2023-2024学年苏科版九年级数学下册知识点讲义

专题5.1 二次函数（知识讲解）
【学习目标】
1、理解二次函数的概念，识别二次函数；
2、根据二次函数表达式求参数；
3、能根据生活实际写出二次函数表达式。
【要点梳理】
【知识点1】二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
【知识点2】二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2。
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。
专题5.4 二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质（知识讲解）
【学习目标】
1、准确掌握二次函数y=ax2(a≠0)图象的形状、开口方向、对称轴和顶点的坐标；
2、经历用描点法画函数图象的过程,感受数形结合的思想和方法,能够由图像直观地观察得到函数的性质；
【要点梳理】
【知识点一】二次函数y=ax2(a≠0)的图象
二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。实际上，二次函数的图象都是抛物线，y轴是抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点。
用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象
（1）按步骤列表、描点、连线。
（2）用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象时，应在O（0,0）点左右两侧（或在对称轴左右两侧）对称的选取自变量x的值，在计算y的值，这样的对应值选择月密集，描出的图象越精准。通常情况下，画图一般选取9个点，草图通常取5或7个点，但必须画出抛物线的顶点，然后对称的取其他各点。实际问题应在自变量取值范围内选取适当的几个点，一般选7个点，再进行描点。连线时要注意图象的平滑，特别是顶点处更要注意，不能画得太平或者太尖，要顺势用平滑曲线连接。
【知识点2】 二次函数y=ax2(a≠0)的性质
（1）二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线。我们把二次函数y=ax2（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2(a≠0)。
（2）抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴（即直线x=0），顶点是原点。
（3）当a>0时，抛物线y=ax2(a≠0) 的开口向上，顶点是它的最低点，抛物线在x轴上方（顶点在x轴上），并且向上无限延伸；
当a<0时，抛物线y=ax2(a≠0)的开口向下，顶点是它的最高点，抛物线在x轴下方（顶点在x轴上），并且向下无限延伸。
（4）当a＞0时，在y 轴左侧，y随x的增大而减小，在y 在右侧，y随x的增大而减大，函数y的值，当x=0时最小，最小值是0；
当a＜0时，在y 在左侧，y随x的增大而增大，在y 在右侧，y随x的增大而减小，函数y的值，当x=0时最大，最大值是0。
（5）当a的绝对值越大，图象越靠近y轴，抛物线开口越窄；
当a的绝对值越小，图象越远离y轴，抛物线开口越宽。
【知识点3】 二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质列表如下：
函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而增大； x<0时，y随x增大而减小. 当x=0时， y最小=0
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而减小； x<0时，y随x增大而增大. 当x=0时， y最大=0
专题5.7 二次函y=ax2+k(a≠0)的图象与性质（知识讲解）
【学习目标】
理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；
会用描点法画出二次函数的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；
掌握二次函数的图象的性质，掌握二次函数与之间的关系；（上加下减）.
