6.1 平行四边形及其性质
基础过关全练
知识点1 平行四边形的定义及表示方法
1.如图, ABCD中,EF∥BC,MN∥AB,则图中平行四边形的个数是( )
A.13 B.14 C.11 D.9
知识点2 平行四边形的性质定理1
2.如图,在 ABCD中,已知AC=4 cm,若△ACD的周长为13 cm,则 ABCD的周长为( )
A.26 cm B.24 cm
C.20 cm D.18 cm
3.【角平分线+平行线】(2023安徽合肥期中)如图,在 ABCD中,BM是∠ABC的平分线,交CD于点M,且MC=2, ABCD的周长是14,则DM等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
知识点3 平行四边形的性质定理2
4.(2023山东潍坊安丘期末)在平行四边形ABCD中,∠A=80°,∠B=100°,则∠D等于( )
A.60° B.80°
C.100° D.120°
5.(2023山东聊城东阿期中)平行四边形ABCD中,∠A比∠B大40°,则∠D的度数为 .
知识点4 平行四边形的性质定理3
6.(2023山东聊城莘县期中)平行四边形ABCD中,对角线AC=12,BD=8,交点为点O,则边AB的长的取值范围为( )
A.1
C.47.(2023山东菏泽单县期中)如图, ABCD的周长为36,对角线AC、BD相交于点O,若AO=5,则△ABC的周长为 .
知识点5 平行四边形的面积
8.(2022河北邯郸磁县期中)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC⊥BC, ABCD的面积为54,OA=3,则BC的长为( )
A.6 B.9 C.12 D.13
9.【方程思想】(2023吉林长春汽开区期中)如图, ABCD的周长为36 cm,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,DE=4 cm,DF=5 cm,则 ABCD的面积为 .
能力提升全练
10.(2022浙江嘉兴中考改编,9,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC=8,点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,四边形AEFG是平行四边形,则四边形AEFG的周长是( )
A.8 B.16 C.24 D.32
11.【整体思想】(2020山东临沂中考,12,★★☆)如图,P是面积为S的 ABCD内任意一点,△PAD的面积为S1,△PBC的面积为S2,则( )
A.S1+S2> B.S1+S2< C.S1+S2= D.S1+S2的大小与P点位置有关
12.(2022山东泰安中考,14,★★☆)如图,四边形ABCD为平行四边形,则点B的坐标为 .
13.(2023甘肃兰州中考,14,★★☆)如图,在 ABCD中,BD=CD,AE⊥BD于点E,若∠C=70°,则∠BAE= °
14.【方程思想】(2021江西中考,11,★★☆)如图,将 ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,则 ABCD的周长为 .
15.【分类讨论思想】(2021浙江绍兴中考,23,★★★)问题:如图,在 ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,求EF的长.
答案:EF=2.
探究:
(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变.
①当点E与点F重合时,求AB的长.
②当点E与点C重合时,求EF的长.
(2)把“问题”中的条件“AB=8,AD=5”去掉,其余条件不变,当点C,D,E,F相邻两点间的距离相等时,求的值.
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16.【几何直观】如图,小王有一个四边形的池塘,在它的四个顶点A、B、C、D处均有一棵大树,小王准备将池塘建成养鱼池,想使池塘面积扩大一倍,又想保持大树不动,并要求扩建后的池塘是平行四边形,小王能否实现这一设想 若能,请你设计并作出扩建后的池塘;若不能,请说明理由.
答案全解全析
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1.D 由题易知EF∥BC∥AD,MN∥AB∥CD,再依据平行四边形的定义可知题图中有9个平行四边形.
2.D ∵AC=4 cm,△ADC的周长为13 cm,
∴AD+DC=13-4=9(cm).
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,BC=AD,
∴平行四边形ABCD的周长为2(AD+DC)=18 cm.
故选D.
3.C 因为BM是∠ABC的平分线,所以∠ABM=∠CBM,
因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,
所以∠ABM=∠BMC,所以∠BMC=∠CBM,所以BC=MC=2.
因为 ABCD的周长是14,所以BC+CD=7,
所以CD=5,所以DM=CD-MC=3.
4.C 因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠D=∠B=100°,故选C.
