2014-2015学年江苏省宿迁市三校联考高一（下）3月月考数学试卷（解析版）

2014-2015学年江苏省宿迁市三校联考高一（下）3月月考数学试卷
　
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．（5分）（2015春?宿迁月考）cos165°=　﹣　．
考点： 运用诱导公式化简求值．
专题： 三角函数的求值．
分析： 原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解答： 解：cos165°=cos（180°﹣15°）=﹣cos15°=﹣cos（45°﹣30°）=﹣cos45°cos30°﹣sin45°sin30°=﹣．
故答案为：﹣
点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
　
2．（5分）（2015春?宿迁月考）函数y=cos2x的最小正周期为　π　．
考点： 三角函数的周期性及其求法．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性，求得函数y=cos2x的最小正周期．
解答： 解：函数y=cos2x=，故它的周期为 =π，
故答案为：π．
点评： 本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．
　
3．（5分）（2012?沭阳县校级模拟）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=　49　．
考点： 等差数列的前n项和；等差数列的性质．
分析： 由等差数列的性质求得a1+a7，再用前n项和公式求得．
解答： 解：∵a2+a6=a1+a7
∴
故答案是49
点评： 本题考查等差数列的性质和等差数列前n项和公式．
　
4．（5分）（2015春?宿迁月考）已知数列{an}是等差数列，a1=﹣9，S3=S7，那么使其前n项和Sn最小的n是
　5　．
考点： 等差数列的前n项和．
专题： 综合题．
分析： 根据S3=S7，得到S7﹣S3等于0，利用等差数列的前n项和的定义可知S7﹣S3等于数列的第4项加到第7项，利用等差数列的通项公式分别表示出第4项到第7项，相加等于0列出首项与公差的方程，把首项的值代入即可求出公差d的值，然后根据首项和公差写出等差数列的通项公式，要使前n项和最小，即要找出此数列从哪项开始变为非负数，所以令通项公式小于等于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集中的最大正整数解为5，求出第5项发现其值小于0，求出第6项发现其值大于0，所以此数列的前5项为负数，从第6项开始变为正数，即可得到此数列的前5项之和最小．
解答： 解：由S3=S7，
得到：S7﹣S3=a4+a5+a6+a7=4a1+18d=0，
又a1=﹣9，代入得：d=2，则an=﹣9+2（n﹣1）=2n﹣11，
令2n﹣11≤0，解得n≤5.5，所以a5=﹣1＜0，a6=1＞0，
则使其前n项和Sn最小的n是5．
故答案为：5
点评： 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，本题的突破点是令通项公式小于等于0列出关于n的不等式．
　
5．（5分）（2014春?夏津县校级期末）若α∈（，π），tan（α+）=，则sinα=　　．
考点： 两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．
专题： 三角函数的求值．
分析： 由条件求得tanα=﹣=，再根据sin2α+cos2α=1，求得sinα 的值．
解答： 解：若α∈（，π），tan（α+）=，则有 =，求得 tanα=﹣=．
再根据sin2α+cos2α=1，求得sinα=，
故答案为：．
点评： 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式，属于中档题．
　
6．（5分）（2015春?宿迁月考）已知△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，则AC=　1或2　．
考点： 正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 由已知数据和余弦定理可得AC的方程，解方程可得．
解答： 解：∵△ABC中，AB=，BC=1，A=30°，
∴由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2ABACcosA，
代入数据可得1=3+AC2﹣2AC?，
∴AC2﹣3AC+2=0，
∴（AC﹣1）（AC﹣2）=0，
解得AC=1或AC=2
故答案为：1或2
点评： 本题考查余弦定理，属基础题．
　
7．（5分）（2013?成都一模）已知角α，β，γ，构成公差为的等差数列．若cosβ=﹣，则cosα+cosγ=　﹣　．
考点： 等差数列的性质．
专题： 等差数列与等比数列；三角函数的求值．
分析： 由已知中角α，β，γ，构成公差为的等差数列，可得α=β﹣，γ=β+，根据和差角公式，代入可得cosα+cosγ的值．
解答： 解：∵角α，β，γ，构成公差为的等差数列∴α=β﹣，γ=β+
故cosα+cosγ=cos（β﹣）+cos（β+）=2cosβcos=cosβ=﹣
故答案为：﹣
点评： 本题考查的知识点是等差数列的性质，和差角公式，其中根据已知得到α=β﹣，γ=β+，是解答的关键．
　
8．（5分）（2014?浙江模拟）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α=　﹣　．
考点： 二倍角的余弦．
专题： 三角函数的求值．
分析： 由条件利用二倍角公式求得cosα+sinα=，平方可得sin2α 的值．
解答： 解：∵α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），