【要点梳理】
一、y=ax2+c（a≠0）的性质：
形如y=ax2+c（a≠0）的二次函数，它的图像的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，c），c的符号决定抛物线由y=ax2上下平移，简单的说，就是“上加下减”。
的符号 开口 方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 最值
向上 轴 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小； 时， 最小值 = c
向下 轴 时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大； 时， 最小值 = c
二、解读y=ax2+c（a≠0）：
（1）函数y=ax2+c（a，c是常数，a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，c）；
（2）抛物线y=ax2+c（a，c是常数，a≠0）可以看作是由抛物线y=ax2(a是常数且a≠0)向上或向下平移∣c∣个单位而得到的。当c＞0时，将抛物线y=ax2(a是常数且a≠0)向上平移c个单位；当c＜0时，将抛物线y=ax2(a是常数且a≠0)向下平移∣c∣个单位。
（3）实际上在a相等的情况下，二次函数y=ax2+c（a，c是常数，a≠0）的图像与二次函数y=ax2(a是常数且a≠0)的图像形状、开口方向、对称轴等完全相同，只不过位置发生了变化，顶点坐标由（0，0）变成了（0，c）。
（4）在几条抛物线的表达式中，若∣a∣相等，则形状相同；若a相等，则其开口方向及形状均相同；若a互为相反数，则其形状相同、开口方向相反。
三、巧记：如果要画抛物线，平移或者去描点，两条途径任您选；
列表专题5.10 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质
（知识讲解）
【学习目标】
1.会用描点法画出二次函数y=a（x-h） (a、h、常数，a≠0)的图象．掌握抛物线y=a（x-h） 与图象之间的关系；
2.熟练掌握函数y=a（x-h） 的有关性质，并能用函数y=a（x-h） 的性质解决一些实际问题；
3.经历探索y=a（x-h） 的图象及性质的过程，体验y=a（x-h） 与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．
【要点梳理】
函数y=a（x-h） (a、h、常数，a≠0)的图象与性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
描点后连线，平移规律记心间，c正向上负向下。
专题5.13 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质
（知识讲解）
【学习目标】
会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系；
熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；
3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．
【要点梳理】
要点一、函数与函数的图象与性质
1.函数的图象与性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2.函数的图象与性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
特别说明：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
2.性质：
要点二、二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
特别说明：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
专题5.16 二次函数的图象与性质
（知识讲解）
【学习目标】
会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【要点梳理】
要点一、二次函数与之间的相互关系
顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
特别说明：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
特别说明：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
要点三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值，
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目 字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0 与x轴有两个交点
b2-4ac＜0 与x轴没有交点
要点四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
特别说明：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
专题5.20 待定系数法求二次函数解析式（知识讲解）
【学习目标】
1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；
2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．
【要点梳理】
1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
特别说明：
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点专题5.31 二次函数与一元二次方程（知识讲解）
【学习目标】
会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
【要点梳理】
要点一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式 二次函数 一元二次方程
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
△＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根
△＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根
△＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根）
特别说明：
　二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
特别说明：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
　　用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
特别说明：
　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：
　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；
　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；
　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.
要点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
∴
即 （△＞0）
要点四、抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
判别式
抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集
△＞0 或
△＝0 （或） 无解
△＜0 全体实数 无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
特别说明：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．
专题5.35 用二次函数解决问题解题方法专题
（例题讲解）（专项练习）
二次函数的应用解题方法：
【基本思想】
一、转化思想————实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题。
1、方案设计最优问题:（1）费用最低；（2）利润最大；（3）储量最大等等。
2、面积最优化问题:全面观察几何图形的结构特征,挖掘出相应的内在联系,列出函数和自变量内在等式,转化为函数解析式,求最值问题。
二、建模思想————从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。
1、建立图象模型:自主建立平面直角坐标系,构造二次函数关系式解决实际问题；
2、方程模型和不等式模型:根据实际问题中的数量关系,列出方程或不等式转化为二次函数解决问题；
3、根据实际问题情境抽象岀二次函数模型。
三、运动思想
由给出的已知条件及图像上的动点问题和几何图形的形状的确定；找出等量关系，建立函数关系式；
【最值的确定方法】
1、二次函数在没有范围条件下的最值:
二次函数的一般式y=ax +bx+c(a≠0)化成顶点式y=a（x-h） +k(a≠0)如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值).
2、二次函数在有条件范围下的最值:
如果自变量的取值范围是，如果顶点在自变量的取值范围,内,则当,如果顶点不在此范围内,则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性，从而确定最值。
专题5.41 《二次函数》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
　2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
　3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；
　4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【要点梳理】
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
特别说明：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
要点二、二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　①；②；③；④，
　　其中；⑤.（以上式子a≠0）
　　几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下 (轴) (0，0)
(轴) (0，)
(，0)
(，)
()
2.抛物线的三要素：
　　开口方向、对称轴、顶点.
　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3.抛物线中，的作用：
　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
特别说明：
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点三、二次函数与一元二次方程的关系
　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解
方程没有实数解
特别说明：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
要点四、利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)建立适当的平面直角坐标系；
　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
特别说明：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
专题6.1 图上距离与实际距离（知识讲解）
【学习目标】
1.了解两条线段的比和比例线段的概念；
2.能根据条件写出比例线段；
3.会运用比例线段解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一：线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成．
注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；
(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关.
