合肥一中2024届高三上学期期末质量检测卷
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后﹐用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. D.
2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图为2021～2022年中国十大行业人工智能应用渗透率，则下列说法错误的是（ ）
A. 2021年与2022年人工智能应用渗透率最低的行业都是教育
B. 与2021年相比，2022年人工智能应用渗透率增长最快的是金融行业
C. 2021年十大行业人工智能应用渗透率的极差为56%
D. 2022年十大行业人工智能应用渗透率的中位数是42.5%
4. 求值：（ ）
A. B. C. 1 D.
5. 已知抛物线：与抛物线：，则（ ）
A. 过与焦点的直线方程为 B. 与只有1个公共点
C. 与x轴平行直线与及最多有3个交点 D. 不存在直线与和都相切
6. 若将确定的两个变量y与x之间的关系看成，则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7. 中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为8.96）（ ）
A. 1kg B. 2kg C. 3kg D. 0.5kg
8. 若数列满足：当时，（），则数列的前28项和为（ ）
A. 2048 B. 2046 C. 4608 D. 4606
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上一点，则（ ）
A. B. 的最大值为8
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
10. 已知A，B是随机事件，若且，则（ ）
A. B. A，B相互独立
C. D.
11. 已知点，（）是函数（）图象上两点，则（ ）
A. 对任意点A，存在无数个点B，使得曲线在点A，B处切线倾斜角相等
B. 若存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则
C. 若对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1，则a的取值范围是
D. 若且曲线在点A，B处切线都过原点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的系数为____________ ．
13. 已知函数（），对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为____________．
14. 如图，已知正方体的棱长为2，点分别为棱，，，的中点，且点都在球的表面上，点是球表面上的动点，当点到平面的距离最大时，异面直线与所成角的余弦值的平方为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）若的面积，，求a的值；
（2）若函数在区间上有零点，求t的取值范围．
16. 我国一科技公司生产手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数作为的值．
参考数据：若，则．
（1）求的值；
（2）估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？
（3）若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有个零部件的质量分数在内，则n为何值时，的值最大？
17. 如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，．
（1）在棱上找一点G，使得平面平面，并证明你的结论；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知双曲线：（，）的一条渐近线与双曲线：的一条渐近线垂直，且的一个焦点到的一条渐近线的距离为2．
（1）求方程；
（2）若上任意一点关于直线的对称点为，过分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于求证：为定值．
19. 同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（modm）（“|”为整除符号）．
（1）解同余方程（mod3）；
（2）设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若（），数列的前n项和为，求；
②若（），求数列的前n项和．合肥一中2024届高三上学期期末质量检测卷
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后﹐用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A 1 B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的四则运算，结合复数的定义得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】因，
又的实部与虚部相等，则，所以．
故选：A．
2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，建立条件关系即可求实数的取值范围．
【详解】因为，，
若，则，
则，所以．
故选：B．
3. 如图为2021～2022年中国十大行业人工智能应用渗透率，则下列说法错误的是（ ）
A. 2021年与2022年人工智能应用渗透率最低的行业都是教育
B. 与2021年相比，2022年人工智能应用渗透率增长最快的是金融行业
C. 2021年十大行业人工智能应用渗透率的极差为56%
D. 2022年十大行业人工智能应用渗透率的中位数是42.5%
【答案】B
【解析】
【分析】根据统计图中的数据判断即可.
【详解】由图易得A正确；
对于选项B:互联网的增长率为：；金融的增长率为：；
政府的增长率为：；电信的增长率为：；
显然金融的增长率小于电信的增长率；增长最快的不是金融行业，故B错误；
对于选项C:2021年十大行业人工智能应用渗透率的极差为，故C正确；
对于选项D:2022年十大行业人工智能应用渗透率的中位数是，故D正确．
故选：B．
4. 求值：（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用凑角及两角和的正弦公式，结合降幂公式及两角和的正弦公式的逆用，然后再利用二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】
，
．
故选：D．
5. 已知抛物线：与抛物线：，则（ ）
A. 过与焦点的直线方程为 B. 与只有1个公共点
C. 与x轴平行的直线与及最多有3个交点 D. 不存在直线与和都相切
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，利用抛物线的焦点的定义及截距式即可判断；对于B，联立方程组求解方程组即可判断；对于C，利用抛物的性质即可判断；对于D，根据已知条件及直线与抛物线的位置关系即可判断.
