2023-2024学年福建省福州市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.设命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.在下列区间中，方程的实数解所在的区间为( )
A. B. C. D.
4.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
5.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知为锐角，，则( )
A. B. C. D.
8.某工厂产生的废气经过过滤后排放已知过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：的关系为且，且，其图象如图，则污染物减少至少需要的时间约为
参考数据：，( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数的部分图象如下所示，则( )
A.
B. 在上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于原点对称
11.已知函数的定义域为，，都有，且，则( )
A. B. C. 是增函数 D. 是偶函数
12.已知函数若关于的方程有个实数解，，，则( )
A.
B.
C.
D. 关于的方程恰有个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数且的图象过定点，则该定点的坐标是______．
14.已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角正角的弧度数为______．
15.已知函数不恒为，且同时具备下列三个性质：
；是偶函数；，，．
写出一个函数 ______．
16.用表示函数在闭区间上的最大值，已知．
若，则的取值范围是______．
若，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求的最小值；
若恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点．
求，，的值；
将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值．
19.本小题分
已知函数，．
求的单调递增区间；
求在区间上的最大值和最小值．
20.本小题分
已知是自然对数的底数，．
判断函数在上的单调性并证明；
解不等式．
21.本小题分
已知函数为奇函数，．
求实数的值；
，，使得，求实数的取值范围．
22.本小题分
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具如图，假定在水流量稳定的情况下，一个半径为的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转圈、筒车的轴心距离水面的高度为设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：在水面下则为负数若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：之间的关系为．
求，，，的值；
若盛水筒在不同时刻，距离水面的高度相等，求的最小值；
若筒车上均匀分布了个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒距离水面的高度差的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可得解．
【解答】解：．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：因为：，为全称命题，
则：，，
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3.【答案】
【解析】解：构造函数，在上单调递增，
则，，
，
故方程的解所在区间是．
故选：．
由函数零点判定定理求其零点所在区间，即可求解．
本题考查函数零点判定定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：集合，
，
则．
故选：．
求出集合，由此能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，
又，
解得，充分性成立，
若，
又，
解得，必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
由题意根据充分条件、必要条件的定义即可判断．
本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，
，，
，，
．
故选：．
利用指数函数和对数函数的单调性求解．
本题主要考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为为锐角，，
所以．
故选：．
利用诱导公式和二倍角余弦公式直接求解即可．
本题主要考查了诱导公式和二倍角余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题有，解得，
所以污染物减少至少需要的时间约为小时．
故选：．
由已知条件结合图象即可求解．
本题考查了函数的实际应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，，
故，故A正确；
，
当时，
则，故B错误；
令，，满足，但，故C错误；
在上单调递增，
，
，
故D正确．
故选：．
结合函数的性质，特殊值法，以及不等式的性质，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由图象可得，，即，
所以，，
因为，所以，A正确；
令，，
则，，
当时，可得函数的一个单调递增区间为，B错误；
当时，函数取得最小值，符合题意；
将的图象向左平移个单位长度后所得的函数为为奇函数，图象关于原点对称，D正确．
故选：．
由已知结合五点作图法可求函数解析式，结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
本题综合考查了正弦函数的性质在函数解析式求解中的应用，还考查了函数图象的变换，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：令，则有，
