2023-2024学年辽宁省沈阳市重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省沈阳市重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线：的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.椭圆的焦距为( )
A. B. C. D.
3.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在年和年荣升为“四色定理”和“费马大定理”年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果““由我国数学家陈景润在年取得哥德巴赫猜想描述为：任何不小于的偶数，都可以写成两个质数之和在不超过的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为( )
A. B. C. D.
5.对两个具有线性相关关系的变量和进行统计时，得到一组数据，，，，通过这组数据求得回归直线方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量单位：近似服从正态分布，现有该新品种大束个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为( )
附：若，，，．
A. B. C. D.
7.如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.年月日是第个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康已知某种传染疾病的患病率为通过验血诊断该病的误诊率为，即非患者中有的人诊断为阳性，患者中有的人诊断为阴性随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强
B. 已知样本数据，，，的方差为，则，，的标准差是
C. 对具有线性相关关系的变量、，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是
D. 在检验与是否有关的过程中，根据所得数据算得，则有的把握认为和有关附：
10.空间直角坐标系中，坐标原点到下列各点的距离不大于的是( )
A. B. C. D.
11.对两个变量和进行回归分析，则下列结论正确的为( )
A. 回归直线至少会经过其中一个样本点
B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C. 建立两个回归模型，模型的相关系数，模型的相关系数，则模型的拟合度更好
D. 以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别为，
12.圆：和圆：的交点为，，则有( )
A. 公共弦所在直线方程为
B. 公共弦的长为
C. 线段中垂线方程为
D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，，若与共线，则 ______．
14.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 ．
15.某班有名班干部，其中名男生，名女生从中选出人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为______．
16.老师要从篇课文中随机抽篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中篇才能及格．某位同学只能背出其中的篇，则该同学能及格的概率是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
为了解高二年级，两个班级数学学科成绩情况，统计了这两个班级学生某次考试的数学成绩，根据所得数据绘制如下的频数分布表：
班
班
总计
若学生成绩不低于分，则该学生的成绩为优秀；若学生成绩低于分，则该学生的成绩为不优秀．根据所给数据，完成下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有的把握认为学生成绩是否优秀与班级有关？
优秀 不优秀
班
班
附：．
18.本小题分
某校从学生会宣传部名成员其中女生人，男生人中，任选人参加某省举办的演讲比赛活动．
选拔前个人站成一排拍照，其中个男生不能相邻，共有多少种不同的站法；
设所选人中女生人数为，求的概率分布列及数学期望．
19.本小题分
某班社会实践小组在寒假去书店体验图书销售员工作，并对某图书定价元与当天销量本天之间的关系进行调查，得到了一组数据，发现变量，大致呈线性关系，数据如表所示：
定价元
销量本天
根据以上数据，求出关于的回归直线方程；
根据回归直线方程，预测当该图书每天的销量为本时，该图书的定价是多少元？
参考数据：．
参考公式：回归方程中斜率的最小二乘估计值公式为．
20.本小题分
如图，在长方体中，，，点在上，且．
Ⅰ求直线与所成角的大小；
Ⅱ求与平面所成角的正弦．
21.本小题分
第届亚运会将于年月日至月日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛已知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
求这人中至少有人通过市知识竞赛的概率
某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励元：
方案二：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
22.本小题分
已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
求双曲线的标准方程；
设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使为定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线的方程：可化为，
直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
又，
．
故选：．
根据直线倾斜角和斜率的关系即可求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由椭圆得，，．
因此椭圆的焦距为．
故选：．
利用椭圆的标准方程及其即可．
熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：由题设，展开式通项为，
时，的系数为．
故选：．
由题设写出展开式通项，进而确定的值，即可求其系数．
本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：不超过的质数有：，，，，共个，
随机选取两个不同的数，基本事件为：
，，，，，，共种，
其和为奇数包含的基本事件有：，，，共个，
所以．
故选：．
求出基本事件总数，再求出和为奇数所包含的基本事件个数，根据古典概型求解．
本题考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：易知，
代入得．
故选：．
由数据得出样本中心点代入回归直线方程计算即可．
本题考查回归直线方程的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，可知数学期望，方差，
由公式可知：，
，
则，
单果质量在范围内的大枣个数约为．
故选：．
根据正态分布的对称性，结合题中所给的公式进行求解即可．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的几何意义，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据向量加法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算即可求出答案．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量数乘运算，向量加法的平行四边形法则，考查了计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性为事件，
