2023-2024学年湖北省武汉市第二中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省武汉重点中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.设集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.，，，则、、的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.若，，则( )
A. B. C. D.
6.若要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
7.已知函数，其中若在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 的角是一个锐角
B. 与的终边相同
C. 将时钟拨快分钟，则分钟转过的角度是
D. 若是第一象限角，则为第一或第三象限角
10.下列各式中值为的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则以下结论正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点成中心对称
C. 函数与的图象在上有偶数个交点
D. 当时，
12.已知函数，，的零点分别为，，，下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形面积为______．
14.已知幂函数是上的增函数，则的值为______．
15.某公园有一座摩天轮，其旋转半径米，最高点距离地面米，匀速运行一周大约分钟某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时，他距地面大约为______米
16.已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算；
计算
18.本小题分
已知：实数满足，．
若，求实数的取值范围；
已知：实数满足若存在实数，使得是的必要不充分条件，则求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
化简的解析式；
若，且，，求．
20.本小题分
已知函数，如图、是直线与曲线的两个交点，且，又．
求函数的解析式；
求函数的增区间．
21.本小题分
已知函数．
判断并证明的奇偶性，并求出使成立的的取值范围；
设中的取值范围为集合现有函数，其定义域为，若对中任意一个元素，都存在个不同的实数，，，，，使其中，，，，，，则称为的“重对应函数”试判断是否为的“重对应函数”？如果是，写出并计算出；如果不是，请说明理由．
22.本小题分
已知函数满足：对，都有，且当时，函数．
求实数的值，并写出函数在区间的零点无需证明；
函数，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为命题“，”是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题即，．
故选：．
利用含有一个量词的命题的否定的定义求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，
故A．
故选：．
先求出集合，，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
当且仅当时，即取等号，
所以的最小值为．
故选：．
利用乘“”法即得．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三个数的大小的求法，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于基础题．
利用对数函数和指数函数的性质求解即可．
【解答】
解：，，
，，
，，即，
，
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查利用与之间的关系求值，属于基础题．
推导出，从而得出，由此能求出的值．
【解答】
解：，
，
，
，
，，
．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：函数，
所以只需将函数的图象向右平移个单位长度，
即可得到函数的图象．
故选：．
利用诱导公式化简三角函数为同名函数，然后判断函数图象平移的单位与方向．
本题考查三角函数的图象的平移以及诱导公式的应用，是基本知识的考查．
7.【答案】
【解析】解：，
函数在区间内单调递增，
，
，
，
，
若在区间上单调递增，
则，
解得，
当时，，
又因为，
．
故选：．
若在区间上单调递增，满足两条件：区间的长度超过；的整体范围在余弦函数的增区间内，取合适的整数求出的取值范围．
本题考查的知识要点：余弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的函数的实际应用，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．作，，平行四边形面积即为矩形的面积，设，利用参数表示出面积，即可得到其最大值．
【解答】
解：如图，作，，垂足分别为、，则平行四边形面积即为矩形的面积，
设，由题，则，，
所以矩形面积
，其中，
则，所以当时，矩形面积最大，最大值为，
此时平行四边形的面积也取得最大值．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：项，，是钝角，A错误；
项，，与终边相同，
，是第三象限角，而是第一象限角，B错误；
项，时钟拨快分钟，则分钟转过的角为负角，且是整个表盘的一半，则为，C正确；
项，是第一象限角，，，
，是第一或第三象限角，D正确．
故选：．
根据终边三角函数的定义判断，，，根据角的范围判断项．
本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项A，，即符合题意；
选项B，，即符合题意；
选项C，，即不符合题意．
选项D，
，即符合题意．
故选：．
选项A，由，结合诱导公式，化简即可；
选项B，利用二倍角公式，可得解；
选项C，结合诱导公式与二倍角公式，化简运算，得解；