5.答案 70°
解析 如图,因为四边形ABCD是平行四边形,
所以∠B=∠D,AD∥BC,所以∠A+∠B=180°.
又因为∠A-∠B=40°,所以∠A=110°,∠B=70°,
所以∠D=∠B=70°.
6.B 如图,因为四边形ABCD是平行四边形,AC=12,BD=8,所以OA=OC=AC=6,OB=OD=BD=4.在△AOB中,由三角形三边关系,得6-47.答案 28
解析 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,AD=BC,AC=2AO=10,因为 ABCD的周长为36,所以AB+BC=18,所以△ABC的周长为AB+BC+AC=18+10=28.
8.B 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AC=2AO=6,因为AC⊥BC,平行四边形ABCD的面积为54,所以AC·BC=54,所以BC=9.
9.答案 40 cm2
解析 因为 ABCD的周长为36 cm,所以AB+BC=18 cm.设AB=x cm,则BC=(18-x)cm,因为S ABCD=AB·DE=BC·DF,所以4x=5(18-x),解得x=10.所以 ABCD的面积=AB·DE=10×4=40(cm2).
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10.B 因为四边形AEFG是平行四边形,所以EF∥AC,GF∥AB,所以∠B=∠GFC,∠C=∠EFB.因为AB=AC,所以∠B=∠C,所以∠B=∠EFB,∠GFC=∠C,所以EB=EF,FG=GC,所以四边形AEFG的周长=AE+EF+FG+AG=AE+EB+GC+AG=AB+AC=8+8=16.
11.C 如图,过点P作EF⊥AD交直线AD于点E,交直线CB于点F,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC,AD∥BC,所以EF⊥BC,因为S=BC·EF,S1=,S2=,EF=PE+PF,AD=BC,所以S1+S2=,故选C.
12.答案 (-2,-1)
解析 因为A(-1,2),D(3,2),所以AD=3-(-1)=4,AD∥x轴.因为四边形ABCD为平行四边形,所以AD∥BC,BC=AD=4,所以BC∥x轴.因为C(2,-1),所以B(-2,-1).
13.答案 50
解析 在△DBC中,∵BD=CD,∠C=70°,∴∠DBC=∠C=70°.
又∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∠BAD=∠C=70°,
∴∠ADB=∠DBC=70°.又∵AE⊥BD,∴∠AED=90°,
∴∠DAE=90°-∠ADB=90°-70°=20°,∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=50°.
14.答案 4a+2b
解析 因为四边形ABCD为平行四边形,
所以AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∠D=∠B=80°,所以∠DAC=∠ACB.
由题意可知∠ACB=∠ACE,所以∠ACE=∠DAC,所以AF=FC=a.
设∠ECD=x,则∠DAC=∠ACE=2x,
在△ADC中,∠ACE+∠ECD+∠DAC+∠D=180°,
所以2x+x+2x+80°=180°,解得x=20°,所以∠ECD=20°,
所以∠DFC=180°-∠D-∠ECD=80°,所以∠DFC=∠D,所以DC=FC=a,又AD=AF+FD=a+b,
所以 ABCD的周长为2(DC+AD)=2(a+a+b)=4a+2b.
15.解析 (1)①如图1所示,因为四边形ABCD是平行四边形,所以CD=AB,BC=AD=5,AB∥CD,所以∠DEA=∠BAE,因为AE平分∠DAB,所以∠DAE=∠BAE,所以∠DEA=∠DAE,所以DE=AD=5,同理,CF=BC=5,所以AB=CD=DE+CF=10.
②如图2所示,因为点E与点C重合,所以DE=DC,同①得DE=AD=5,CF=BC=5,所以点F与点D重合,所以EF=DE=5.
(2)分三种情况讨论:①如图3所示,同(1)①得AB=CD,AD=DE,因为点C,D,E,F相邻两点间的距离相等,所以DE=EF=CF=AD,所以=;
②如图4所示,同(1)①可得AB=CD,AD=DE=CF,
因为DF=FE=CE,所以=;
③如图5所示,同(1)①可得AB=CD,AD=DE=CF,
因为DF=DC=CE,所以=2.
综上所述,的值为或或2.
