2023～2024学年度高一上学期期末考试
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4. 设函数则（ ）
A. B. C. D.
5. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C D.
7. 国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（ ）（参考数据：，）
A. 12年 B. 13年 C. 14年 D. 15年
8. 已知函数在上单调递减，则实数取值范围是（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A.
B.
C. 至少有一个，使x能同时被3和5整除
D. 每个平行四边形都是中心对称图形
10. 下列判断正确的有（ ）
A. B. （其中，）
C. （其中） D.
11. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期是 B. 图象关于直线对称
C. 图象关于点对称 D. 在区间上单调递增
12. 已知，为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 集合的真子集的个数是___________.
14. 若，则值为___________．
15. 已知，，则的取值范围是________.
16. 已知函数是偶函数，若函数无零点，则实数的取值范围为____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集．
18. 已知幂函数的图象过点.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
19. 已知，，且.
（1）求ab的最小值；
（2）求的最小值.
20. 已知sinα+cosα．
（1）求sin2α的值；
（2）若cos（2α+β），α∈[，]，β∈[0，]，求β的值．
21. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性；
（3）若，求实数的取值范围.
22. 若函数满足：对于任意正数m，n，都有，且，则称函数为“速增函数”．
（1）试判断函数与否为“速增函数”；
（2）若函数为“速增函数”，求a的取值范围．2023～2024学年度高一上学期期末考试
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】可以推出；但，则不一定为0.
故选：A.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式结合对数函数定义域以及交集的概念即可得解.
【详解】由可得，或，故．
故选：D．
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出，则定义域为，再利用，解出即可.
【详解】，则，的定义域为，
所以，解得，故其定义域为，
故选：C.
4. 设函数则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据解析式进行迭代可得，然后可得答案.
【详解】由解析式可得，
所以．
故选：B．
5. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数图象的平移变换，可得到平移后的函数解析式，结合其图象性质，列出所满足的相应等式，即可求得答案.
【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度后，
得到的函数图象对应的解析式为，
由于的图象关于轴对称，即为偶函数，
故，即，
由于，故，
故选：D
6. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇偶性可排除D；取可排除A；利用导数判断时的单调性可排除C，然后可得正确答案.
【详解】的定义域为R.
是偶函数，排除D；
又，排除A；
当时，，，
，
在上单调递增，排除C．
故选：B．
7. 国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（ ）（参考数据：，）
A. 12年 B. 13年 C. 14年 D. 15年
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出不等式，两边取对数，即可求解.
【详解】设该品牌设置的质保期至多为年，
由题意可得，，则，
两边取对数，即，则，
即，则，
因为，所以，则，又因为，所以，
故选：C.
8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦函数图像性质可得单调区间长度小于等于半周期，即可得，再利用整体代换法即可求得， 取即可得出结果.
【详解】函数的最小正周期，
所以，即．
当时，，
依题意知，，
解得，又
∴当时成立，．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A.
B.
C. 至少有一个，使x能同时被3和5整除
D. 每个平行四边形都中心对称图形
【答案】BC
【解析】
【分析】根据存在量词命题的定义及真命题的判定即可依次判断各选项.
【详解】对于A，因为所有实数的绝对值非负，即，所以A是假命题；
对于B，当时，满足，所以B是真命题；
对于C，15能同时被3和5整除，所以C是真命题；
对于D，是全称量词命题，所以不符合题意．
故选：BC．
10. 下列判断正确的有（ ）
A. B. （其中，）
C. （其中） D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用指数幂、对数的运算性质计算即可判断.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，由对数性质可知，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，,所以，D正确.
故选：ACD
11. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期是 B. 图象关于直线对称
C. 图象关于点对称 D. 在区间上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正切函数的最小正周期，可判断A；根据正切函数没有对称轴可判断B；采用代入验证的方法可判断C；根据正切函数的单调性可判断D.
【详解】对于A，由于正切函数的最小正周期是，
故函数最小正周期是，A正确；
对于B，由于正切函数没有对称轴，故的图象也没有对称轴，B错误；
对于C，由于，故的图象关于点对称，C正确；
对于D，由于正切函数在上单调递增，
故对于函数，令，
则，
故在区间上单调递增，D正确，
故选：ACD
12. 已知，为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，方程变形得到，利用基本不等式求出答案；B选项，由变形后，利用基本不等式求出最值；C选项，由由变形得到，构造，求导得到其单调性，进而求出最值情况；D选项，由证明出，进而证明出.
【详解】A选项，由可知，即，
故，
因为，所以，所以，故，A选项正确；
B选项，由A选项可知，，又，
故，
当且仅当，时或，时取“=”，B选项正确；
C选项，由A选项可知，，又，故，
令，有，
令，解得，令，解得，
可知的单调递减区间为，单调递增区间为，
故，故，C选项错误；
D选项，等价于，即，
因为，又，故，当且仅当，
即时，等号成立，故D选项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 集合的真子集的个数是___________.
【答案】31
【解析】
【分析】先求出集合中元素个数，进而求出真子集的个数.