选项D，由辅助角公式化简，结合正弦的二倍角公式，即可得到结果．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运输能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A：，
函数的最小正周期为，故A正确；
对于选项B：，
函数的图象天于点成中心对称，故B错误；
对于选项C：，
函数的图象关于点成中心对称，
即函数与的图象均关于点成中心对称，
，即为函数与的一个交点，
当，函数与的图象有个交点，
则当，函数与的图象有个交点，
综上所述：函数与的图象有个交点，为奇数个，故C错误；
对于选项D：当时，则，所以，
且，，，
，故D正确．
故选：．
对于选项A，化简得，求得其周期，可判断；
对于选项B，整理得，可判断；
对于选项C，分析可得函数与的图象均关于点成中心对称，且，由此可判断；
对于选项D，当时，分析得，，可判断．
本题考查函数与方程的综合运用，考查逻辑推理与综合运算能力，属于难题．
12.【答案】
【解析】解：函数，，，
显然，，均为单调递增函数，
由题意得：，，即，
又由于单调递增，故，
即，，故A，C正确
又，，故
故，
又，因此有，故B错误，
，因此，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合函数的性质，以及零点存在定理，即可求解．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设扇形的半径为，由题意可得：，解得，
则扇形的面积．
故答案为：．
利用扇形的周长、弧长的计算公式可得半径，再利用扇形面积计算公式即可得出．
本题考查了扇形的周长、弧长的计算公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为为幂函数，
所以即或，
又因为为上的增函数，所以．
故答案为：．
由幂函数的定义可知，，又由为上的增函数，可得．
本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：如图设为地面，圆为摩天轮，其旋转半径米，最高点距离地面米，
则摩天轮的最低点离地面米，即，
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时所在位置的高度为，
则，
由题意，，
则，
所以，
当时，．
故答案为：．
建立平面直角坐标系，求出某人第分钟时所在位置关于的解析式，利用函数解析式求出时的值即可．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：函数，当时，，当时，，
而，即有，依题意，，即，又，则有，
当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，
于是，函数在上单调递增，则，
有，因此，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
根据给定条件，由函数最小值为可得，再按，结合的取值情况求解即得．
本题主要考查了分段函数性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：原式；
原式 ．
【解析】利用幂的运算 和对数的运算法则即可计算．
本题考查幂的运算，对数的运算，属于基础题．
18.【答案】解：时，由不等式可得：，即实数的取值范围为．
由不等式可得：，因，故，则有：，
因是的必要不充分条件，故，，则，，故得：，
即实数的取值范围为．
【解析】代入的值，求解一元二次不等式即得；
先求出命题表示的范围，再根据是的必要不充分条件推得两个范围之间的包含关系，继而求得的取值范围．
本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题．
19.【答案】解：；
由于，
故，
所以，
由于，
故，，，
所以，，
故，，
故，
所以．
【解析】直接利用三角函数的诱导公式求出结果；
利用三角函数的值和角的恒等变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式，角的恒等变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意设，，则，，
由图可知点，，在同一个周期内，
则，，
又因为，则，可得，解得，
则，解得，
所以，，
即；
函数
，
令，则，
所以，
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为，．
【解析】设出点，的坐标，然后根据正弦函数的性质以及数形结合求出，的值，由此即可求解；化简函数的解析式得，然后令，则，从而化简得出函数，然后利用正弦函数的单调性整体代换即可求解．
本题考查了求解三角函数解析式以及单调性问题，考查了学生的识图能力以及运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：函数为偶函数，证明如下：
函数，其定义域为，
又，则函数为偶函数．
设，则，
又由，则，故有上式，故函数在上为增函数；
又由，
则，即，
变形可得，解得，
即的取值范围是．
因为，所以，作出在上的图象如下图，
由图象可知，当时，函数与在上的图象恒有个交点，
根据定义可得是的“重覆盖函数”，即．
由的对称性知：，，
则，
所以是的“重对应函数”，
．
【解析】根据对数运算法则将函数化简之后判断奇偶性与单调性，从而将不等式进行转化，即可得解；
在上的图象，数形结合即可得解．
本题主要考查函数与方程的综合，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：由题意可得：，则，解得，
函数在区间的零点是；
令，可得，即，
定义域为，
，则对，，且，
可得，且在是增函数，
则，即，
在是增函数，
若恒成立，则首先要满足恒成立，
又，，
令，，，
则，解得，
又，
故当时，对任意时恒成立，
而在上是增函数，在上是减函数，
在上是增函数，又，
故恒成立只需恒成立，
即，解得，
综上所述：存在实数，使得恒成立，的取值范围为．
【解析】根据求出答案；
根据的定义域，得到在是增函数，若恒成立，则首先要满足恒成立，利用换元法结合在上是增函数，在上是减函数，即可求解．
本题考查了函数的恒成立问题，属于难题．
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