2023-2024学年宁夏石嘴山市平罗重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年宁夏石嘴山市平罗重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.点 关于平面对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
4.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是( )
A. B. C. D.
5.抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
6.如图，在平行六面体中，为的中点，若，则( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
7.等比数列的前项和为，已知，，则等于( )
A. B. C. D.
8.若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，则下列结论正确的是( )
A. 直线的倾斜角是
B. 若直线，则
C. 点到直线的距离是
D. 过与直线平行的直线方程是
10.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，则下列说法正确的是( )
A. ，，，四点共面
B.
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离为
11.已知等差数列的前项和是，且，，则( )
A. B. C. D. 的最小值为
12.若是圆所在平面内的一定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹可能是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知空间向量，，则 ______．
14.椭圆上一点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为______．
15.已知等比数列满足，，则 ______．
16.设为双曲线在第一象限的一个动点，过点向两条渐近线作垂线，垂足分别为、，若、始终在第一或第二象限内，则该双曲线的离心率的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知的顶点，，．
求边所在直线的方程；
求的面积．
18.本小题分
已知在等差数列中，，．
求数列的通项公式；
若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，底面，，为中点．
求证：；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20.本小题分
已知圆：．
圆：与圆交于、两点，求公共弦长；
直线过点且与圆相切，求直线的方程．
21.本小题分
已知数列满足：，．
证明：数列是等差数列；
记，，求数列的前项和．
22.本小题分
已知抛物线：，为上位于第一象限的一点，点到的准线的距离为．
求的标准方程；
设为坐标原点，为的焦点，，为上异于的两点，且直线与斜率乘积为，求证：直线过定点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设直线的倾斜角为，，
则，，
故选：．
根据倾斜角与斜率之间的关系即可得出．
本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：双曲线，则双曲线的渐近线方程为．
故选：．
利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由空间直角坐标系的性质知：
点关于平面对称的点的坐标是．
故选：．
点关于平面对称的点的坐标是．
本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．
4.【答案】
【解析】分析：由等式，当时，，而等式左边起始为的连续的正整数的和，由此易得答案．
本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，在数学归纳法中，第一步是论证时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．解此类问题时，注意的取值范围．
解：在等式中，
当时，，
而等式左边起始为的连续的正整数的和，
故时，等式左边的项为：
故选：．
5.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点到准线的距离为：．
故选：．
直接利用抛物线方程求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．
6.【答案】
【解析】解：，
又，
．
故选：．
根据向量加法的平行四边形法则、向量加法和数乘的几何意义及向量的数乘运算即可得出，然后根据平面向量基本定理即可求出，，的值．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，向量加法的平行四边形法则，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质的应用，考查计算能力．
利用等比数列前项和的性质，转化求解即可．
【解答】
解：由等比数列的性质可得：，，仍是等比数列，
所以，
已知，，
即：，
则．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：椭圆方程，
，，．
又为椭圆上一点，，、为左右焦点，
，，
，
，
，
．
，
．
故选：．
依题意，在中，，，，利用余弦定理可求得的值，从而可求得的面积．
本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
对于求得直线的斜率即可知直线的倾斜角，即可判断的正误；
对于求得直线的斜率，计算是否为，即可判断的正误；
对于利用点到直线的距离公式，求得点到直线的距离，即可判断的正误；
对于利用直线的点斜式可求得过与直线平行的直线方程，即可判断的正误；
本题考查命题的真假判定，着重考查直线方程的应用，涉及直线的倾斜角与斜率，直线的平行与垂直的应用．
【解答】
解：对于直线的斜率，故直线的倾斜角是，故A错误；
对于因为直线的斜率，，故直线与直线不垂直，故B错误；
对于点到直线的距离，故C正确；
对于过与直线平行的直线方程是，整理得：，故D正确．
综上所述，正确的选项为．
故选CD．
10.【答案】
【解析】解：选项A，假设，，，四点共面，
在正方体中，平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，又，所以，