【详解】由题意可知的焦点为，的焦点为，
过与焦点的直线方程为，即，A错误；
由，解得或，
所以与有，2个公共点，B错误；
由抛物线：知，开口向右，对称轴为轴，
所以与x轴平行的直线与有1个交点，
由抛物线：知，开口向上，对称轴为轴，
所以与最多有2个交点，C正确；
与关于直线对称，若存在直线与和都相切，则该切线也关于直线对称，不妨设为，与联立得，由得，
所以直线与和都相切，D错误．
故选：C．
6. 若将确定的两个变量y与x之间的关系看成，则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数的运算及排除法即可求解.
【详解】由得，
显然，所以，
由，得，
所以，排除AB，
由，可排除D．
故选：C．
7. 中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为8.96）（ ）
A. 1kg B. 2kg C. 3kg D. 0.5kg
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆锥的体积公式，结合质量公式求解即可.
【详解】由题意可得惊鸟铃的体积约为长，
所以该惊鸟铃的质量约为（kg）．
故选：A．
8. 若数列满足：当时，（），则数列的前28项和为（ ）
A. 2048 B. 2046 C. 4608 D. 4606
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分析可知：满足的和为，利用裂项相消法运算求解.
【详解】满足的n的值共有k个，对应的数列的项也有k个，
这k项的和为，
设，
且当时，可得，此时的最大值为28，
可知数列的前28项和就是数列的前7项和，
其和为．
故选：B．
【点睛】方法点睛：裂项相消的规律
（1）裂项系数取决于前后两项分母的差．
（2）裂项相消后前、后保留的项数一样多．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P是C上一点，则（ ）
A. B. 的最大值为8
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式判断AB；设出点的坐标，利用向量的坐标运算，结合椭圆的范围计算判断CD.
【详解】由椭圆定义得，，，A错误；
，当时取等号，B错误；
，设，则，，，
，由，得，C正确；
，，D正确.
故选：CD
10. 已知A，B是随机事件，若且，则（ ）
A. B. A，B相互独立
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】将事件与之间关系表示出来，利用概率公式逐一判断即可.
【详解】因为，
，
因为，所以，A正确；
因为，
所以，，，
B错误，C正确；
，D正确．
故选：ACD．
11. 已知点，（）是函数（）图象上两点，则（ ）
A. 对任意点A，存在无数个点B，使得曲线在点A，B处的切线倾斜角相等
B. 若存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则
C. 若对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1，则a的取值范围是
D. 若且曲线在点A，B处的切线都过原点，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A，转化为在点A，B处导数值相同，由方程有无数解可得；选项B，转化为在点A，B处导数值之积为，方程有解可得参数的范围；选项C，转化为函数单调递减，利用导数小于等于恒成立可求；选项D，由切线斜率的两种求法建立等量关系可得.
【详解】对于A，因为，
要使，则，
得，
所以，，即对任意，的值有无数个，故A正确：
对于B，若存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，
即存在，使得，
因，，
则且，即，
则的最小值为，
故要使有解，
则有，
解得，满足条件，故B正确；
对于C，对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1，
则，即，
所以在上是减函数，
所以恒成立，
设，，且，
所以要使恒成立，则，即，故C错误；
对于D，曲线在点A，B处的切线都过原点，
由，则点均不与原点重合，设曲线在处切线的斜率为，
则，由切线过原点，
则切线即直线的斜率，
所以，化简得，
若时，则，这与矛盾，
故，所以有，
同理可得，
所以由，得，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：导数与切线有关的问题处理的关键在于以下三个关系的应用：
（1）切点在切线上，即切点的坐标满足切线的方程；
（2）切点在函数图象上，即切点的坐标满足函数的解析式；
（3）在切点处的导数值等于切线的斜率，即斜率的求法可以通过求导运算，也可以通过两点斜率坐标公式求解，或通过算两次建立等量关系.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的系数为____________ ．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式写出该二项展开式的通项，找到的系数即可.
【详解】要求的展开式中的系数，
即求展开式中含的项,
易知展开式的第四项满足题意，
所以，
故展开式中的系数为.
故答案为：.
13. 已知函数（），对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为____________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据正弦型函数的性质和题目给出的条件，运用最小正周期与的关系，对称轴及单调性的特点求解.
【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称，
所以，即，，
解得，，
， ，，
因为在区间上单调，
所以，解得．
经检验，当时，，当时，均满足题意．
故答案为：或.
14. 如图，已知正方体的棱长为2，点分别为棱，，，的中点，且点都在球的表面上，点是球表面上的动点，当点到平面的距离最大时，异面直线与所成角的余弦值的平方为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，得出球是正方体的棱切球，进而得出圆心和半径，再利用球的性质得出点的位置，利用几何关系得出就是异面直线与所成角，再计算出，即可求出结果.
