的顶点为，在上依次截取，分别过点，，，作的平行线，交抛物线与点，，，，，，，，则，，，为分割线，拼接后矩形长边的最长长度为．
令，则，
，
．
令，则，
，
．
令，则，
，
．
令，则，
，
．
拼接后矩形长边的最长长度为．
【解析】利用线段的长度得到，和顶点坐标，再利用待定系数法解答即可；
利用二次函数的解析式设，利用矩形的性质和轴对称的性质求得点的坐标，进而求得线段，的长度，利用矩形的周长的性质求得矩形的周长，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论；
设抛物线的顶点为，在上依次截取，分别过点，，，作的平行线，交抛物线与点，，，，，，，，则，，，为分割线，拼接后矩形长边的最长长度为分别令，，，，依次求得分割线的长度，相加即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，矩形的性质，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
21.【答案】证明：，
，
由题意知，，，
，
∽，
，
；
，
即，
，
∽，
，
，
，
，
在矩形中，，
∽，
，即，
；
如图，延长交的延长线于点，
点是的中点，
，
，
，
，
≌，
，
又，
，
又点为的中点，
，
，，
，
，
由题意知，，
∽，
．
【解析】判断出，进而得出∽，即可得出结论；
先判断出∽，得出，进而判断出，再判断出∽，即可得出结论；
先判得出≌，得出，进而判断出，再判断出，，进而判断出，判断出∽，即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．
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