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16.解析 能.如图,连接AC、BD,分别过A、C作BD的平行线,再分别过B、D作AC的平行线,作出的四条直线所围成的图形即为扩建后的池塘.(作法不唯一)
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10
)6.2 平行四边形的判定
基础过关全练
知识点1 平行四边形的判定定理1
1.(2022河北中考)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( )
A B C D
2.【一题多解】(2023山东聊城临清期中)如图,在 ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,求证:AF=CE
3.(2022山东菏泽单县期中)如图,B,E,C,F在一条直线上,已知AB∥DE,AC∥DF,BE=CF.求证:四边形ABED是平行四边形.
知识点2 平行四边形的判定定理2
4.如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,连接AB,先以A为圆心,BC长为半径画弧,再以C为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点D,连接AD,CD,则判定四边形ABCD是平行四边形的依据是 .
(2023山东聊城冠县期中)如图,已知在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,E、F是对角线BD上两点,且BE=DF.求证:AE=CF.
知识点3 平行四边形的判定定理3
6.【新考向·尺规作图】已知△ABC(如图①),按图②③所示的尺规作图痕迹直接判定四边形ABCD是平行四边形的依据是( )
图① 图② 图③
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
7.(2023浙江杭州中考)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.
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8.(2023山东聊城东阿期中,3,★★☆)如图,E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点,AB∥CD,则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.∠D=∠5 B.AD=BC
C.∠3=∠4 D.∠B=∠D
9.(2021河北中考,7,★★☆)如图, ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N、M,使四边形ANCM为平行四边形,现有甲、乙、丙三种方案,则正确的方案是( )
A.甲、乙、丙 B.甲、乙
C.甲、丙 D.乙、丙
10.【分类讨论思想】(2022山东潍坊昌乐期末,12,★★★)(多选题)如图,在平面直角坐标系中,已知A(4,0),B(-3,2),C(0,2),点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿射线BC运动,点Q从点A出发,开始以每秒1个单位的速度向原点O运动,到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动,P,Q两点同时出发,设运动时间为t秒,若以点A,Q,C,P为顶点的四边形为平行四边形,则t等于( )
A.1 B.3 C.9 D.13
11.【分类讨论思想】(2022北京理工大学附中期中,15,★★☆)在平面直角坐标系xOy中,已知A(3,0),B(0,4),若以点A,B,O,C为顶点的四边形是平行四边形,则点C的坐标是 .
12.(2022山东烟台栖霞期末,24,★★☆)如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合),DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连接AE.(M8206002)
(1)如图①,当点D与点M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形.
(2)如图②,当点D不与点M重合时,(1)中的结论还成立吗 请说明理由.
图① 图②
素养探究全练
13.【推理能力】在Rt△ABC中,∠ABC=90°,DH垂直平分AB交AC于点E,连接BE、CD,CD=CE.
(1)如图①,求证:四边形BCDE是平行四边形.
(2)如图②,点F在AB上,且BF=BC,连接BD,DF,DF交AC于点G,若BD平分∠ABC,试判断DF与AC的位置关系,并证明你的结论.
图① 图②
答案全解全析
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1.D 选项D,70°+110°=180°,5=5,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故选D.
2.证明 方法一(平行四边形法):因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD,AB=CD.又因为E,F分别是AB,CD的中点,所以AE=AB,CF=CD,所以AE=CF,又因为AE∥CF,所以四边形AECF是平行四边形,所以AF=CE.
方法二(全等法):因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB=CD,AD=BC,∠B=∠D.又因为E,F分别是AB,CD的中点,所以BE=AB,DF=CD,所以BE=DF,所以△ADF≌△CBE(SAS),所以AF=CE.
3.证明 因为AB∥DE,AC∥DF,所以∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.因为BE=CF,所以BE+CE=CF+CE,即BC=EF.在△ABC和△DEF中,所以△ABC≌△DEF(ASA),所以AB=DE.又因为AB∥DE,所以四边形ABED是平行四边形.
4.答案 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
解析 由作图过程可知,AD=BC,AB=CD,所以四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
5.证明 因为AB=CD,BC=AD,所以四边形ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD,所以∠ABE=∠CDF.
又因为BE=DF,AB=CD,所以△ABE≌△CDF(SAS),所以AE=CF.
6.B 由题图可知AO=OC,BO=OD,根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可知,四边形ABCD是平行四边形,故选B.
