2014-2015学年江苏省徐州市新沂二中高一（下）月清数学试卷　（解析版）

2014-2015学年江苏省徐州市新沂二中高一（下）月清数学试卷　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上
1．（5分）（2014春?徐州期末）过点（2，1）且斜率为2的直线方程为　2x﹣y﹣3=0　．
考点： 直线的斜率．
专题： 直线与圆．
分析： 利用点斜式方程求解．
解答： 解：过点（2，1）且斜率为2的直线方程为：
y﹣1=2（x﹣2），
整理，得2x﹣y﹣3=0．
故答案为：2x﹣y﹣3=0．
点评： 本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意点斜式方程的合理运用．
　
2．（5分）（2015?盐城校级模拟）直线x﹣y+3=0在y轴上的截距为　3　．
考点： 确定直线位置的几何要素；直线的截距式方程．
专题： 直线与圆．
分析： 通过x=0求出y的值，即可得到结果．
解答： 解：直线x﹣y+3=0，当x=0时，y=3，
直线x﹣y+3=0在y轴上的截距为：3．
故答案为：3．
点评： 本题考查直线方程的应用，直线的截距的求法，基础题．
　
3．（5分）（2014春?宿迁期末）已知数列{an}的通项公式为an=，那么是它的第　4　项．
考点： 数列的概念及简单表示法．
专题： 计算题；点列、递归数列与数学归纳法．
分析： 由通项公式的定义，令an=，解出n即可．
解答： 解：在数列{an}中，
∵an==，
∴n2+n=20，
解得n=4或n=﹣5（舍去）；
∴是{an}的第4项．
故答案为：4．
点评： 本题考查了通项公式的应用问题，解题时直接应用通项公式的定义，即可解出n的值，是容易题．
　
4．（5分）（2014春?宿迁期末）已知等差数列{an}中，a4=2，a6=6，Sn是其前n项和，则S9=　36　．
考点： 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．
解答： 解：∵等差数列{an}中，a4=2，a6=6，
∴S9=
=
==36．
故答案为：36．
点评： 本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
　
5．（5分）（2014春?宿迁期末）在△ABC中，A=30°，B=120°，b=12，则c=　4　．
考点： 正弦定理．
专题： 计算题；解三角形．
分析： 易求角C，由正弦定理得，解出即可．
解答： 解：在△ABC中，A=30°，B=120°，则C=30°，
由正弦定理，得，解得c=4，
故答案为：4．
点评： 该题考查正弦定理及其应用，熟记定理的内容并能灵活应用是解题关键．
　
6．（5分）（2015春?宿迁校级期中）设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2n﹣3，则数列{an}的通项公式为　　．
考点： 数列递推式．
专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： 根据数列的前n项和与第n项的关系求通项公式．借助公式 进行求解，注意讨论
解答： 解：解：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n﹣2）﹣（2n﹣1﹣2）=2?2n﹣1=2n
当n=1时，a1=﹣1，不满足上式；
∴
故答案为：
点评： 本题考查了数列的求和公式，解题时要根据实际情况注意公式的灵活运用，注意对首项的验证；属于中档题
　
7．（5分）（2014春?宿迁期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinB=，则角B的大小是　　．
考点： 余弦定理．
专题： 三角函数的求值．
分析： 利用余弦定理表示出cosB，代入已知等式求出tanB的值，即可确定出B的度数．
解答： 解：在△ABC中，cosB=，
代入已知等式得：sinB=cosB，即tanB=1，
则B=．
故答案为：
点评： 此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
　
8．（5分）（2014春?徐州期末）如图，给出一个算法的伪代码，则f（﹣2）+f（3）=　﹣1　．
考点： 选择结构．
专题： 算法和程序框图．
分析： 算法的功能是求f（x）=的值，分别求得f（﹣2）和f（3）的值，可得答案．
解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求f（x）=的值，
∴f（﹣2）=﹣2×4﹣1=﹣9；
f（3）=23=8；
∴f（﹣2）+f（3）=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评： 本题考查了选择结构的程序语句，根据语句判断算法的功能是关键．
　
9．（5分）（2014春?徐州期末）如图是一个算法流程图，则输出的a的值是　26　．
考点： 程序框图．
专题： 算法和程序框图．
分析： 根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件a＜10，跳出循环，计算输出a的值．
解答： 解：由程序框图知：第一次循环a=1+1=2；
第二次循环a=22+1=5；
第三次循环a=52+1=26，
不满足条件a＜10，跳出循环，输出a=26．
故答案为：26．
点评： 本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
　
10．（5分）存在实数x，使得x2﹣4bx+3b＜0成立，则b的取值范围是　b＞或b＜0　．
考点： 函数恒成立问题．
专题： 计算题；转化思想．
分析： 先把原命题等价转化为存在实数x，使得函数y=x2﹣4bx+3b的图象在X轴下方，再利用开口向上的二次函数图象的特点，转化为函数与X轴有两个交点，对应判别式大于0即可解题．
解答： 解：因为命题：存在实数x，使得x2﹣4bx+3b＜0成立的等价说法是：
存在实数x，使得函数y=x2﹣4bx+3b的图象在X轴下方，
即函数与X轴有两个交点，故对应的△=（﹣4b）2﹣4×3b＞0?b＜0或b＞．
故答案为：b＜0或b＞．
点评： 本题主要考查二次函数的图象分布以及函数图象与对应方程之间的关系，是对函数知识的考查，属于基础题．
　
11．（5分）（2014?奉贤区二模）设实数x，y满足，则x﹣2y的最大值等于　2　．