设随机抽取一人实际患病为事件，随机抽取一人非患病为事件，
则．
故选：．
应用全概率公式求解即可．
本题考查全概率公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：两个随机变量的线性相关性越强，
相关系数的绝对值越接近于，故A正确；
中样本数据，，，的方差为，
则，，的方差为，
标准差为，故B错误；
中，，
由，得，故C正确；
中由，
没有的把握判断认为和有关，故D不正确．
故选：．
根据两个随机变量的线性相关性，即可判断，根据方差与标准差，即可判断，根据线性回归方程，即可判断，根据独立性检验，即可判断．
本题主要考查了相关系数的性质，考查了方差的性质，以及独立性检验的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，故A正确；
，故B正确；
，故D正确；
，故C错误．
故选：．
根据空间两点的距离公式计算可得．
本题主要考查空间两点的距离公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项，回归直线不一定经过样本点，选项错误．
选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，选项正确．
选项，，所以模型的拟合度更好，选项错误．
选项，由，得，
则，，选项正确．
故选：．
根据回归方程、残差、相关系数、非线性回归等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查回归直线方程的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A，已知圆：和圆：的交点为，，两个圆的方程作差可得：，即公共弦所在直线方程为，即选项A正确；
对于选项B，将圆的方程化为标准式可得：，则该圆的圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，则公共弦的长为，即选项B正确；
对于选项C，由已知可得：线段中垂线的斜率为，且过点，则线段中垂线的方程为，即选项C正确；
对于选项D，将圆的方程化为标准式可得：，则该圆的圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为，即选项D错误．
故选：．
由圆与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解即可．
本题考查了圆与圆的位置关系，重点考查了点到直线的距离，属基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为与共线，
所以，
所以，，
则．
故答案为：．
由向量共线的坐标表示得出的值．
本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．
先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．
【解答】
解：双曲线的顶点为和，焦点为和．
椭圆的焦点坐标是和，顶点为和．
椭圆方程为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：设事件表示“男生甲被选中”，
事件表示“女生乙被选中”，
则，
所以，
即男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为．
故答案为：．
设事件表示“男生甲被选中”，事件表示“女生乙被选中”，分别求得，，结合条件概率的计算公式求解即可．
本题考查了条件概率问题，考查转化思想，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意：随机抽篇不同的课文中至少要背出其中篇才能及格，分类讨论：一种情况为从能背出其中的篇中选篇，再从他不会背的篇中选一篇；
另一种情况为从能背出其中的篇中选篇．从篇课文中随机抽篇不同的课文让同学背诵，共有种选法．
该同学能及格的概率是，
故答案为：．
由题意分类讨论：一种情况为从能背出其中的篇中选篇，再从他不会背的篇中选一篇；另一种情况为从能背出其中的篇中选篇．从篇课文中随机抽篇不同的课文让同学背诵，共有种选法．利用古典概率计算公式即可得出．
本题考查了古典概率的计算公式、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：根据题意，填写列联表如下：
优秀 不优秀
班
班
根据列联表得，
因为，
所以有的把握认为学生成绩是否优秀与班级有关．
【解析】根据题意填写列联表，计算观测值，对照附表得出结论．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
18.【答案】解：先个女生站成一排有种站法，
这个女生之间共有个“空档”，
在这个“空档”中选取个排男生，共有种，
所以个人站成一排拍照，其中个男生不能相邻，
共有种不同的站法．
的所有可能取值为，，，
依题意得：，
，
．
的分布列为：
．
【解析】要使男生不相邻，先排女生，再让男生排在女生之间的空隙中；
根据题意可得的所有可能取值为，，，再求出取每一个值的概率，可得的分布．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19.【答案】解：由表格可知，，
则，
，
，；
由知，当，，
即该图书每天的销量为本时，该图书的定价是元．
【解析】先求，再求，可得回归直线方程；令即可得．
本题考查回归方程的计算，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ以为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
所以，
所以，
故直线与所成角为．
Ⅱ因为，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，于是，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
【解析】Ⅰ以为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，求出，，利用空间向量的数量积求解直线与所成角的余弦值即可；
Ⅱ求出平面的法向量，利用平面法向量与直线方向向量的夹角即可求解线面角．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．
21.【答案】解：人都没有通过初赛的概率为，
所以，这人中至少有人通过市知识竞赛的概率为．
方案一：设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，则，且，
所以元，
方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，则的所有可能取值为、、、，
则，，，，
所以，．
所以，
所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．
【解析】计算出人都没有通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，求出其期望，比较大小作答．
本题主要考查离散型随机变量的数学期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
则，又，，解得，，
故双曲线的标准方程为；
证明：设，，
当直线的斜率存在时，设的方程为，
联立，消去，化简得，
，即，
且，，
以为直径的圆经过点，，
，
，
，
化简得，
或，且均满足．
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，直线的方程为，过定点．
当直线的斜率不存在时，
不妨设直线：，
联立，解得，，此时直线过定点，
，点在以为直径的圆上，为该圆的圆心，为该圆的半径，
故存在定点，使得为定值．
【解析】由已知求得，结合双曲线的渐近线方程及隐含条件列式求解与，则双曲线方程可求；
对直线的斜率能否为进行讨论，斜率不为时，设的方程为，联立直线与椭圆的方程，化简得到，的关系式；斜率不存在时，写出直线方程，验证即可．
本题考查了直线与双曲线的综合问题，重点考查了双曲线中的定点、定值问题，属于中档题．
第1页，共1页