7.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO,∵BE=DF,∴BO-BE=DO-DF,即EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)∵BE=EF,∴S△ABE=S△AEF=2.∵四边形AECF是平行四边形,
∴S△AEF=S△CEF=2,EO=FO,∴S△CFO=S△CEF=1,即△CFO的面积为1.
能力提升全练
8.B 选项A,因为∠D=∠5,所以AD∥BC,又因为AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形,不符合题意;选项B,由AD=BC,AB∥CD不能判定四边形ABCD是平行四边形,符合题意;选项C,因为∠3=∠4,所以AD∥BC,又因为AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形,不符合题意;选项D,因为AB∥CD,所以∠B+∠BCD=180°,因为∠B=∠D,所以∠D+∠BCD=180°,所以AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形,不符合题意.故选B.
9.A 方案甲:连接AC(图略),因为四边形ABCD是平行四边形,O为BD的中点,所以OB=OD,点O在AC上,且OA=OC,因为BN=NO,OM=MD,所以NO=OM,所以四边形ANCM为平行四边形.方案乙:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,AB∥CD,所以∠ABN=∠CDM.因为AN⊥BD,CM⊥BD,所以AN∥CM,∠ANB=∠CMD=90°,所以△ABN≌△CDM(AAS),所以AN=CM,所以四边形ANCM为平行四边形.方案丙:因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠BAD=∠BCD,AB=CD,AB∥CD,所以∠ABN=∠CDM.因为AN平分∠BAD,CM平分∠BCD,所以∠BAN=∠DCM,所以△ABN≌△CDM(ASA),所以AN=CM,∠ANB=∠CMD,所以∠ANM=∠CMN,所以AN∥CM,所以四边形ANCM为平行四边形.
10.ABD 因为A(4,0),B(-3,2),C(0,2),所以OA=4,BC=3,BC∥x轴,所以PC∥AQ,所以当PC=AQ时,以点A,Q,C,P为顶点的四边形为平行四边形.①当0时,BP=2t,OQ=3(t-4),则PC=2t-3,AQ=3(t-4)-4,由题意得2t-3=3(t-4)-4,解得t=13.
综上所述,当t的值为1或3或13时,以点A,Q,C,P为顶点的四边形为平行四边形.故选ABD.
11.答案 (3,4)或(-3,4)或(3,-4)
解析 因为A(3,0),B(0,4),所以OA=3,OB=4.因为以点A,B,O,C为顶点的四边形是平行四边形,所以分三种情况(如图):①以AB为对角线,可以画出 OAC1B,点C1的坐标是(3,4);②以OB为对角线,可以画出 OABC2,点C2的坐标是(-3,4);③以OA为对角线,可以画出 OBAC3,点C3的坐标是(3,-4).综上,点C的坐标为(3,4)或(-3,4)或(3,-4).
12.解析 (1)证明:因为AM是△ABC的中线,D与M重合,所以DC=BD.因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B,因为CE∥AM,即CE∥AD,所以∠ECD=∠ADB.在△ECD和△ADB中,所以△ECD≌△ADB(ASA),所以DE=AB,所以四边形ABDE是平行四边形.
(2)成立.理由:如图,过点M作MG∥AB,交CE于点G,因为DE∥AB,所以MG∥DE,因为CE∥AM,所以四边形DEGM是平行四边形,所以MG=DE,同(1)可得△ABM≌△GMC,所以MG=AB,所以DE=AB,所以四边形ABDE是平行四边形.
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13.解析 (1)证明:∵DH垂直平分AB交AC于点E,
∴AE=BE,∠AHE=∠BHE=90°,
∴∠A=∠ABE,∠A+∠AEH=∠ABE+∠BEH=90°,
∵∠ABC=90°,∴∠A+∠ACB=90°,∴∠AEH=∠ACB=∠BEH,
∵CE=CD,∴∠D=∠CED,
∵∠AEH=∠CED,∴∠D=∠BEH,∠CED=∠ACB,
∴BE∥CD,BC∥ED,∴四边形BCDE是平行四边形.