解得，故B正确；
令，，则有，
即，解得，故A错误；
令，则有，
即，
所以，
所以为增函数，且为非奇非偶函数，故C正确、D错误．
故选：．
用赋值法判断，；求出函数的解析式，从而判断，．
本题考查了用赋值法求抽象函数的值、判断抽象函数的单调性和奇偶性，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意作出的图象：
要使有个实数解，只需，且，，
对于，作出时，的部分图象关于轴的图象，可知交点在与之间，
则，所以，对；
对于，据图可知，，所以，对；
当时，，，即，故C错；
因为，所以，所以关于的方程有三个实数根，对．
故选：．
作出的图象，据图分析三个选项，并得到的范围，求出的范围，再进一步研究选项．
本题考查函数的零点与方程根，以及两函数图象交点间的关系，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：对于函数且，令，求得，
可得它的图象过定点．
故答案为：．
令幂指数等于零，求出、的值，可得函数的图象过定点的坐标．
本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为扇形的弧长是，面积是，
设扇形的圆心角正角的弧度数为，半径为，
所以，，
所以，可得．
故答案为：．
根据扇形的弧长公式和面积公式即可求解．
本题考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．
15.【答案】答案不唯一
【解析】解：根据题意，如函数，
有，
其定义域为，，则为偶函数，
，
故是一个符合题意的函数．
故答案为：答案不唯一．
根据题意，由对数函数的性质，分析可得答案．
本题考查函数解析式的求法，注意对数的运算，素养基础题．
16.【答案】
【解析】解：由恒成立，即，
由于，所以；
时，，，，
此时，不符合情况；
时，，，
，此时，不符合情况；
时，，，或，
成立时，，
，由于，
所以
故答案为：；．
由题意可得恒成立，再由题意可得的范围；
分类讨论在不同的范围，是否满足条件，可得的范围．
本题考正弦函数定义域与值域的知识，正弦函数最值问题，分类讨论的思想，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
所以．
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为．
由知，函数的最小值为，
因为恒成立，所以，解得，
所以的取值范围是．
【解析】根据，利用基本不等式求最小值即可；
由知，函数的最小值为，由恒成立，可得，再求出的取值范围即可．
本题考查了利用基本不等式求函数的最值，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属基础题．
18.【答案】解：角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点．
故，，，．
根据题意可得，
，
所以．
【解析】由任意角的三角函数的定义可求得，，的值；
依题意，得，将所求关系式中的“弦”化“切”，可求得答案．
本题考查两角和与差的三角函数及任意角的三角函数的定义，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：根据题意可得，，
即，所以，，
因为，所以，
所以，即，
所以
，
所以函数的单调递增区间满足：，，
解得，，
所以的单调递增区间为，；
因为，所以，
所以当，即时，；
当，即时，．
即函数在区间上的最大值和最小值分别为，．
【解析】由及的范围，可得角的大小，整理可得函数的解析式；
由的范围，可得角的整体的范围，再由正弦函数的性质可得函数的最值．
本题考查三角函数的性质的应用及三角恒等变换的应用，属于中档题．
20.【答案】解：函数在上单调递增，
证明如下：
任取，，且，
则
，
因为，，且，
所以，
所以，，，
故，
即，
所以在上单调递增．
函数的定义域为，且，
所以是偶函数，
又由知在上单调递增，
则在上单调递减，
所以，
两边平方可得，
解得或，
故不等式的解集为．
【解析】利用函数单调性的定义证明；
首先证明函数是偶函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性解不等式．
本题考查了函数的性质，重点考查了导数的应用，属中档题．
21.【答案】解：因为是奇函数，所以，
所以，所以，
所以，解得，
当时，，舍去；
当时，函数的定义域为，符合题意．
所以实数的值为．
设，，
由，，使得，可得．
由知，，
当时，，所以．
又，
设，则函数，．
当时，，可得，符合题意；
当时，，图象的对称轴为．
当时，对称轴，
所以在区间上单调递减，故，
由，得，即，所以；
当时，若，即时，，
由，得，所以；
若，即村，，
由，得，所以，
综上，的取值范围是．
【解析】根据为奇函数，利用定义求出的值，再检验即可；
设，，由，，使得，可得，再求出的取值范围．
本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，利用函数恒成立与能成立求参数的取值范围，考查了方程思想、分类讨论思想和转化思想，属中档题．
22.【答案】解：由题意可求，，
因为筒车转一周需要分钟，
所以，
所以，
因为，可得，
又，可得；
由知，，
不妨设，由题意得，
故，
所以，或，，
当，时，解得，，
故，当且仅当，时，等号成立，
此时的最小值为；
当，时，解得，
显然当时，取得最小值，
综上，的最小值为；
设在筒车运行一周的过程中，相邻两个盛水筒距离水面的高度差为，
两个相邻的盛水筒的位置分别用和表示，则，
所以
，，
当，即，时，
高度差的最大值为．
【解析】由题意可求，的值，利用正弦函数的周期公式可求的值，由，可得，结合，可得；
根据正弦方程，求解，的关系，通过分类讨论得到的最小值；
设在筒车运行一周的过程中，相邻两个盛水筒距离水面的高度差为，利用三角函数恒等变换可求，，进而利用正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查三角函数的应用，三角函数解析式的确定，正弦型函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
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