2023-2024学年江苏省盐城市阜宁县高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省盐城市阜宁县高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知扇形的半径为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为( )
A. B. C. D.
3.若，，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
4.已知角的终边过点，且，则( )
A. B. C. D.
5.函数的零点所在的大致区间是( )
A. B. C. D.
6.已知，则等于( )
A. B. C. D.
7.设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，若，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.取一条长度为的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第次操作中去掉的线段长度之和不小于，则的最大值为( )
参考数据：，
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.函数的部分图象如图所示，则结论正确的是( )
A.
B.
C. 当时，的值域为
D. 在上单调递减
11.有如下命题，其中真命题的选项为( )
A. 若幂函数的图象过点，则
B. 函数，且的图象恒过定点
C. 函数有两个零点
D. 若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是
12.若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“阶马格丁香小花花”函数给出下列个函数，其中是“阶马格丁香小花花”函数的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，若是第二象限角，则的值为______．
14.已知函数，若，则 ______．
15.若，，则 ______．
16.已知函数是自然对数的底数有唯一零点，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，
求值：；
求值：
18.本小题分
已知函数，直线是其图象的一条对称轴．
求的值；
用五点作图法列表画出函数的草图，并写出函数在上的单调减区间．
19.本小题分
某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费元．已知这种水果的市场售价大约为元千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为单位：元．
求函数关系式；
当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
20.本小题分
已知函数，且当时的最小值为．
求的值；
先将函数的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和．
21.本小题分
若函数满足其中且．
求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
当时，的值恒为负数，求的取值范围．
22.本小题分
对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部中心函数”．
已知二次函数，试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由；
若是定义域为上的“局部中心函数”，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据交集的概念可得，．
故选：．
根据交集的概念，求解即可得出答案．
本题考查了交集及其运算，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由已知可得，扇形的半径，圆心角的弧度数，
所以扇形的弧长为，
扇形的周长为．
故选：．
先求出扇形的弧长，进而即可得出答案．先求出扇形的弧长，进而即可得出答案．
本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：当，则和无意义，得不出，所以充分性不成立，
当时，则，可以得出，则必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
根据对数的性质以及充分，必要条件的定义即可求解．
本题考查了充分，必要条件的定义，考查了学生的运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由于角的终边过点，
所以，解得．
故选：．
直接利用三角函数的定义建立方程组，进一步求出的值．
本题考查的知识要点：三角函数的的定义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数在上是增函数，
求解：，，，，
根据零点存在定理，可得函数的零点所在的大致区间是
故选：．
确定，，，，根据零点存在定理，可得结论．
本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的化简和求值，利用换元法进行转化，结合三角函数的诱导公式是解决本题的关键．
利用换元法设，则，然后利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．
【解答】
解：设，则，则，
则，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，
可得，且，
则的最小正周期为，且的图象关于和对称，
当时，为增函数，
可得，
，
由于，
即有，
可得，
则，
故选：．
由偶函数的定义和周期函数的定义可得的最小正周期为，且的图象关于和对称，再由指数函数的单调性，可得所求结论．
本题考查函数的奇偶性和单调性、周期性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：第一次操作去掉的线段长度为，
第二次操作去掉的线段长度之和为，
第三次操作去掉的线段长度之和为，
，
第次操作去掉的线段长度之和为，由题意可知，，
则，
则，
所以，
即，
又，，
代入上式，可得，
故选：．
可分析得到第次操作去掉的线段长度之和为，即，解指数不等式，利用，估计即可．
本题考查数列的应用、指数不等式的求解，考查学生的归纳推理能力和计算能力，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：，，且，
，当且仅当时，等号成立，
故A正确；
，
当且仅当，即时，等号成立，