(2)DF⊥AC.证明:∵四边形BCDE是平行四边形,∴DE=BC,
∵BC=BF,∴BF=DE,∵BD平分∠ABC,∠ABC=90°,∴∠HBD=45°,
∵∠BHD=90°,∴∠HBD=∠HDB=45°,∴DH=BH=AH,
∴DH-DE=BH-BF,∴HE=HF,
在△DHF和△AHE中,
∴△DHF≌△AHE(SAS),∴∠A=∠FDH,
∵∠A+∠AEH=90°,∠DEC=∠AEH,
∴∠FDH+∠DEC=90°,∴∠EGD=90°,∴DF⊥AC.
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10
)6.3 特殊的平行四边形
6.3.1 矩形的性质与判定
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知识点1 矩形的定义与性质
1.(2023山东聊城冠县期中)已知矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,则下列结论不一定正确的是( )
A.AC⊥BD B.AC=BD
C.OA=OB D.∠ABC=∠BAD
2.(2023山东菏泽单县期中)两个矩形的位置如图所示,若∠1=α,则∠2=( )
A.α-90° B.α-45° C.180°-α D.270°-α
3.【方程思想】(2023山东潍坊期末)如图,在矩形纸片ABCD中,把∠D沿直线AE折叠,使得点D落在BC边上的点F处.已知∠EAF与∠BAF的度数之比为2∶5,则∠DAF的度数是( )
A.20° B.30° C.40° D.45°
4.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,若∠ADB=36°,则∠E= °.
5.(2023山东潍坊昌乐期末)如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为点E,AE与CD交于点F
(1)求证:△DAF≌△ECF.
(2)若∠FCE=40°,求∠CAB的度数.
知识点2 直角三角形的性质定理2
(2023湖南长沙雅礼教育集团期中)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,若∠C=55°,则∠ABD的度数为
( )
A.55° B.35° C.45° D.30°
7.【整体思想】(2022山东菏泽巨野期中)如图,平行四边形ABCD的周长是26 cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E是BC的中点,△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm,则AE的长度为( )
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.8 cm
8.(2023湖南长沙一中教育集团期中)如图,点E,F分别在 ABCD的边CD,BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BF,垂足为点F,DF=5.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形.
(2)求AB的长.
知识点3 矩形的判定
9.(2023湖北荆州公安期中)如图,用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下两边都垂直,只需要用绳子分别测量两条对角线的长就可以判断了.在如下定理中:①两组对边分别相等的四边形是平行四边形,②对角线相等的平行四边形是矩形,③有一个角是直角的平行四边形是矩形,④三个角都是直角的四边形是矩形,这种检测方法用到的定理是( )
A.① B.② C.③ D.④
10.(2022山东菏泽曹县期中)如图,在△ABC中,AB=BC,BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形,DE交BC于点F,连接CE.求证:四边形BECD是矩形.
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11.(2023湖北武汉武珞路中学期中,7,★★☆)如图,点E在矩形ABCD的边BC的延长线上,连接AC,DE,BE=AC,若∠E=70°,则∠ACB的度数是( )
A.40° B.50° C.70° D.30°
12.(2023山东菏泽巨野期中,7,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,点E在BC上,且CE=AC,∠BAE=15°,则∠CDE的大小为( )
A.70° B.75° C.80° D.85°
13.【动点问题】(2023山东聊城东阿期中,12,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,动点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运动,则线段EF的长的变化情况是( )
A.一直增大 B.一直减小
C.先减小后增大 D.先增大后减少
14.【“8字”全等模型】(2022四川巴中中考,21,★★☆)如图, ABCD中,E为BC边的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,延长EC至点G,使CG=CE,连接DG、DE、FG.
(1)求证:△ABE≌△FCE.
(2)若AD=2AB,求证:四边形DEFG是矩形.
15.(2023山东淄博张店期中,21,★★☆)已知:如图,在四边形ABCD中,∠BCD=∠BAD=90°,E,F分别是对角线BD,AC的中点.
(1)请判断线段EF与AC的位置关系,并说明理由.
(2)若∠ADC=45°,请判断EF与AC的数量关系,并说明理由.
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16.【模型观念】(2023江西南昌二十八中期中)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24 cm,AB=8 cm,BC=26 cm,动点P从A开始沿AD边向D以1 cm/s的速度运动;动点Q从点C开始沿CB边向B以3 cm/s的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动.设运动时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示以下线段的长:
AP= ,BQ= .
