山东省菏泽市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（含答案）

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2023—2024学年高二上学期教学质量检测
数学试题
2024.01
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间20分钟.
2.答题前，考生务必将姓名 班级等个人信息填写在答题卡指定位置.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答超出答题区域书写的答案无放，在试题卷 草稿纸上作答无效.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知分别是平面的法向量，若，则（ ）
A.-7 B.-1 C.1 D.7
2.已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.
4.记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A.-12 B.-10 C.10 D.12
5.已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（ ）
A.244 B.243 C.242 D.241
6.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互索的正整数的个数.例如.则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.数列是等比数列 D.
7.一平面截正四棱锥，与棱的交点依次为，已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，分别为双曲线的左，右焦点，在左支上，在右支上，且，，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程为：，另一组对边.则下列命题正确的有（ ）
A.
B.与距离相等的点的轨迹方程为
C.该菱形一定有内切圆和外接圆
D.若直线经过抛物线的焦点，则
10.已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）
A. B.
C.平面 D.四边形为矩形
11.已知等差数列的前项和为是互不相同的正整数，且，若在平面直角坐标系中有点，则下列选项成立的有（ ）
A.直线与直线的斜率相等 B.
C. D.
12.为坐标原点，以为准线，为焦点的抛物线的方程为：.过的直线交于两点，于于为线段的中点.下列选项正确的有（ ）
A.面积的最小值为4
B.
C.直线与轴交于点，过点作的垂线与轴交于点，则
D.，当且仅当轴时取等号
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.直线被圆C：截得的弦长为__________.
14.已知四面体是棱的中点，设.则__________（用向量表示）.
15.已知圆上恰有3个点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为__________.
16.如果数列满足以下两个条件，称该数列为“闭数列”.
（1）已知数列各项均为正数，且单调递增；
（2）数列的前项组成的集合记为，对于任意，如果，则.
已知数列为“闭数列”，且，则__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知等差数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18.（12分）如图，是底面边长为1的正四棱柱.
（1）已知点到平面的距离为，求正四棱柱的高；
（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值.
19.（12分）直线与双曲线的两条渐近线交于两点，分别为双曲线的左 右焦点.
（1）求过点的圆的方程；
（2）设（1）中的圆和双曲线在第一象限交于点，求圆在点处的切线方程.
20.（12分）“天眼”探空 神舟飞天 高铁奔驰 北斗组网等，我国创造了一个又一个科技工程奇迹.为了顺应我国科技发展战略，某高科技公司决定启动一项高科技项目，启动资金为2000亿元，为保持每年可获利20%，每年年底需从利润中取出200亿元作为研发经费.设经过n年之后，该项目资金为亿元.
（1）写出的值，并求出数列的通项公式.
（2）求至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标.（取）
21.（12分）已知数列的首项为，前项和为，且.
（1）求证：数列为等差数列.
（2）若数列公差为，当取最小值时，求的值.
22.（12分）已知两圆.一动圆与圆相外切，与圆相内切.设动圆的圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，其中为的等比中项，以为直径的圆的面积为，以为直径的圆的面积为的面积为，求的最小值.
2023—2024学年高二上学期教学质量检测
数学参考答案
一 单选题
1-8DABB ACBA
二 多选题
9.AB 10.AC 11.ACD 12.BC
三 填空题
13. 14. 15.
16.
参考，由题意得
…………………
等式两边叠加
…………………
等式两边叠加
四 解答题
17.解：（1）设等差数列的首项为，公差为，由所以，
解得，所以
（2），由（1）得，所以，即是首项为3，公比为9的等比数列，
所以的前项和
18.（1）建立如图所示空间直角坐标系，由是底面边长为1的正四棱柱，设高为，则，
则，设平面的法向量为
则即令，则，则
已知点到平面的距离为，所以，即，
解得，所以正四棱柱的高是2
（2）设平面设平面的法向量为，由（1），
则，即，令，则，即，
由（1）知平面的法向量为
设向量得夹角为，则，
所以平面与平面所成角的余弦值为
19.解：（1）由双曲线，得左焦点，
又直线与双曲线的两条渐近线交于两点，将代入，
得，得两点得坐标分别为
所以，则过点的圆的方程为.
（2）由（1）得圆的方程为.解方程组得切点，
所以，又过点的圆的切线的斜率，得，
所以过点的圆的切线方程为，即
20.（1）由题意知，
而且.
可知
又因为，所以可知，从而可知为等比数列.
因此
所以.
（2）令，可得，因此，
所以
因此.
即至少要经过4年，项目的资金才可以达到或超过翻两番的目标.
21.（1）对于
相减，得
递推可得：
两式相减：得
所以：
所以
即为等差数列.
（2）
整理得，解得或（舍去），
即，则，
当时，数列单调递减，当时，数列单调递增，
当时，；当时，，
故当时，取最小值.
22.解：（1）设动圆圆心为，则，根据椭圆的定义，知动圆圆心的轨迹为：以为焦点，长轴为4的椭圆，即
（去或不去椭圆左顶点都正确）
（2）设直线，
得（1）
由得，得
所以：.即，得.
代回（1）式，得，由，得.
所以，.（当且仅当时取等）