与与不平行矛盾，故假设不成立，
即，，，四点不共面，故A错误；
选项B，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
所以，，，，
所以，
所以，所以，故B正确；
选项C，又，所以，又，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为，故C正确；
选项D，因为，所以，
所以，
又，所以点到直线的距离为：
，故D正确．
故选：．
根据面面平行的性质定理进行推理可判定；建立空间直角坐标系，利用向量数量积运算可判定；根据向量夹角公式可判定；利用点到直线距离的向量公式可判定．
本题考查空间点面关系，考查利用空间向量进行线线垂直的判定，求线线角及点面距离，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：等差数列中，，，
则，，，B正确；
故，A错误；
，C错误；
由，，可知，时，最小，D正确．
故选：．
由已知结合等差数列的求和公式及性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：设圆的半径为，
若点与重合，则有，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以A正确；
若点在圆内不同于点处，如图所示：
则有，
故点的轨迹是以、为焦点的椭圆，所以B正确；
若点在圆上，如图所示：
则由垂径定理，可知线段的垂直平分线必过点，故点与点重合，故点的轨迹是一个点；
若点在圆外，如图所示：
当线段的垂直平分线交的延长线于点时，则，
所以，故点的轨迹是以，为焦点的双曲线的一支，所以C正确；
综上所述，点的轨迹可能是圆，椭圆，双曲线的一支，不可能是抛物线．
故选：．
分别从四方面分析：若点与重合时的轨迹，若点在圆内不同于点处的轨迹；若点在圆上的轨迹；若点在圆外的轨迹．
本题考查点的轨迹的求法，分类讨论的思想，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，
，则．
故答案为：．
利用空间向量的加法运算及模的坐标表示即可得解．
本题考查了空间向量的加法运算及模的坐标表示，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由可得，
所以，
由椭圆的定义可得，
所以．
故答案为：．
根据椭圆的定义即可求解．
本题主要考查椭圆的定义，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：等比数列满足，，
，
，由，知，
解得．
故答案为：．
运用等比中项即可求解，注意公比平方大于．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：双曲线的渐近线方程为，
由题意，，始终在第一或第二象限内，
则有渐近线的倾斜角大于，
由斜率大于，即为，
双曲线离心率，
又，即有的范围为．
故答案为：．
求出双曲线的渐近线方程，由题意可得渐近线的倾斜角大于，即有斜率大于，即为，运用离心率公式和双曲线的离心率范围，即可得到所求范围．
本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为直线的斜率为，
由直线的点斜式可得，
即；
由可知，直线的方程为，
则点到直线的距离，
且，
则．
【解析】求出直线的斜率，直接利用点斜式化简即可；
求出点到直线的距离和，再结合三角形面积公式即可得结果．
本题考查过两点的直线方程的求法及点到直线的距离的求法，属于基础题．
18.【答案】解：根据题意，设等差数列的公差为，
由于，，则，
故，
所以；
由，且，
所以，
故时取得最大，最大值为．
【解析】根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；
写出等差数列前项和，应用其二次函数性质求最大值和对应．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质以及应用，属于基础题．
19.【答案】证明：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，，
所以，所以；
解：设平面的法向量为，
因为，，
所以，即，令，得，
设平面的法向量为，
因为，，
所以，即，令，得，
设平面与平面所成锐二面角为，
所以．
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法解决问题．
本题考查线线垂直的证明和平面与平面所成角，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可知：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，
半径，可得，可知两圆相交，
联立，作差得直线方程为．
圆心到直线距离为，
故公共弦长．
由圆：，
可得圆心坐标为，半径为，
若直线斜率不存在，则直线方程为，
此时点到直线的距离为，故直线与圆相切，符合题意；
若直线斜率存在，设直线方程为，即．
由直线与圆相切可得，解得．
此时直线的方程为，
综上直线的方程为：或．
【解析】先联立方程组求出公共弦所在直线方程；再根据点到直线距离求出圆心到直线的距离；最后根据弦长公式即可得出答案．
根据直线斜率是否存在分类讨论，再结合点到直线距离及直线与圆相切列出关系式求解即可得出答案．
本题考查直线与圆的方程的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：证明：因为，，显然，
则，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
由知，则，
可得，
所以．
【解析】根据题中递推公式结合等差数列的定义分析证明；
由可得，，利用裂项相消法求和．
本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列的定义，以及裂项相消法求和，属于中档题．
22.【答案】解：由题可知，解得．
所以的标准方程为；
由知，，且，解得，所以．
设，则，同理可得，，
则，即．
当直线斜率存在时，直线的方程为，
整理得．
所以，即，
所以直线过定点；
当直线的斜率不存在时，可得．
综上，直线过定点．

【解析】由题可知，求解即可得到抛物线的方程；
先求解，设，根据斜率公式结合题意可得，分斜率存在和不存在分别求得直线的方程，从而可确定过定点．
本题考查抛物线的定义和标准方程，及直线和抛物线的位置关系，直线过定点．属于中档题．
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