【详解】因为点分别为棱，，，的中点，且点都在球的表面上，
则球是正方体的棱切球，球心为对角线的中点，半径为，
取的中点，则点为延长线与球O表面的交点时点到平面的距离最大，
此时，，．
连接OE，则，就是异面直线与所成角，
因为，所以，
所以异面直线与所成角的余弦值的平方为，
故答案为：.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，利用点都在球的表面上，得到球为正方体的棱切球，利用球的性质，将球面上的点到平面的最大距离转化成球心到平面的距离不处理，再利用几何关系来解决问题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）若的面积，，求a的值；
（2）若函数在区间上有零点，求t的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角结合余弦定理以及三角形面积公式即可得解.
（2）利用导数判断单调性，进而得，由此即可得解.
【小问1详解】
∵中三边a，b，c的对角分别为A，B，C，
∴．
又∵，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
（），
，
∵，
∴在上为负，在上为正，
∴在上为减函数，在上为增函数，
∴，
∴在上只有一个零点．
∴要使在上有零点，则t的取值范围是.
16. 我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数作为的值．
参考数据：若，则．
（1）求的值；
（2）估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？
（3）若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有个零部件的质量分数在内，则n为何值时，的值最大？
【答案】（1）
（2）160 （3）
【解析】
【分析】（1）由均值定义计算；
（2）由已知得，根据正态分布的概率性质计算概率；
（3）由题意，则，记其为，然后用作商法求得最大值时的值．
【小问1详解】
，
所以．
【小问2详解】
由（1）知，，
．
该生产线上生产的1000个零部件中，质量分数低于940的个数约为
．
【小问3详解】
每个零部件的质量分数在内的概率为，
由题意可知，
则，
设（），
则，
令，得，
所以当时，，
令，得，
所以当时，，
所以时，最大，故使最大的n的值为14．
17. 如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，．
（1）在棱上找一点G，使得平面平面，并证明你的结论；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）点G为中点，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）当点G为中点时，可以先证明平面，进一步结合线面垂直的判定定理即可得证.
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线方向向量以及平面法向量，结合线面角的正弦公式即可得解.
【小问1详解】
当点G为中点时，平面平面，证明如下：
因为四棱锥是正四棱锥，
所以，．
在正方形中，，所以，
在正方形中，，因为，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
【小问2详解】
连接，与交于点O，连接，因为四棱锥是正四棱锥，
所以两两垂直，以O为坐标原点，以直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则有，得，
取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
18. 已知双曲线：（，）的一条渐近线与双曲线：的一条渐近线垂直，且的一个焦点到的一条渐近线的距离为2．
（1）求的方程；
（2）若上任意一点关于直线的对称点为，过分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于求证：为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合题意，利用渐近线之间的关系找到，再利用点F到双曲线的一条渐近线的距离，求出即可;
（2）分别将直线的方程，直线的方程与联立，结合弦长公式表示出，化简即可证明为定值.
【小问1详解】
由双曲线：可得其中一条渐近线的方程为，
因为双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，
所以双曲线的一条渐近线的方程为，
所以，即，
所以，所以的一个焦点为，
点F到双曲线的一条渐近线的距离为，
所以，故的方程为．
【小问2详解】
设，则，即，，
由题意上任意一点关于直线的对称点为，得，
设，，由题意直线与的渐近线的平行，故的斜率为，
则直线方程为，与，
联立得，
直线的方程为，与,
联立得，
所以，
故为定值．
.
【点睛】关键点点睛：当过圆锥曲线上一点或平面上的一点作一条直线与圆锥曲线相交时，可以联立方程,当该点特殊时，利用韦达定理快速求出另一交点坐标，有了交点坐标，计算起来会更加方便快捷，不需要韦达定理来解题.
19. 同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（modm）（“|”为整除符号）．
（1）解同余方程（mod3）；
（2）设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若（），数列的前n项和为，求；
②若（），求数列的前n项和．
【答案】（1）或（）．
（2）①3036；②
【解析】
【分析】（1）根据带除定义求解，（mod3），即能被3整除，从而得出或能被3整除；
（2）①首先求出（分奇偶项），确定出，用并项求和法求和；②求出，利用两角差的正切公式变形通项，结合裂项相消法求和．
【小问1详解】
由题意（mod3），所以或（），即或（）．
【小问2详解】
由（1）可得为，所以．
①因为（），所以．
．
②（）．
因为，
所以
．
【点睛】关键点点睛：本题考查学生的阅读理解能力，创新意识，解题关键是正确理解新概念并能应用解题，本题中同余问题，实质就是除以一个质数后的余数相等，问题转化后可结合数列的求和方法，两角差的正切公式等等知识才能顺利求解．