∴3（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=（cosα﹣sinα），
∴cosα+sinα=，平方可得1+sin2α=，
∴sin2α=﹣，
故答案为：．
点评： 本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．
　
9．（5分）（2015春?宿迁月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，cosB﹣cos2B=0，a2+c2=b﹣ac+2，则b=　2　．
考点： 余弦定理．
专题： 三角函数的求值．
分析： 由条件利用二倍角公式求得cosB的值，可得B的值，从而求得C的值，由余弦定理可得得b2=a2+c2 +ac，再结合a2+c2=b﹣ac+2，求得b的值．
解答： 解：在△ABC中，∵cosB﹣cos2B=cosB﹣2cos2B+1=0，
∴cosB=1或cosB=﹣，∴B=0（舍去），或B=．
由B=，A=，可得C=．
由余弦定理可得b2=a2+c2 ﹣2ac?cosB=a2+c2 +ac．
再由a2+c2=b﹣ac+2，可得b2=b+2，解得 b=2，或b=﹣1（舍去）．
故答案为：2．
点评： 本题主要考查正弦定理、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，二倍角公式，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．
　
10．（5分）（2015春?宿迁月考）已知数列{an}满足关系式an+2=|an+1﹣an|（n∈N*），且a998=3，a1000=1，则a2012+a2013+a2014=　2　．
考点： 数列递推式．
专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： 根据递推数列分别求出数列的规律即可得到结论．
解答： 解：∵数列{an}满足关系式an+2=|an+1﹣an|（n∈N*），且a998=3，a1000=1，
∴当n=998时，a1000=|a999﹣a998|，
即1=|a999﹣3|，解得a999=4，或a999=2，
若a999=2，a1000=1，a1001=1，a1002=0，a1003=1，a1004=1，a1005=0，…，
若a999=4，a1000=1，a1001=3，a1002=2，a1003=1，a1004=1，a1005=0，…，
即当n＞1003时，an的值具备循环性，相邻三个数分别为1，1，0，
即a2012+a2013+a2014=2，
故答案为：2
点评： 本题主要考查递推数列的应用，根据条件得到当n＞1003时，an的值具备循环性是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
　
11．（5分）（2015春?宿迁月考）在锐角△ABC中，sin（A+B）=，sin（A﹣B）=，则tan2B=　0　．
考点： 两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用．
专题： 解三角形．
分析： 由题意可得 A+B＞90°，A﹣B＜90°，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣，cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=．由此求得tan（A+B）和tan（A﹣B）的值，从而求得 tan2B=tan[（A+B）﹣（A﹣B）]的值．
解答： 解：∵锐角△ABC中，sin（A+B）=sinC=，sin（A﹣B）=，
∴A+B＞90°，A﹣B＜90°．
再由条件可得cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣，
cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=．
∴tan（A+B）=﹣，tan（A﹣B）=，∴tan2B=tan[（A+B）﹣（A﹣B）]===﹣，
故答案为：﹣．
点评： 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，属于中档题．
　
12．（5分）（2015春?宿迁月考）在△ABC中，?=2?=3?，则tanA：tanB：tanC=　3：1：2　．
考点： 平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用．
专题： 平面向量及应用．
分析： 利用向量的数量积公式，结合正弦定理化简可得结论．
解答： 解：设||=c，||=a，||=b，
∵?=2?=3?，
∴accosB=2abcosC=3bccosA，
根据正弦定理即，
∴accosB=2abcosC=3bccosA，
∴==，
∴tanA：tanB：tanC=3：1：2．
故答案为：3：1：2．
点评： 本题考查向量的数量积公式，考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
　
13．（5分）（2012?盐城二模）在等差数列{an}中，a2=5，a6=21，记数列的前n项和为Sn，若对n∈N+恒成立，则正整数m的最小值为　5　．
考点： 等差数列的通项公式；数列与不等式的综合．
专题： 综合题．
分析： 由题干中的等式变形得出数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，得出{}的通项公式，证明数列{S2n+1﹣Sn}（n∈N*）是递减数列，得出数列{S2n+1﹣Sn}（n∈N*）的最大项，再由S2n+1﹣Sn≤，求出正整数得m的最小值．
解答： 解：在等差数列{an}中，∵a2=5，a6=21，
∴，
解得a1=1，d=4，
∴==，