故B正确；
，
当且仅当，即时，等号成立，
故C错误；
，
当且仅当时，等号成立，
故D错误；
故选：．
由基本不等式及其转化可直接判断选项ACD，化简，从而判断选项B．
本题考查了基本不等式及其变形的应用，考查了转化思想与整体思想的应用，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由图知，
解得，故A正确；
对于，由“五点作图法”知，故；
所以，
所以，故B正确；
对于，当时，，
即的值域为，故C错误；
对于，当时，，则在上单调递减，
所以在上单调递减，故D正确，
故选：．
利用的部分图象可确定其解析式，继而对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查由的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的性质及其应用，考查识图能力与运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
根据幂函数的定义判断选项A，由指数函数的性质判断选项B，由函数的单调性以及零点存在性定理的应用判断选项C，由二次函数的图象和性质判断选项D．
本题考查命题的真假判断及其应用，函数的性质等，属于中档题．
【解答】
解：设幂函数，将代入，解得，
则，不成立，A错误；
函数，且中，令，则函数图象恒过定点，B正确；
函数在上单调递增，且，故只有一个零点，C错误；
函数的对称轴为，此时取得函数最小值，又，故的取值范围是，D正确；
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
根据题意，依次分析选项中函数是否为“阶马格丁香小花花”函数，综合即可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数值的计算，关键是理解“阶马格丁香小花花”的定义．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，对于，若是“阶马格丁香小花花”函数，
则有解，变形可得，
而该方程无实数解，故不是“阶马格丁香小花花”函数，
对于，对于，其定义域为，若是“阶马格丁香小花花”函数，
则方程有解，
变形可得，解可得，函数是“阶马格丁香小花花”函数；
对于，，若存在，使，
则，即，
而，故方程无解．
故不是“阶马格丁香小花花”函数；
对于，，存在，有成立，
故是“阶马格丁香小花花”函数，
故选：．
13.【答案】
【解析】解：，
所以，
所以，
所以，
又因为是第二象限角，
所以，，
所以．
故答案为：．
直接利用完全平方和平方关系求解．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
14.【答案】
【解析】解：，
，
又，
．
故答案为：．
由题意可得，结合已知，可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】或
【解析】解：由已知可得，，
所以，，
整理可得，，解得或，
当时，，，；
当时，，，，
综上所述，或．
故答案为：或．
根据，代入整理求解得出的值，进而得出，的值，即可得出答案．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，
所以为偶函数，
又函数为唯一零点，
所以零点为，
所以，
所以．
故答案为：．
根据函数为偶函数，可得零点为，从而可求的的值．
本题考查函数的零点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由已知可得，
因为，
所以原式；
由已知可得，
因为，
所以原式．
【解析】先根据诱导公式化简，然后齐次式化简，代入，即可得出答案；
根据“”的代换化简，然后齐次式化简，代入，即可得出答案．
本题主要考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：依题意，由，得，，
又，
；
由可得，
列表如下：
描点，连线，可得函数的图象如下：
由函数图像可得函数在上的单调减区间为，．
【解析】由，结合，化简即可可到的值；
用五点作图法列表即可画出函数的草图，根据函数图象即可写出函数在上的单调减区间．
本题考查了正弦型函数的图象与性质，考查了五点法作图，考查分析解决问题的能力和计算能力，作图能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为肥料成本投入为元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费元．已知这种水果的市场售价大约为元千克，且，
所以，
即函数关系式为；
由得，
当时，元；
当时，元，当且仅当时，即时等号成立．
因为，所以当时，元．
所以当施用肥料为千克时，种植该果树获得的最大利润是元
【解析】利用，即可求解；
对进行化简，得到，分类在和时，求解的最大值，进而得到答案．
本题考查了函数模型在实际问题中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：由于，所以，
故，
故的最小值为，解得．
由于的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，
由，整理得，
故或，
故，，
由于，故所有根之和为．
【解析】直接利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最小值，最后求出的值；
利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，最后求出函数的所有根的和．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：设，则，且
代入得，
，
所以，，
因为，
所以函数是奇函数，
当时，，且在上是增函数，
所以函数在上是增函数，
当时，，且在上是减函数，
所以函数在上是增函数，
综上可得，函数在上是增函数；
由可得，函数在上是增函数，
所以的值恒为负数，即，
则，
化简解得，，
解得，
所以的取值范围是
【解析】本题考查指数函数的单调性，函数奇偶性、单调性的判断，利用换元法求函数的解析式，以及恒成立问题的转化．
设，则，代入解析式化简求出，由奇函数的定义判断出奇偶性，对进行分类讨论，根据指数函数的单调性判断出的单调性；
由判断出函数在上的单调性，由恒成立求出的取值范围．
22.【答案】解：

当时，，
是“局部中心函数”
是上“局部中心函数”，
，
即有解．
令，则，则在时有解，
当时，，则，；
当时，令，
则，解得
，
综上可得．
【解析】本题考查新定义问题，考查函数的对称性，代换法及二次函数的性质．
根据新定义直接代入判断即可；
问题转化为在时有解即可求解．
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