2.2探索直线平行的条件 讲义 北师大版数学七年级下册

授课主题 探索直线平行线的条件
年 级 七下
知 识 梳 理
知识点一、同位角、内错角、同旁内角的概念 1. “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图. 注：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成． 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图， 同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. 内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角. 同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 注：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角． 知识点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 知识点三、平行线的画法及平行公理 1.平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2 注：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 知识点七、平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 注：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
例题精讲
考点1：同位角、内错角和同旁内角的辨识 例题： 1．如图，和不是同位角的是( ) A． B． C． D． 2．如图所示，下列结论中正确的是( ) A．∠1和∠2是同位角 B．∠1和∠4是内错角 C．∠2和∠3是同旁内角 D．∠3和∠4是对顶角 第2题图 第3题图 第4题图 3．如图，下列说法错误的是(　　) A．∠1与∠3是对顶角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠2与∠6是同位角 D．∠3与∠5是同旁内角 4．如图，∠1与∠2是( ) A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．以上都不对 5．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是( ) A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 6.如图，共有_____对同位角，有_____对内错角，有_____对同旁内角． 练习： 1．如图，的同位角是(　　　) A． B． C． D． 第1题图 第2题图 2．如图，直线和被直线所截，则(　　　) A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是同位角 D．和是内错角 3．如图，和不是同旁内角的是( ) A． B． C． D． 4．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是( ) A． B． C． D． 5．如图，直线，被直线所截，则与是( ) A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 6．分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角． 7．如图，与是同位角的是__________． 考点2:平面内两直线位置关系 例题： 1．下列说法正确的是( ) A．没交点的两直线一定平行 B．两直线平行一定没交点 C．没交点的线段一定平行 D．相交的两直线可能平行 2．已知内部有一点，过点画的平行线，这样的直线( ) A．有且只有一条 B．有两条 C．有三条 D．有无数条 3.下列命题中，(1)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；(2)内错角相等；(3)对顶角相等；(4)过一点有且只有一条直线与已知直线平行；(5)如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直.(6)点到直线的垂线段叫做点到直线的距离。正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如果，与相交，，那么与的关系为________． 练习: 1．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是( ) A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或垂直或平行 2．下列说法，①两点之间的所有连线中，线段最短；②相等的角叫对顶角；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④不相交的两条直线叫做平行线；⑤直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短；⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；正确的有( ) A．个 B．个 C．个 D．个 3．同一平面内，两条直线的位置关系有_____________________ ． 4．如图所示，直线，被直线所截，∠1＝∠2，则直线，的位置关系为______(用符号表示)． 考点3：平行公理及应用 例题： 1．下列说法中不正确的是 ( ) A．三条直线，，若，，则 B．在同一平面内，若直线，，则 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．下列说法错误的是( ) A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内的两条不相交的直线是平行线 C．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 3．下列命题中，是真命题的有(　　) ①同位角相等；②对顶角相等；③同一平面内，如果直线l1∥l2，直线l2∥l3，那么l1∥l3；④同一平面内，如果直线l1⊥l2，直线l2⊥l3，那么l1∥l3． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4.下列命题中的真命题是(　　) A．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b⊥c，则a∥c B．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b∥c，则a∥c D．在同一平面内，a、b、c是直线，如果a∥b，b∥c，则a⊥c 练习： 1．已知是同一平面内的不同直线，下列说法正确的是( ) A．若与相交，与相交，则与相交 B．若，，则 C．若，，则 D．若两两相交，有三个交点 2．在统一平面内有三条直线、、，下列说法：①若，，则；②若，，则，其中正确的是( ) A．只有① B．只有② C．①②都正确 D．①②都不正确 3．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是( ) A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 考点4：平行线的判定 例题： 1．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是( ) A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＋∠4＝180° 第1题图 第2题图 2．如图，在下列给出的条件中，能判定的是(　　) A．∠4＝∠3 B．∠1＝∠A C．∠1＝∠4 D．∠4+∠2＝180° 3．如图，点E在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是( ) A． B． C． D． 第3题图 第4题图 4．如图，能判断直线AB∥CD的条件是( ) A． B． C． D． 5．如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠DCE；④∠B+∠BAD=180°，其中能推出的是( ) A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 第5题图 第6题图 6．如图，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：(1)；(2)；(3)；(4)，其中能判定的条件的序号是( ) A．(1)，(2) B．(1)，(3) C．(1)，(4) D．(3)，(4) 7．下列说法中：(1)不相交的两条直线叫做平行线；(2)经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；(3)垂直于同一条直线的两直线平行；(4)直线，，则；(5)两条直线被第三条直线所截，同位角相等． 其中正确的是________． 8．已知：如图，，和互余，和互余，求证：． 练习： 1．如图是利用直尺和三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，这样做的依据是( ) A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行 第1题图 第2题图 2．如图，能判定的条件是( ) A． B． C． D． 3．如图，下列条件：①；②；③ ；④，其中能判定的是( ) A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 第3题图 第4题图 4．如图，已知直线a、b、c，若∠1＝∠2＝60°，且∠2＝∠3，则图中平行线组数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图，已知下列条件不能判定直线的是( ) A． B． C． D． 第5题图 第6题图 6.如图，点在的延长线上，给出的五个条件：①；②；③；④；⑤．能判断的有___________． 7．如图，点E在的延长线上，下列四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是__________________(填写正确的序号即可)． 第7题图 第8题图 8．如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，请说明AB与DE平行的理由． 解：将∠2的邻补角记作∠4，则 ∠2+∠4＝　　°(　　) 因为∠2+∠3＝180° (　　) 所以∠3＝∠4(　　) 因为　 　(　　) 所以∠1＝∠4( ) 所以AB//DE(　 　) 9．数学活动课上，小亮把两个含30°角的三角板按照如图所示方式摆放，点，，，在同一条直线上，他让小明判断直线与的位置关系，小明很快说出了答案并讲出了判断的依据.请你猜猜小明的答案和理由.