考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
解答： 解：设z=x﹣2y得y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=，过点B（2，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，
代入目标函数z=x﹣2y，得z=2
∴目标函数z=x﹣2y的最大值是2．
故答案为：2．
点评： 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
　
12．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为　15　．
考点： 余弦定理；数列的应用；正弦定理．
专题： 综合题；压轴题．
分析： 因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答： 解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，
则cos120°==﹣，
化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，
所以三角形的三边分别为：6，10，14
则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．
故答案为：15
点评： 此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．
　
13．（5分）（2014春?徐州期末）已知关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（3，+∞），则关于x的不等式＞0的解集是　（﹣3，2）　．
考点： 其他不等式的解法；一次函数的性质与图象．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 由题意可得a＜0，且 =3．可得关于x的不等式＞0，即 ＜0，即（x+3）（x﹣2）＜0，由此求得它的解集．
解答： 解：∵关于x的不等式ax﹣b＜0，即 ax＜b的解集是（3，+∞），
∴a＜0，且 =3．
∴关于x的不等式＞0，即 ＜0，即 ＜0，即 （x+3）（x﹣2）＜0，
求得﹣3＜x＜2，
故答案为：（﹣3，2）．
点评： 本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．
　
14．（5分）若a＞0，b＞0，且，则a+2b的最小值为　　．
考点： 基本不等式．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 把a+2b变形为a+2b=，再利用已知可得a+2b=，利用基本不等式即可得出．
解答： 解：∵a＞0，b＞0，且，
∴a+2b==
=﹣
==．
当且仅当，a＞0，b＞0，且，即，a=时取等号．
∴a+2b的最小值为．
故答案为．
点评： 恰当变形利用基本不等式是解题的关键．
　
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（14分）（2014春?徐州期末）在锐角△ABC中，已知a=2csinA．
（1）确定角C的大小；
（2）若c=，且S△ABC=，求a+b的值．
考点： 正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： （1）利用正弦定理把已知等式中的边转换成角的正弦，化简可求得sinC的值，进而求得C．
（2）先根据三角形面积公式求得ab的值，进而利用余弦定理和C求得a2+b2的值，最后通过配方法求得a+b．
解答： 解：（1）∵a=2csinA，
∴sinA=2sinCsinA，
∵sinA≠0，
∴sinC=，
∵0＜A＜，
∴C=．
（2）S△ABC=absinC=，
∴ab=6，
cosC===，
∴a2+b2=13，
∴a+b===5．
点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形过程中往往需要用正弦定理和余弦定理对三角形问题进行边角问题的转化．
　
16．（14分）（2014春?徐州期末）已知等差数列{an}中，a3=8，a9=2a4，Sn是等比数列{bn}的前n项和，其中S3=，S6=．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn；
（2）设cn=，求{cn}的前n项和Tn．
考点： 数列的求和；等差数列的性质．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能出an=2n+2．利用等比数列的前n项和公式求出等比数列的首项和公比，由此能求出bn=2?（）n．
（2）cn===（n+1）?3n．由此利用错位相减法能示出{cn}的前n项和Tn．
解答： 解：（1）∵等差数列{an}中，a3=8，a9=2a4，
∴，解得a1=4，d=2，
∴an=4+（n﹣1）×2=2n+2．
∵Sn是等比数列{bn}的前n项和，其中S3=，S6=，
∴，解得q=，，
∴bn==2?（）n．
（2）cn===（n+1）?3n．
Tn=2×3+3×32+4×33+…+（n+1）×3n，①
，②
①﹣②，得：﹣2Tn=6+32+33+…+3n﹣（n+1）×3n+1
=6+﹣（n+1）×3n+1
=﹣（n﹣2）×3n+1，
∴Tn=﹣．
点评： 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
　
17．（14分）已知函数f（x）=ax2+bx+1
（1）若f（x）＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}，求实数a，b的值．
（2）若f（﹣1）=1且f（x）＜2恒成立，求实数a的取值范围．
考点： 一元二次不等式的解法．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： （1）由题意得：a＞0且3，4是方程ax2+bx+1=0的两个根．利用根与系数的关系解出即可．
（2）由f（﹣1）=1，解得a=b．而f（x）＜2恒成立，即：ax2+bx﹣1＜0恒成立．所以a＜0且△=b2+4a＜0，解出即可．