(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB:CD.
要点二：成比例线段：
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
要点三：比例的基本性质：
要点四：几个重要的比例定理：
专题6.4 黄金分割（知识讲解）
【学习目标】
1、理解黄金分割的概念；
2、会找一条线段的黄金分割点；
3、会判断一个点是否为一条线段的黄金分割点。
【要点梳理】
要点一：
黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
特别说明：
≈0.618AB(叫做黄金分割值).
要点二：
作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
特别说明：
一条线段的黄金分割点有两个.
专题6.7 由平行判断成比例的线段（知识讲解）
【学习目标】
1.掌握平行线等分线段及平行线分线段成比例定理的内容
2.会运用平行线分线段成比例定理解决问题
3.体会转化、特殊到一般的数学思想
【要点梳理】
要点一：平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
几何语言：
图一
拓展：
.如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；
.经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；
图二
3）、经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。
图三
要点二：平行线分线段成比例定理1.平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.
平行线分线段成比例定理2.平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例
专题6.11 相似图形（知识讲解）
【学习目标】
1.理解并掌握相似多边形的定义，明确相似多边形的两个条件；
2.理解并掌握相似多边形的性质，相似比的意义；
3.运用相似多边形的两个条件证明多边形相似；
4.运用相似多边形的性质求线段长。
【要点梳理】
要点一：相似多边形的概念：
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做，相似多边形对应边的比叫做。
要点二：相似多边形的性质：
性质1:相似多边形周长比等于相似比。
性质2:相似多边形对应对角线的比等于相似比。
性质3:相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。
性质4:相似多边形面积的比等于相似比的平方。
性质5:若相似比为1，则全等。
性质6:相似的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例。
性质7:相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
专题6.15 探索三角形相似的条件（知识讲解）
【学习目标】
1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；
2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.
【要点梳理】
要点一：相似三角形有有关概念
如图：在和中，如果
我们就说与相似，记作
∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.
特别说明：
(1)、书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，
即∽，则说明点A的对应点是A′，
点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；
（2）、对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果
两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.
要点二：相似三角形的判定
1、判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
2、判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　
3、判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
特别说明：
　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
4．判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
特别说明：
　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
专题6.20 相似三角形的性质（知识讲解）
【学习目标】
理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上；
灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算；
运用相似三角形的性质解决综合问题。
【要点梳理】
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
特别说明：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ∽，则
由比例性质可得：
图一 图二
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二，∽，则分别作出与的高和，则
特别说明：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
专题6.24 图形的位似（知识讲解）
【学习目标】
1.了解图形的位似，明确位似变换是特殊的相似变换；
2.能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；
【要点梳理】
知识点1：位似图形概念
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
知识点2：位似图形的性质
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
特别说明：
（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未
必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
知识点3：平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
知识点4：作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
　　第二步：作位似中心与各关键点连线；
　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
　　第四步：顺次连接各对应点.
特别说明：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
专题6.29 相似三角形几何模型-A型图（知识讲解）
相似三角形A型图类型：
图一 图二
图三 图四
专题6.32 相似三角形几何模型-X型图（知识讲解）
图一 图二 图三
专题6.35 相似三角形几何模型-一线三等角（知识讲解）
模型一：一线三直角
图一 图二
模型二：一线三等角
图三 图四
图五
图六
专题6.39 相似三角形几何模型-双垂线等角（知识讲解）
【非共顶点双垂线等角模型】
【双垂线共顶点等角模型】
【双垂线共顶点等角模型拓展】
专题6.46 《图形的相似》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；
2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；
3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；
4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【要点梳理】
【知识点一】成比例线段
1、定义：四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
2、性质：
（1）基本性质：如果，那么；反之，若，那么
（2）等比性质：如果，那么
（3）合比性质：如果，那么，
【知识点二】平行线分线段成比例
1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例
【知识点三】相似多边形
1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比
2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
【知识点四】相似三角形
1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形
2、判定：
（1）两角分别相等的两个三角形相似
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
（3）三边成比例的两个三角形相似
3、性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例
（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
【知识点五】黄金分割
点把线段分成两条线段和 ，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即
【知识点六】位似图形
1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
3、画图步骤：
（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出
新图形
（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同
一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为
专题7.1 锐角三角函数 正弦 余弦与正切（知识讲解）
【学习目标】
1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；
2．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.