∵（S2n+1﹣Sn）﹣（S2n+3﹣Sn+1）
=（++…+）﹣（++…+）
=﹣﹣
=﹣﹣
=（﹣）+（﹣）＞0，
∴数列{S2n+1﹣Sn}（n∈N*）是递减数列，
数列{S2n+1﹣Sn}（n∈N*）的最大项为S3﹣S1=+=，
∵≤，∴m≥，
又∵m是正整数，
∴m的最小值为5．
故答案为：5．
点评： 本题考查数列与不等式的结合问题，难度之一为结合已知和要求的式子，观察出数列是等差或等比数列；难度之二求数列{S2n+1﹣Sn}（n∈N*）的最大值，证数列{S2n+1﹣Sn}（n∈N*）是递减数列，证明方法：（S2n+1﹣Sn）﹣（S2n+3﹣Sn+1）＞0．是解题的关键．
　
14．（5分）（2014春?赣榆县校级期末）设y=f（x）是定义在区间D上的函数，对于区间D的非空子集I，若存在常数m∈R，满足：对任意的x1∈I，都存在x2∈I，使得=m，则称常数m是函数f（x）在I上的“和谐数”．若函数f（x）=sinx+cosx，x∈R，则函数f（x）在区间[0，π]上的“和谐数”是　　．
考点： 同角三角函数基本关系的运用．
专题： 三角函数的求值．
分析： 根据x的范围，可得f（x）=sin（x+）∈[﹣1，]，由此根据题意可得m的值．
解答： 解：∵x∈[0，π]，∴函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+），
故当x=时，函数f（x）取得最大值为；当x=π时，函数f（x）取得最小值为﹣×=﹣1，
根据题意可得 m=，
故答案为：．
点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于中档题．
　
二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（12分）（2015春?宿迁月考）化简求值：
（1）；
（2）已知cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos的值．
考点： 两角和与差的余弦函数；三角函数的化简求值．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （1）利用cos10°=sin80°=sin（60°+20°），利用两角和的正弦公式展开，合并即可．
（2）求出α﹣的正弦函数值，﹣β的余弦函数值，然后利用=（α﹣）﹣（﹣β）通过两角和与差的三角函数求解所求表达式的值即可．
解答： 解：（1）∵2cos10°=2sin80°
=2sin（60°+20°）
=2（cos20°+sin20°）
=cos20°+sin20°，
∴==．
（2）cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且＜α＜π，0＜β＜，
∴α﹣∈（），∴sin（α﹣）==．
﹣β∈，cos（﹣β）==．
∴cos=cos[（α﹣）﹣（﹣β）]=cos（α﹣）cos（﹣β）+sin（α﹣）sin（﹣β）
=
=．
点评： 本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，角的变换，以及“2cos10°=2sin80°=2sin（60°+20°）”的思考与转化，属于中档题．
　
16．（12分）（2015?衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．
（1）当时，求函数f（x）的值域；
（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．
考点： 正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．
专题： 解三角形．
分析： 利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣A），由于函数在处取得最大值．令，其中k∈z，解得A的值，
（1）由于A为三角形内角，可得A的值，再由x的范围可得函数的值域；
（2）由正弦定理求得b+c=13，再由余弦定理求得bc的值，由△ABC的面积等于，算出即可．
解答： 解：∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA
=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA
=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A）
又∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在处取得最大值．
∴，其中k∈z，
即，其中k∈z，
（1）∵A∈（0，π），∴A=
∵，∴2x﹣A
∴，即函数f（x）的值域为：
（2）由正弦定理得到，则sinB+sinC=sinA，
即，∴b+c=13
由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA
即49=169﹣3bc，∴bc=40
故△ABC的面积为：S=．
点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题．
　
17．（12分）（2010春?建湖县期末）已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3?a4=117，a2+a5=22．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若数列{bn}是等差数列，且，求非零常数c．
考点： 等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
专题： 综合题．
分析： （1）利用等差数列的性质可得 ，联立方程可得a3，a4，代入等差数列的通项公式可求an
（2）代入等差数列的前n和公式可求sn，进一步可得bn，然后结合等差数列的定义可得2b2=b1+b3，从而可求c