解答： 解 （1）由题意得：a＞0且3，4是方程ax2+bx+1=0的两个根．
所以，解得，．
（2）由f（﹣1）=1，解得a=b，
而f（x）＜2恒成立，即：ax2+bx﹣1＜0恒成立．
当a=0时，显然恒成立．
当a≠0时，必须a＜0且△=b2+4a＜0，即a2+4a＜0，解得﹣4＜a＜0，
故所求的a的取值范围是（﹣4，0]．
点评： 熟练掌握一元二次不等式的解法与判别式的关系、根与系数的关系是解题的关键．
　
18．（16分）（2014?南通一模）如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60°的方向，且在港口A北偏西30°的方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O．一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．
（1）求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；
（2）给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？
考点： 解三角形的实际应用．
专题： 应用题；解三角形．
分析： （1）给养快艇从港口A到小岛B的航行时间，已知其速度，则只要求得AB的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间．
（2）由（1）知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合，根据题意确定各边长和各角的值，然后由余弦定理解决问题．
解答： 解：（1）由题意知，在△OAB中，OA=120，∠AOB=30°，∠OAB=60°．
于是AB=60，而快艇的速度为60海里/小时，
所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时． …（5分）
（2）由（1）知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合．
为使航行的时间最少，快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行，
设t小时后恰与科考船在C处相遇．…（7分）
在△OAB中，OA=120，∠AOB=30°，∠OAB=60°，所以，
而在△OCB中，BC=60t，OC=20（2+t），∠BOC=30°，…（9分）
由余弦定理，得BC2=OB2+OC2﹣2OB?OC?cos∠BOC，
即，
亦即8t2+5t﹣13=0，解得t=1或（舍去）．…（12分）
故t+2=3．即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇．…（14分）
点评： 本题主要考查余弦定理的应用，考查学生分析解决问题的能力．余弦定理在解实际问题时有着广泛的应用，一定要熟练的掌握．
　
19．（16分）（2015春?宿迁校级期中）已知数列{an}，{bn}满足a1=，an+bn=1，bn+1=．
（1）求b1，b2，b3，b4；
（2）求证：数列是等差数列，并求出数列{bn}通项公式；
（3）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，求证：Sn＜．
考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等差关系的确定；数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）通过an+bn=1变形可得bn+1=，代入计算即可；
（2）通过bn+1=，变形可得﹣=﹣1，进而可得结论；
（3）通过bn=可得anan+1=﹣，并项相加即可．
解答： （1）解：∵an+bn=1，
∴bn+1====，
又∵a1=，
∴b1=1﹣a1=1﹣=，
∴b2===，
b3===，
b4===；
（2）证明：∵bn+1=，
∴=，
∴=，
即﹣=﹣1，
又∵==﹣4，
∴数列是以﹣4为首项、﹣1为公差的等差数列，
∴，
∴bn=1﹣=；
（3）证明：∵bn=，
∴，
∴anan+1==﹣，
∴=．
点评： 本题考查数列的通项及求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
　
20．（16分）（2014春?宿迁期末）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有2Sn=an2+an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1=1，2bn+1﹣bn=0（n∈N*），且cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn；
（3）在（2）的条件下，是否存在整数m，使得对任意的正整数n，都有m﹣2＜Tn＜m+2．若存在，求出m的值；若不存在，试说明理由．
考点： 数列递推式；数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）易求a1=1，n≥2时，，化简可得an﹣an﹣1=1，可知{an}为等差数列，易求an；
（2）由条件可知{bn}为等比数列，易求bn，cn，利用错位相减法可求得Tn；
（3）只需求得Tn的范围，由（2）知Tn＜4．由数列单调性可得Tn≥T1=1，于是可得m；
解答： 解：（1）当n=1时，2S1=a12+a1．∴a1=1，
当n≥2时，，
整理，得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，
∵an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1=1，
∴an=1+（n﹣1）×1=n．
（2）由b1=1，，得，
∴，
∴Tn=1+2×+，①
，②
①﹣②，得=，
∴Tn=4﹣（n+2）．
（3）由（2）知，对任意n∈N*，都有Tn＜4．
∵，
∴Tn≥T1=1，∴0＜Tn＜4（n∈N*）．
故存在整数m=2，使得对于任意n∈N*，都有m﹣2＜Tn＜m+2．
点评： 该题考查等差数列、等比数列的通项公式，考查数列求和，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，错位相减法对数列求和是考查重点，要熟练掌握．