【要点梳理】
【知识点一】锐角三角函数概念的理解
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
　锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；
同理；
特别说明：
　　(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
　　(2)tan,sinA，cosA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
　　(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．
【知识点二】锐角三角函数的增减性
专题7.4 特殊角的三角函数（知识讲解）
【学习目标】
会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；
会进行有关三角函数的计算应用
【要点梳理】
特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45° 1
60°
特别说明：
　　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，
则锐角．
　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
　 　的值依次为、、，而的值的顺序正好相反，的值依次增大，其变化规律可以总结为：
　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
　 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
专题7.6 锐角三角函数值与锐角关系（知识讲解）
【学习目标】
会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．
【要点梳理】
锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
　　(1)互余关系：，；
　　(2)平方关系：；
　　(3)倒数关系：或；
　　(4)商数关系：．
　　要点诠释：
　　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
专题7.8 解直角三角形（知识讲解）
【学习目标】
1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；
2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．
【要点梳理】
要点一、解直角三角形
　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
　　③边角之间的关系：
　　　，，，
　　　，，.
　　④，h为斜边上的高.
要点诠释：
　　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.
　　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
　　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
要点二、解直角三角形的常见类型及解法
已知条件 解法步骤
Rt△ABC
两
边 两直角边(a，b) 由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角 一直角边
和一锐角 锐角、邻边
(如∠A，b) ∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a) ∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A，
，
要点诠释：
　　1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
　　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.
专题7.11 用锐角三角函数解决问题（知识讲解）
【学习目标】
理解用三角函数解决实际问题的有关概念；
理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。
【要点梳理】
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
　　解这类问题的一般过程是：
　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
　　拓展：
　　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
　　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
　　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
　　　　　　　　　　　　
　　(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.
特别说明：
　　1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.
　　2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.
　　　　　　
　　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.
专题7.14 锐角三角函数（全章复习与巩固）（知识讲解）
【学习目标】
1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、
45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；
2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；
3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两
个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；
4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，
体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.
【要点梳理】
要点一、锐角三角函数
1.正弦、余弦、正切的定义
　　如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：
(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.
　　 (2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.
　　(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.
　　要点诠释：
　　(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
　　(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.
　　(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.
　　(4)三角函数有时还可以表示成等.
2.锐角三角函数的定义
　　锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
要点诠释：
　　1. 函数值的取值范围
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.
　　2．锐角三角函数之间的关系：
　　余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，
那么：sinA=cosB； cosA=sinB；
　　同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=
　　3.30°、45°、60°角的三角函数值
∠A 30° 45° 60°
sinA
cosA
tanA 1
30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.
要点二、解直角三角形
　　在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
　　解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：　　
　　角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
　　边边关系：勾股定理，即；
　　边角关系：锐角三角函数，即
　　
特别说明：
　　解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
　　(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
　　(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
要点三、解直角三角形的应用
　　解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
1.解这类问题的一般过程
　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
　　2.常见应用问题
　　(1)坡度：； 坡角:.
　　　　　
　　(2)方位角：
　　　　　
　　(3)仰角与俯角：
　　　　　
要点诠释：
1．解直角三角形的常见类型及解法
已知条件 解法步骤
Rt△ABC
两
边 两直角边(a，b) 由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角 一直角边
和一锐角 锐角、邻边
(如∠A，b) ∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a) ∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A，
，
2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
　　　　
　　把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
　　借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．
　　当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
3．锐角三角函数的应用
　　用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁.
　　如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：
　　　　∵
　　　　∴
　　　　∵
　　　　∴
　　　　∵
　　　　∴