(2)当运动时间为多少秒时,四边形PQCD为平行四边形
(3)当运动时间为多少秒时,四边形ABQP为矩形
答案全解全析
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1.A 如图,在矩形ABCD中,AC=BD,OA=OB=OC=OD,∠ABC=
∠BAD=90°,选项B、C、D正确,不符合题意;
AC与BD不一定垂直,故选项A不一定正确,符合题意,故选A.
2.C 如图,由题易知∠3+∠4=90°,∠4+∠2=90°,所以∠3=∠2.
因为∠1=α,∠1+∠3=180°,所以∠2=∠3=180°-α,故选C.
3.C 因为∠EAF与∠BAF的度数之比为2∶5,所以设∠EAF=2x°,∠BAF=5x°,由折叠可知∠DAE=∠EAF=2x°.因为四边形ABCD是矩形,所以∠BAD=90°,所以5x+2x+2x=90,解得x=10,所以∠DAF=∠EAF+∠DAE=2x°+2x°=40°,故选C.
4.答案 18
解析 连接AC(图略),
∵四边形ABCD是矩形,∠ADB=36°,
∴AD∥BE,AC=BD,且∠CAD=∠ADB=36°,
∴∠E=∠DAE,
∵BD=CE,AC=BD,∴CE=AC,∴∠E=∠CAE,
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE,
∴∠E+∠E=36°,∴∠E=18°.
5.解析 (1)证明:因为四边形ABCD是矩形,
所以∠D=∠B=90°,AD=BC,
由折叠可知BC=EC,∠B=∠E=90°,所以∠D=∠E=90°,AD=EC.
在△DAF和△ECF中,
所以△DAF≌△ECF(AAS).
(2)由(1)得△DAF≌△ECF,所以∠DAF=∠FCE=40°,
因为四边形ABCD是矩形,所以∠DAB=90°,
所以∠EAB=∠DAB-∠DAF=90°-40°=50°,
由折叠可知∠CAB=∠EAC,∴∠CAB=∠EAB=25°.
6.B 在Rt△ABC中,因为∠ABC=90°,∠C=55°,
所以∠A=90°-∠C=35°.
因为D为AC的中点,所以AD=BD=AC,
所以∠ABD=∠A=35°.
B 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=DC,AD=BC,OB=OD,因为 ABCD的周长为26 cm,所以AB+AD=13 cm,因为△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm,所以(OA+OD+AD)-(OA+OB+AB)=AD-AB=3 cm,所以AB=5 cm,AD=8 cm,所以BC=AD=8 cm.因为AC⊥AB,E是BC的中点,所以AE=BC=4 cm,故选B.
8.解析 (1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,即AB∥DE,因为AE∥BD,所以四边形ABDE是平行四边形.
(2)由(1)可知,四边形ABDE是平行四边形,所以AB=DE,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,所以CD=DE.因为EF⊥BF,所以∠CFE=90°,所以DF=CD=DE=5,所以AB=5.
9.B 用绳子分别测量两条对角线的长,若相等,则是矩形,依据是对角线相等的平行四边形为矩形,然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下两边都垂直,故选B.
10.证明 因为AB=BC,BD平分∠ABC,所以BD⊥AC,AD=CD.因为四边形ABED是平行四边形,所以BE∥AD,BE=AD,所以BE=CD,所以四边形BECD是平行四边形.因为BD⊥AC,所以∠BDC=90°,所以 BECD是矩形.
能力提升全练
11.A 连接BD,交AC于点O,如图所示.因为四边形ABCD是矩形,所以BD=AC.因为BE=AC,所以BD=BE,所以△BDE是等腰三角形,所以∠BDE=∠E=70°,所以∠DBE=180°-70°-70°=40°.因为四边形ABCD是矩形,所以OB=OC,所以∠ACB=∠DBE=40°,故选A.
12.B 在Rt△ACE中,因为∠ACE=90°,CE=AC,
所以∠CAE=∠AEC=45°,
因为∠BAE=15°,所以∠CAB=∠CAE+∠BAE=60°,所以∠B=30°.
