浙江省宁波市北仑区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含答案）

二〇二三学年第一学期九年级期末测评数学卷
考生须知：
1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共4页，有三个大题，23个小题．满分120分，考试用时120分钟．
2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上．
3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满；将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域内书写的答案无效．
4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．
试题卷Ⅰ
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．从只装有3个白球的袋子中摸出一个球，是白球
B．打开电视，正在播放新闻
C．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
D．抛掷一个骰子，出现8点
3．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知的半径为5，若圆心到直线的距离为3，则直线与位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
5．如图，在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，两点分别在，边上，且，则与面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点，，在上，，则的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
8．已知点为内一点，过点的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
9．某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元，经市场调查表明：每瓶售价每增加1元，日均销售量减少80瓶；当售价为每瓶7元时，日均销售量为400瓶，若要日均毛利润最大，每瓶饮料的售价应是（ ）
A．6元 B．7元 C．8元 D．9元
10．如图，点是的边上一点，将沿翻折，点落在点处，与相交于点，若，，，则的长是（ ）
A．8 B．8.5 C． D．
试题卷Ⅱ
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．正六边形的每个内角都是______度．
12．将二次函数的图象向上平移3个单位，所得函数的表达式是______．
13．某模具厂在相同条件下抽取部分模具做尺寸检验，结果如下表所示：
抽取模具数 100 300 400 600 1000 2000 3000
合格品数 96 282 382 570 949 1900 2850
合格品频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.949 0.950 0.950
则该厂生产的模具是合格品的概率估计值是______．（精确到0.01）
14．如图1，宁波城区最大摩天轮“芯动北仑”已成为北仑地标性建筑．已知“芯动北仑”摩天轮半径约为26米，每个轿厢安装在摩天轮圆周30等分的分点处，如图2所示，则相邻轿厢之间的弧长为______米．（结果保留）
15．《九章算术》是我国古代数学的瑰宝，其第九卷中有著名的“勾股容圆”问题，原文为：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”意思是“今有直角三角形，较短直角边长8步，较长直角边长15步，问此直角三角形内切圆的直径是多少步？”我们用学过的知识可求该内切圆的直径是______步．
16．如图，在矩形中，点是边上一点且，延长交射线于点，连结交于点，若，则______度，______．
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
17．（本题6分）计算：
18．（本题8分）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中将绕点顺时针旋转90°，画出旋转得到的；
（2）在图2中画出一个与相似的，且使得相似比不为1．（画出一个即可）
19．（本题8分）如图，点是外一点，射线与相交于两点，点在上，且，．
（1）求证：与相切；
（2）若的半径为1，求阴影部分的面积．
20．（本题10分）“剪刀、石头、布”是大家都玩过的游戏，我们规定：两人游戏时，手势相同为平局；多人游戏时，所有参与者手势都相同或三种手势同时出现为平局．请解决以下问题：
（1）求甲、乙两人玩一次，甲出“石头”的概率；
（2）求甲、乙两人玩一次，出现平局的概率；
（3）若三人玩一次，出现平局的概率比（2）中的结果______．（选填“增大”、“减小”或“不变”）
21．（本题10分）小孔成像中的数学：如图1，小孔成像是重要的科学现象，它可以验证光的直线传播性质．如图2是其光路简图：表示小孔，的长为物距，的长为像距，，，三点在同一条直线上，物于，像于．
（1）求证：；
（2）某地，正午时分，阳光通过树叶间的缝隙在地面上形成了一个圆形光斑，小明观察到此现象后，想估算一下太阳的直径．他先测量了光斑的直径，记为，查阅资料后，知道地球到太阳的距离为．如果要估测太阳的直径，还需要测量______，用表示所测得的量，则太阳的直径可表示为______．（用含有，，的代数式表示）
22．（本题12分）如图，，，是中的三条弦，且平分．
（1）如图1，若，测量，，的长度，猜想它们之间的数量关系为：______．
（2）如图2，若，求证：；
（3）如图3，若，直接写出，，与角三角函数之间的数量关系．
23．（本题12分）已知二次函数（为常数且）
（1）当函数图象经过点时，求函数的表达式并写出函数图象的顶点坐标；
（2）求证：当时，函数图象与轴必有两个不同的交点；
（3）若函数图象经过，两点，其中，且当时，总有，求的取值范围．
二〇二三学年第一学期九年级期末测评数学卷
参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D C D B A B C A
10．分析与解答，如图
∵，∴
∵，
∴
由折叠可得：
∴，
∵，
∴，
∴
设，
∵，
∴，∴
∴
解得：，（舍）
∴，选A．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．120 12． 13．0.95
14． 15．6 16．
（阅卷说明：第13题写0.950不扣分；第16题每空2分；多加单位不扣分．）
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
17．
原式
18．每小题4分．
19．（1）连结
∵，∴
∴
∴
∴，
∴与相切．
（2）∵，，，，
∴，，
∴，，
∴．
20．（1）甲可以从剪刀、石头、布中随机出一个手势
所以甲出“石头”的概率为．
（2）记剪刀、石头、布分别记作，，，
如图所示，总共9种等可能的结果，其中平局3种，所以．
（3）不变．
阅卷说明：照常理看，人数增加平局概率应当增大，但是从2人游戏到3人游戏游戏规则发生变化，从而引发这一不变的特殊情况，随着游戏人数继续增加，平局概率将自然变大，进一步可求出人平局概率为．
21．（1）∵于，于，
∴
∴，
∴，
∴．
（2）树叶缝隙到光斑中心的距离，（每空2分）
阅卷说明：第1小题得到后，直接用对应边上的高之比等于相似比得到结论不扣分；第2小题第1空只要意思表达为的长均给分，第2空由于本来就是估算，当时，中的大小相对可以忽略不计，即有，故第2空填也判定为正确．
22．（1）．
（2）连结，，过点作于，于，
∵平方
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
（3）．
阅卷说明：本题第2小题证法较多，其他方法酌情给分．
23．（1）将代入函数表达式得：
解得：
∴
∴二次函数顶点坐标为．
（2）∵
当时，
∴当时，函数图象与轴必有两个不同的交点．
（3）将，两点坐标代入函数表达式得：
，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
即：，
又∵，
∴，
∴，
解得：．
阅卷说明：本题第3小题用图象法分类讨论，酌情给分．