2023-2024学年江西省九江市六校高二（上）期末数学试卷（北师大版）（含解析）

2023-2024学年江西省九江市六校高二（上）期末数学试卷（北师大版）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，若则( )
A. B. C. D.
3.现有名北京冬奥会志愿者，其中名女志愿者，名男志愿者随机从中一次抽出名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务则抽出的名都是女志愿者的概率是( )
A. B. C. D.
4.若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则( )
A. B. C. D. 与斜交
5.已知双曲线的离心率是，，分别是其左、右焦点，过点且与双曲线经过第一、三象限的渐近线平行的直线方程是( )
A. B.
C. D.
6.设，则( )
A. B. C. D.
7.对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
8.已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，对于直线：，下列说法中正确的是( )
A. 的斜率为 B. 在轴上的截距为
C. 不可能平行于轴 D. 与直线垂直
10.在长方体中，，，则( )
A. 直线与平面所成角的余弦值为
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 点到平面的距离为
D. 点到平面的距离为
11.一般地，我们把离心率相等的两个椭圆称为相似椭圆已知椭圆和椭圆是相似椭圆，则下列结论中正确的是( )
A. 椭圆与椭圆相似
B. 可以取
C. 可以取
D. 双曲线的离心率为
12.由直线：上的一点向圆：引两条切线，，，是切点，则( )
A. 线段长的最小值为
B. 四边形面积的最小值为
C. 的最大值是
D. 当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图所示，在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则______用，，表示．
14.从集合中任取个元素分别作为直线方程中的、、，所得的经过坐标原点的直线有______条用数值表示
15.若圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，，且则圆的标准方程为______．
16.过点作斜率为的直线交双曲线于，两点，线段的中点在直线上，则实数的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
直线与圆交于、两点，、两点的坐标分别为，，且，是方程的两根．
求弦的长；
若圆的圆心为，求圆的一般方程．
18.本小题分
如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且．
试用基底表示向量；
求线段的长．
19.本小题分
已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为．
求动圆圆心的轨迹的方程；
过轨迹上一个定点引它的两条弦，，若直线，的斜率存在，且直线的斜率为证明：直线，的倾斜角互补．
20.本小题分
如图，在中，，于现将沿折叠，使为直二面角如图，是棱的中点，连接、、．
证明：平面平面；
若，且棱上有一点满足，求二面角的正弦值．
21.本小题分
在过去三年防疫攻坚战中，我国的中医中药起到了举世瞩目的作用某公司收到国家药品监督管理局签发的散寒化湿颗粒药品注册证书，散寒化湿颗粒是依据第六版至第九版新型冠状病毒肺炎诊疗方案中的“寒湿疫方”研制的中药新药初期为试验这种新药对新冠病毒的有效率，把该药分发给患有相关疾病的志愿者服用．
若位志愿者中恰有人服药后有效，从这位患者中选取人，以表示选取的人中服药后有效的人数，求的分布列和数学期望；
若有组志愿者参加试验，甲，乙，丙组志愿者人数分别占总数的，，，服药后，甲组的有效率为，乙组的有效率为，丙组的有效率为，从中任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自乙组的概率．
22.本小题分
设，为椭圆的左、右两个焦点，为椭圆上一点，且．
求的值；
若直线：与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线经过点，证明：为定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
抛物线的焦点在轴上，且开口向右，，由此可得抛物线的准线方程．
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键．
【解答】
解：抛物线的焦点在轴上，且开口向右，，
，
抛物线的准线方程为．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：随机变量，
其图象关于直线对称，
，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：现有名北京冬奥会志愿者，其中名女志愿者，名男志愿者，
随机从中一次抽出名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务，
基本事件总数，
抽出的名都是女志愿者包含的基本事件个数，
则抽出的名都是女志愿者的概率是．
故选：．
基本事件总数，抽出的名都是女志愿者包含的基本事件个数，由此能求出抽出的名都是女志愿者的概率．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，直线的方向向量为，平面的法向量为，
易得，
又由直线在平面外，则有．
故选：．
根据题意，分析可得，由直线与平面的位置关系分析可得答案．
本题考查空间向量的应用，涉及直线与平面位置关系的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由得，双曲线的右焦点是，
经过第一、三象限的渐近线方程是
于是所求的直线方程是，
即．
故选：．
利用双曲线的离心率，求出，求出渐近线方程，求出焦点坐标，利用点斜式求解直线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据二项式展开式：，；
故当时，系数为，
故．
故选：．
直接利用二项式的展开式求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：若，则，即，
由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面；
反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时，
，可取任意值，不一定有，
则是，，，四点共面的充分不必要条件．
故选：．
从共面向量定理出发，判断对于空间任意一点和不共线三点，，，点满足，且向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案．
本题考查共线向量与共面向量定理，考查充要条件的判断，考查计算能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为椭圆方程为，
所以，，，
又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，
所以垂直平分线段，所以，
又因为，所以，，
在直角三角形中，，
于是的面积为．
故选：．