【详解】共5个元素，
则真子集个数是.
故答案为：31
14. 若，则的值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用对数的运算法则与指对数互化求得，从而得到，进而得解.
【详解】因为，则，所以，
则，所以.
故答案为：.
15. 已知，，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由不等式的性质求解.
【详解】，，
设，
所以，解得：，
所以，
又，
所以，即的取值范围是.
故答案为：
16. 已知函数是偶函数，若函数无零点，则实数的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性求出k的值，即得的表达式，函数无零点，即无实数解，令，即将问题转化为的图象与直线无交点，进而求出的范围，即可求得答案.
【详解】由题意知函数是偶函数，
故对于，有，
即，
故，
故，由于，故；
函数无零点，即无实数解，
即无实数解，
令，则的图象与直线无交点；
而，
由于在R上单调递减，故在R上单调递减，
当x趋向于无穷大时，无限趋近于0，且，故，且可无限接近于1，
当x趋向于负穷大时，趋近于正无穷大，
故，
故要使得的图象与直线无交点，需满足，
即实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了函数奇偶性的应用以及零点问题，解答的关键在于将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可解决.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求不等式解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数的图象，可得，，得到，再由，求得，即可求解；
（2）由不等式，得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数的图象，可得，，
可得，所以，即，
又由，即，
可得，即，
因为，可得，所以.
【小问2详解】
由不等式，可得，可得，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
18. 已知幂函数的图象过点.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用幂函数的定义，结合其图象所过的点求出解析式.
（2）利用（1）的结论，分离参数构造函数，再求出函数的最小值即得.
【小问1详解】
设函数，由的图象过点，得，解得，
所以函数的解析式是.
【小问2详解】
由（1）知，，则，由，得，
即，令，依题意，任意，，
而函数在上单调递减，，因此，
所以实数取值范围是.
19. 已知，，且.
（1）求ab的最小值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；
（2）利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，所以，
所以，所以，当且仅当即时等号成立，即ab的最小值为；
【小问2详解】
，
当且仅当即即时，等号成立，
所以的最小值为.
20. 已知sinα+cosα．
（1）求sin2α的值；
（2）若cos（2α+β），α∈[，]，β∈[0，]，求β的值．
【答案】（1）sin2α（2）
【解析】
【分析】（1）把已知等式sinα+cosα两边平方，结合正弦的二倍角公式可得；
（2）先确定角的范围，求出，然后由求出，从而可得．
【详解】（1）∵sinα+cosα，
∴sin2α+2sinαcosα+cos2α，
∴1+sin2α＝1，
∴sin2α；
（2）∵，∴2，
∴cos2α，
∵，∴，
又cos（2α+β）0，故2，
∴，
∴cosβ＝cos（2α+β﹣2α）＝cos（2α+β）cos2α+sin（2α+β）sin2α，
∴．
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查二倍角公式、两角和与差的余弦公式，解题时注意分析已知角和待求角的关系，以确定选用的公式．
21. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数单调性；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数 （2）在上单调递增
（3）
【解析】
【分析】（1）求出函数定义域，根据函数奇偶性的定义，即可判断出函数的奇偶性；
（2）将变形为，根据复合函数的单调性的判断方法，即可判断出答案；
（3）根据函数的单调性，可列出不等式组，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意得函数定义域为，关于原点对称，
则，
故函数为奇函数；
【小问2详解】
由于，
由于函数在上单调递减，而在上单调递减，
故在上单调递增；
【小问3详解】
因为在上单调递增，
故成立，需满足，
解得.
22. 若函数满足：对于任意正数m，n，都有，且，则称函数为“速增函数”．
（1）试判断函数与是否为“速增函数”；
（2）若函数为“速增函数”，求a的取值范围．
【答案】（1）是“速增函数”，不是“速增函数”
（2）
【解析】
【分析】（1）根据“速增函数”的定义，利用作差法可判断函数；根据“速增函数”的定义，通过举反例可判断函数.
（2）先根据“速增函数”的定义将问题转化为不等式恒成立问题；再利用指数运算法则和指数函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
对于函数，
当时，有；
因为，
所以，
故根据“速增函数”的定义可得：是“速增函数”.
对于函数，
当时，有，
故根据“速增函数”的定义可得：不是“速增函数”.
【小问2详解】
因为是“速增函数”，
根据“速增函数”的定义可得：
当时，恒成立；
当时， 恒成立.
由当时，恒成立可
得：对一切正数n恒成立.
又因为当时，，
所以对一切正数n恒成立，
所以，即.
由当时， 恒成立，可得：，
即对一切正数恒成立.
因为
，
所以，
又因为当时，，
所以，
由对一切正数恒成立，可得，即．
综上可知，a的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体考查恒成立问题、指数运算法则和指数函数的单调性.第（1）问解题关键在于理解函数新定义；第（2）问利用转化的思想将所求问题转化为不等式恒成立问题，再利用指数运算法则和指数函数的单调性即可求解.