在Rt△ABC中,因为∠ACB=90°,D为AB的中点,
所以CD=BD=AD=AB,
所以△ACD是等边三角形,∠DCB=∠B=30°,
所以CE=AC=DC,所以∠CDE=∠CED=×(180°-30°)=75°.
13.C 如图,连接AP.因为∠BAC=90°,PE⊥AB,PF⊥AC,所以四边形AFPE是矩形,所以EF=AP.由垂线段最短,可得当AP⊥BC时,AP最短,则线段EF的长最小,所以动点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运动,则线段EF的长的变化情况是先减小后增大.
14.证明 (1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,所以∠EAB=∠CFE.
因为E为BC的中点,所以EC=EB.
在△ABE和△FCE中,
所以△ABE≌△FCE(AAS).
(2)由(1)得△ABE≌△FCE,所以AB=CF.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=DC,所以DC=CF.又因为CE=CG,所以四边形DEFG是平行四边形.因为E为BC的中点,CE=CG,所以BC=EG.又因为AD=BC=EG=2AB,DF=CD+CF=2CD=2AB,所以DF=EG,所以平行四边形DEFG是矩形.
方法解读 本题属于“8字”全等模型,先找到一组对顶角,利用平行线得到角相等,再根据一组边相等,得到全等三角形,再利用全等三角
形的性质解题.
15.解析 (1)EF⊥AC,理由:
如图,连接AE,EC,因为∠BCD=90°,点E是BD的中点,所以CE=BD,因为∠BAD=90°,点E是BD的中点,所以AE=BD,所以AE=CE.因为点F是AC的中点,所以EF⊥AC.
(2)EF=AC.理由:
因为∠BCD=90°,点E是BD的中点,所以CE=DE=BD,所以∠ECD=∠CDE.因为∠BAD=90°,点E是BD的中点,所以AE=DE=BD,所以AE=CE,∠EAD=∠ADE.因为∠ADC=45°,所以∠AEC=∠AEB+∠BEC=∠EAD+∠ADE+∠ECD+∠EDC=2∠ADE+2∠CDE=2(∠ADE+∠CDE)=2∠ADC=90°,所以△AEC是等腰直角三角形,因为点F是AC的中点,所以EF=AC.
素养探究全练
16.解析 (1)由题意知AP=t cm,BQ=(26-3t)cm.
(2)由题意可得PD=AD-AP=(24-t)cm,QC=3t cm,因为AD∥BC,所以PD∥QC,当PD=QC时,四边形PQCD为平行四边形.由PD=QC,得24-t=3t,解得t=6,所以当运动时间为6秒时,四边形PQCD为平行四边形.
(3)因为AD∥BC,所以AP∥BQ,当AP=BQ时,四边形ABQP为平行四边形.由AP=BQ,得t=26-3t,解得t=,又因为∠B=90°,所以此时平行四边形ABQP为矩形.所以当运动时间为秒时,四边形ABQP为矩形.
(
1
)6.3 特殊的平行四边形
6.3.2 菱形的性质与判定
基础过关全练
知识点1 菱形的定义与性质
1.(2023安徽合肥期中改编)菱形具有而矩形不具有的性质是( )
A.两组对边分别平行 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.两组对角分别相等
2.(2022山东菏泽巨野期中)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,若∠DHO=20°,则∠CAD的度数是( )
A.25° B.20° C.30° D.40°
3.【方程思想】(2023山东青岛实验初级中学期中)如图,四边形ABCD是菱形,点E、F分别在边BC、CD上,且△AEF是等边三角形,AB=AE,则∠B= .
4.(2022四川南充中考)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.
求证:(1)△ADE≌△CDF.
(2)ME=NF.
知识点2 菱形的判定
5.【新考向·尺规作图】(2023湖南长沙浏阳期中)如图,用直尺和圆规作菱形ABCD,作图过程如下:①作锐角∠A;②以点A为圆心,以任意长度为半径作弧,与∠A的两边分别交于点B,D;③分别以点B,D为圆心,以AD的长度为半径作弧,两弧相交于点C,分别连接DC,BC,则四边形ABCD即为菱形,其依据是( )
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
6.(2022江苏连云港东海期中)张师傅应客户要求加工4个菱形零件.在交付客户之前,张师傅需要对4个零件进行检测.根据零件的检测结果,有可能不合格的零件是( )
A B C D
7.(2023湖北黄冈期中)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E、F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF,给出下列条件:①BE⊥EC;②AB=AC;③BF∥EC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是 (只填写序号).
