2023一2024学年度上期高2024届期末考试理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
9
10
11
12
答案
D
B
B
B
B
D
B
B
A
x+y+3
x-1+y+4
12.提示：法1：当x>1时
(x-1)}2+(y+42+2(x-1(y+4)
x-1+(0y+42x-1+(y+42
(x-1)+(y+4)2
比时行石作（么）与化一4)连线的料率.
转化为找切线斜率问题
x+y+3
x-1+y+4
(x-1)1+(y+4)1
法2：
V(x-12+(y+4)2V(x-1)2+(y+42
V(x-1)2+(y+4)2
设点Q(1,-4),上述表达式可看成向量(1,1)在向量QP上的投影
二、填空题
13安号
5
16.674或1156
16题：提示：分三种情况：
(1)若a=2k+1,(k∈W),则a2=6k+4,a3=3k+2,此时11k+7=2023,无解：
(2)若a1=2k,(k是奇数)，则a2=k,a=3k+1,此时6k+1=2023,k=337,41=674:
(3)若4=4k,(k∈W),则a2=2k,43=k,此时7k=2023,k=289,4=1156
三、解答题：
17.解：(1)在△ABC中，由正弦定理及题设得AC-BC
sin B sinA
sinsin150°'解得sin
1
、2W7
3分
又02W714
.6分
(2)设AD=x,则CD=x,BD=2x,因为∠ADC=π-∠BDC,所以Cos∠ADC=-cos∠BDC,
向余滋定里阳“话72，所以，架特1安金去
4x2
所以△ACD为等边三角形，所以A=60°，.10分
所以Sue-分A0×ACsnA=-方X3x1Kn60-
4
.12分
18解：(1)由已知得2×2列联表补充如下：
物理类
历史类
合计
男生
35
15
50
女生
25
25
50
合计
60
40
100
2分
假设为H。：选科分类与性别无关联，
因为K:=100×35×25-25×15_2
60×40×50×50
2≈4.16>3.841，
6
5分
根据小概率值0.05的独立性检验，推断H。不成立，
即认为选科分类与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05：
.6分
(2)由已知，50名女学生中选择物理类和选择历史类的比例为1：1，
因此抽取6名女生中，选择物理类和选择历史类的人数均为3名，
7分
所以随机变量X的取值为1,2,3，
nCS=5=5,P民AC5’ayC-3,
C。=5’9分
随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
1
3
5
3
所以B(0=1x写+2×亏+3x写2.
5
12分
19.(1)证明：由题意可得AC=√AD2+DC2=2,AB=√2+2=2，BC=22
所以AB2+AC2=BC2,即AB⊥AC因为平面ABCD⊥平面PAC,且满足平面PAC∩平面ABCD=AC,
ABC平面ABCD所以AB⊥平面PAC,又因为PCC平面PAC,所以PC⊥AB.4分
2法1：解：由题意可得因为PA=PC=54C=5,
如图，过P作PE⊥AC于E,过B作BH⊥MC于H因为平面ABCD⊥平面PAC
所以PE⊥平面ABCD因为M是PA的中点，设M到平面ABCD的距离为d
)PE=1,AMBC的面积Sc=
则三模维M-A8C约体积/=兮21
2
3
.6分
在△PAC中，cOS∠PAC=
E5
MC=AM+AC-2AM.ACcOsLPAC-13
PA 5
4
2
p之p.ǔ·p华徽翦明OW里本屐8孙‘1=OW7usWW·OPS
即d2=2.8分
2
3
在△PAB中，BM2=BAP+AM -21
在AMBC中，cos∠BMC=
BM2+MC2-BC2
,则sin∠BMC=
272
2BM·MC
1V21×13
V21×13
△MBC的面积Sgc=)MB-MCsin∠BMC=VZ.E
27217
BH-MC
222V21×13
则BH=7.2
设平面MBC与平面PAC夹角为O,则sin0=
d42-1322I
BH 17 17
所以平面MBC与平面PAC夹角的正弦值为V2
7
.12分
法2：提示eos0=c=
7,则sin0=V22
(第一问4分，第二问8分)
17
法3：以E为原点O,PE为z轴建立空间直角坐标系（第一问4分，第二问8分）】
20解：(1)由题意可得：2b=42,g=3,a=b+c.联立解得：6=2W2,c=1,a=3.
∴.椭圆C的标准方程为：
+父=1.
4分
982023—2024 学年度上期高 2024届期末考试
数学试卷（理科）
考试时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.本试卷分选择题和非选择题两部分.
3.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,
再选涂其它答案标号.
4.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上.
5.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
6.考试结束后,只将答题卡交回.