解答： 解：（1）an为等差数列，a3?a4=117，a2+a5=22
又a2+a5=a3+a4=22
∴a3，a4是方程x2﹣22x+117=0的两个根，d＞0
∴a3=9，a4=13
∴
∴d=4，a1=1
∴an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3
（2）由（1）知，
∵
∴，，，
∵bn是等差数列，∴2b2=b1+b3，∴2c2+c=0，
∴（c=0舍去）
点评： 本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的综合运用，以及构造法的运用，是一道综合性很好的试题．
　
18．（14分）（2015春?宿迁月考）已知数列{an}满足，且当n＞1，n∈N*时，有，
（1）求证：数列为等差数列；
（2）试问a1?a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．
考点： 数列递推式；等差关系的确定．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）根据数列的递推关系，利用构造法结合等差数列即可证明数列为等差数列；
（2）先求出数列的通项公式以及a1?a2的值，然后进行判断即可．
解答： （1）证明：∵当n＞1，n∈N*时，，
∴an﹣1﹣2anan﹣1=2anan﹣1+an，
又∵an≠0，
∴，∴数列为等差数列；
（2）∵，∴，
∴，∴，
又∵，若，得n=11，
∴a1a2是数列{an}的 第11项．
点评： 本题主要考查数列递推公式的应用，利用构造法以及等差数列的定义是解决本题的关键．
　
19．（14分）（2013?江苏模拟）某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．
（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；
（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．
考点： 三角形中的几何计算．
专题： 计算题；三角函数的求值；解三角形．
分析： （1）设（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算出点D到EF的距离为h=（1﹣λ）百米，从而得到S△DEF=EF?h表示成关于λ的函数式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面积S△DEF的最大值；
（2）设正三角形DEF的边长为a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，将CF和AF用a、α表示出，再用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并结合辅角公式化简，利用正弦函数的值域即可求得a的最小值．
解答： 解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．
∴cosB=，可得B=60°
∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°
设（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米，
Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=CE=λ百米，
∵C到AB的距离为BC=百米，
∴点D到EF的距离为h=﹣λ=（1﹣λ）百米
可得S△DEF=EF?h=λ（1﹣λ）百米2
∵λ（1﹣λ）≤[λ+（1﹣λ）]2=，当且仅当时等号成立
∴当时，即E为AB中点时，S△DEF的最大值为百米2
（2）设正△DEF的边长为a，∠CEF=α
则CF=a?sinα，AF=﹣a?sinα
设∠EDB=∠1，可得
∠1=180°﹣∠B﹣∠DEB=120°﹣∠DEB，α=180°﹣60°﹣∠DEB=120°﹣∠DEB
∴∠ADF=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣α
在△ADF中，=
即，化简得a[2sin（120°﹣α）+sinα]=
∴a===（其中φ是满足tanφ=的锐角）
∴△DEF边长最小值为．
点评： 本题在特殊直角三角形中求三角形边长和面积的最值，着重考查了解直角三角形、平行线的性质、正弦定理和三角恒等变换等知识，考查了在实际问题中建立三角函数模型能力，属于中档题．
　
20．（16分）（2015春?宿迁月考）已知数列{an}满足a2=3a1，Sn是数列{an}的前n项和，且有Sn+1+Sn+Sn﹣1=3n2+2（n≥2，n∈N*）
（1）若数列{an}为等差数列，求通项an；
（2）若对于任意n∈N*，an＜an+1恒成立，求a1的取值范围．
考点： 数列递推式；等差数列的性质．
专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： （1）根据数列的递推关系，结合等差数列的定义，即可求出数列{an}的通项an；
（2）利用数列an＜an+1恒成立，得到数列为递增数列，利用递增数列的性质即可得到结论．
解答： 解：（1）∵，
∴S3+S2+S1=14，
即a3+2a2+3a1=14，
又∵a2=3a1，∴a3=14﹣9a1
∵数列{an}为等差数列，
∴2a2=a1+a3，解得a1=1，
∴d=a2﹣a1=2，
∴an=2n﹣1．
（2）∵，
∴
两式作差得
∴
可求得
若任意n∈N*，an＜an+1恒成立，
∴a1＜a2且a3k﹣1＜a3k＜a3k+1＜a3k+2
∴，解得
即a1的取值范围为．
点评： 本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及递推数列的应用，考查学生的推理能力．