由题意得到垂直平分线段，则，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求解．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：直线：，
则的斜率为，故A错误；
令，解得，
故在轴上的截距为，故B正确；
当时，直线：，平行于轴，故C错误；
直线的斜率为，
直线的斜率为，
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合直线的斜率、截距的定义，以及直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：在长方体中，，，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
，，，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
对于，，
设直线与平面所成角为，
直线与平面所成角的正弦值为：
，
直线与平面所成角的余弦值为，故A错误；
对于，，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为，故B正确；
对于，，
点到平面的距离为，故C正确；
对于，，
点到平面的距离为，故D正确．
故选：．
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
本题考查线面角、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意可得或，
解得或，，选项正确；
椭圆与椭圆的离心率分别为，，
椭圆与椭圆相似，选项正确；
双曲线的离心率为或，
即双曲线的离心率为或，选项错误．
故选：．
根据椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，即可分别求解．
本题考查椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：将圆：化为标准方程：，其圆心为，半径为．
对于，，所以线段长的最小值为，故A对；
对于，四边形面积的最小值为，故B错；
对于，因为，
所以的最小值为，故C错；
当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为，即，故D对．
故选：．
结合图形，由圆与直线相切的相关知识逐一判定各选项即可．
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：为的中点，
，
又为中点，
，
．
故答案为：．
根据向量加法与减法法则可以直接得到结果．
本题主要考查向量的加法与减法法则，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：若直线方程经过坐标原点，则，那么，任意取两个即可，有，
故答案为：．
先根据条件知道，再根据计算原理计算即可．
本题考查了直线过原点的条件和计数原理的应用．
15.【答案】
【解析】解：圆与轴相切于点，，
则圆心横坐标为，圆的半径，即圆心纵坐标为，
故圆的标准方程为．
故答案为：．
根据已知条件呢，结合切点的性质，依次求出圆心、半径，即可求解．
本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，，线段的中点坐标为，则，
因为，两点在双曲线上，
所以，两式相减得，，
又直线过点，所以，
所以，解得，
所以，
联立，得，
因为直线与双曲线有两个交点，所以，即，
所以．
故答案为：．
设线段的中点坐标为，结合点差法与斜率公式，可得，从而求得的值，再联立直线与双曲线的方程，利用，可得的取值范围，进而得解．
本题考查直线与双曲线的位置关系，熟练掌握点差法及其使用条件，直线与双曲线的交点个数问题是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为直线的斜率为，，，
于是由弦长公式得，，即弦的长为；
圆心到直线的距离，
设圆的半径为，则．
因此圆的半径长为，则圆的标准方程是，即．
【解析】利用弦长公式即可得；利用点到直线的距离公式可得半径，从而确定圆的方程．
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
18.【答案】解：连接，延长，交于，
由为的重心，得是边上的中线，且，
结合，得，
因为，所以，整理得，
因此，；
因为底面，，底面是边长为的正方形，
所以，，，
可得
，
所以，即线段的长为．
【解析】连接，延长，交于，根据三角形重心的性质与该四棱锥的结构特征，算出用基底表示向量的式子；
根据题意，、、两两垂直，可用向量数量积的运算性质，结合题中所给的数据算出线段的长．
本题主要考查三角形重心的性质、空间向量的线性运算、向量的数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．
19.【答案】解：设动圆圆心的坐标为，则，
整理得，，故所求动圆圆心的轨迹的方程为．
证明：设，，则有，，，
直线的斜率为，所以，
于是
，
故直线，的倾斜角互补．
【解析】设动圆圆心的坐标为，由题意可得，化简整理即可求得动圆圆心的轨迹的方程；
由两点的斜率公式，结合已知条件计算，即可得证．
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】证明：在图中，，是的中点，
，又为直二面角，，
底面，而平面，
，且，平面平面，
因此平面，又平面，
平面平面；
解：以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
因，所以，那么，
设平面的法向量，
由且，得且，取，则，
设平面的一个法向量，，
则，即，令，则，所以，
于是，
所以二面角的正弦值为．
【解析】证明，，通过底面，证明，然后推出平面，即可证明平面平面；
以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可求出正弦值．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
21.【答案】解：由题意可知的可能取值有、、、，
又，，
，，
所以随机变量的分布列如下表所示：
所以；
设“任取一人新药对其有效”，
“患者来自第组”，分别对应甲，乙，丙，
则，且，，两两互斥，根据题意得：
，，，
，，，
由全概率公式得
，
任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自于乙组的概率：
，
所以任意选取一人，发现新药对其有效，则他来自乙组的概率为．
【解析】由题意可知的可能取值有、、、，分别求出相应的概率，进而求解；
由全概率公式即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，条件概率与全概率公式的应用，贝叶斯公式的应用，属中档题．
22.【答案】解：由椭圆的方程可得，，，
因为，则的横坐标为，代入到椭圆的方程可得，
即的纵坐标的绝对值为，
所以，，
因为，即，
解得；
证明：由可得椭圆的方程为：，
设，，
联立，整理可得：，
，即，
且，，
所以的中点，
因为的中垂线过，所以，
即，
整理可得：．
即证明为定值，且定值为．
【解析】由，可得点的横坐标，代入椭圆的方程，可得点的纵坐标，求出，的表达式，由题意可得的值；
联立直线的方程与椭圆的方程，两个两根之和，求出的中点的坐标，由题意可得，由斜率之积为，整理可证得为定值．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
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