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:（本题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M = y | y = 2x , x 1 , N = x | y = 2x x2 ，则M N 等于（ ）
A. B. 2 C. 1,+ ) D. 0,+ )
ex
2.已知 f (x) = 为奇函数，则a =（ ）
eax 1
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
3.复数 z 满足 ( z + 2) i =1 i （ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数的虚部是（ ）
A. 3 B. 1 C. i D. i
4.已知首项为 1，公比为q的等比数列 an 的前n 项和为 S ，则“n S = 3 ”是“ q = 2 ”的 ( )3
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设函数 f (x) = x + 2，数列 an ， bn 满足an = 2 f (n) 1， f (bn ) = 2n 1，则a6 =（ ）
A. b7 B. b9 C. b11 D. b13
6.记 ABC的内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c ，分别以a,b,c 为边长的正三角形的面积依次为S1,S2 ,S3 ，
6
且 S1 S2 S3 = bc ，则 A =（ ）
4
3
A. B. C. D.
6 4 3 4
x6
2 6
7．若 = a0 + a1 (x 6)+ a2 (x 6) + a6 (x 6) ，则a = （ ） 5
A. 6 B. 16 C. 36 D. 90
{#{QQABSQCQggiIAAIAAQhCQwW4CgIQkBECCKoGQAAMsAAAyAFABAA=}#}
{#{QQABSQCQggiIAAIAAQhCQwW4CgIQkBECCKoGQAAMsAAAyAFABAA=}#}
三、解答题:（本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分 12 分）
在 ABC中， AC =1, BC = 7 ．
（1）若 A =150 ，求cos B；
（2）D为 AB 边上一点，且BD = 2AD = 2CD ，求 ABC的面积．
18．（本小题满分 12 分）
2023 年实行新课标新高考改革的省市共有 29 个，选科分类是高级中学在校学生生涯规划的重要课题，某
高级中学为了解学生选科分类是否与性别有关，在该校随机抽取 100 名学生进行调查．统计整理数据得到
如下的2 2列联表：
选物理类 选历史类 合计
男生 35 15
女生 25 25
合计 100
（1）依据小概率值0.05的独立性检验，能否据此推断选科分类与性别有关联？
（2）在以上随机抽取的女生中，按不同选择类别同比例分层抽样，共抽取 6 名女生进行问卷调查，然后在
被抽取的 6 名女生中再随机抽取 4 名女生进行面对面访谈．设面对面访谈的女生中选择历史类的人数为随
机变量 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望．
2
n (ad bc2 )
附：K = ，其中n = a+b+ c+ d ．
(a +b)(c + d )(a + c)(b + d )
( 2 ) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P K k0
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
k 0
19．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 中，AD // BC, BC ⊥CD, BC = 2CD = 2AD = 2 2 ，平面 ABCD ⊥平面 PAC .
（1）证明： PC ⊥ AB；
5
（2）若 PA = PC = AC, M 是 PA的中点，求平面MBC 与平面 PAC 夹角的正弦值.
2
P
M
D
A
C
B
{#{QQABSQCQggiIAAIAAQhCQwW4CgIQkBECCKoGQAAMsAAAyAFABAA=}#}
20.（本小题满分 12 分）
x2 y2 1
已知椭圆C : + =1(a b 0)的短轴长为4 2 ，离心率为 ．
a2 b2 3
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设椭圆C 的左，右焦点分别为F , F ，左，右顶点分别为 A, B，点M , N 为椭圆C 上位于 x 轴上方的1 2
两点，且FM // F N ，记直线 AM , BN 的斜率分别为 k ,k ，若1 2 1 2 3k1 + 2k ，求直线 的方程． 2 = 0 F1M
21．（本小题满分 12 分）
3 1
已知函数 f (x) = ax ln x x + 2
2 2x
（1）当a =1时，求 f ( x)的单调区间；
（2）对 x 1,+ )， f (x) 0 恒成立，求a 的取值范围；
1 1 1 1 1
（3）对于任意n N * ，证明： ln 2 + + +( )
4 n + 2 n +1 n + 2 2n 4n
请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，用 2B 铅
笔在答题卡上把所选题目所对应的标号涂黑.
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
1 3
x = + t
在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 2 2 （ t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
1y = t
2
为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 = 2cos ．
（1）求C 的直角坐标方程；
1 1 1
（2）设点M 的直角坐标为 ,0 ， l 与曲线C 的交点为 A, B，求 + 的值．
2 MA MB
23. [选修 4－5：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
1
已知函数 f (x) = 2x 1 + x + 的最小值为m ．
2
（1）求m 的值；
1
（2）若a,b,c为正实数，且a+b+ c =m 2，证明：a + b2 + c2 ．
3
{#{QQABSQCQggiIAAIAAQhCQwW4CgIQkBECCKoGQAAMsAAAyAFABAA=}#}