8.【教材变式·P28T10】(2020广西玉林中考)如图,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD 菱形.(填“是”或“不是”)
9.(2023福建福州十九中期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,点D为AB的中点,连接CD,过点D作DE∥BC,且DE=BC,连接BE,求证:四边形BCDE是菱形.
10.(2022山东菏泽巨野期中)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点D是BC的中点,AE∥BC,CE∥AD.
(1)求证:四边形ADCE是菱形.
(2)过点D作DF⊥CE于点F,∠B=60°,AB=6,求EF的长.
(拓展:在含30°角的直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)
知识点3 菱形的面积
11.(2020黑龙江龙东地区中考改编)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,S菱形ABCD=48,则OH的长为( )
A.4 B.8 C.10 D.6
12.(2022四川乐山中考)已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8 cm和6 cm,则菱形的面积为 cm2.
能力提升全练
13.(2023山东菏泽曹县期中,6,★★☆)如图,点E,F分别在 ABCD的边AB,BC上,AE=CF,连接DE,DF.增加下列一个条件:①∠1=∠2;②∠3=∠4;③DE=DF,其中能使 ABCD是菱形的条件个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
14.(2022山东菏泽单县期中,10,★★☆)如图,点E,F在菱形ABCD的对角线AC上,∠ADC=120°,∠BEC=∠CBF=50°,ED的延长线与BF的延长线交于点M,下列结论:①∠BME=30°;②△ADE≌△ABE;③EM=
BC.其中正确的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3
15.(2020山东泰安中考,11,★★★)如图,矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,过点B作BF⊥AC交CD于点F,交AC于点M,过点D作DE∥BF交AB于点E,交AC于点N,连接FN,EM,则下列结论:①DN=BM;②EM∥FN;③AE=FC;④当AO=AD时,四边形DEBF是菱形.其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
16.(2023山东聊城莘县期中,23,★★☆)如图,△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是BC、BA的中点,连接DE,F在DE的延长线上,且AF=AE.
(1)求证:四边形ACEF是平行四边形.
(2)若四边形ACEF是菱形,求∠B的度数.
17.(2022四川凉山州中考,22,★★☆)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证:四边形ADBF是菱形.
(2)若AB=8,四边形ADBF的面积为40.求AC的长.
素养探究全练
18.【教材变式·P28T3】【推理能力】如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,MN交∠BCA的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F.
(1)探究OE与OF的数量关系并加以证明.
(2)连接AE,AF,当点O在AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形 请说明理由.
(3)连接BF,BE,当点O在边AC上运动时,四边形BCFE能否成为菱形 若能,请证明;若不能,请说明理由.
答案全解全析
基础过关全练
1.C 菱形与矩形的两组对边分别平行,两组对角分别相等.矩形的对角线相等,菱形的对角线不相等.菱形的对角线互相垂直,矩形的对角线不垂直.故选C.
2.B 因为四边形ABCD是菱形,
所以OB=OD,AC⊥BD,∠CAD=∠CAB,
因为DH⊥AB,所以OH=OB=BD,所以∠ABD=∠OHB,
因为∠DHO=20°,所以∠OHB=90°-∠DHO=70°,所以∠ABD=70°,
所以∠CAB=90°-∠ABD=20°,所以∠CAD=20°.
3.答案 80°
解析 因为四边形ABCD是菱形,△AEF是等边三角形,
所以BC∥AD,AB=AD,∠B=∠D,∠EAF=60°,AE=AF,
所以∠B+∠BAD=180°.
因为AB=AE,所以AF=AD,所以∠B=∠BEA=∠D=∠AFD,
所以∠BAE=∠DAF=180°-∠B-∠BEA=180°-2∠B.
设∠B=x,则∠BAD=180°-x,∠BAE=∠DAF=180°-2x,
又因为∠BAE+∠EAF+∠FAD=∠BAD,
所以(180°-2x)+60°+(180°-2x)=180°-x,解得x=80°,即∠B=80°.
4.证明 (1)因为四边形ABCD是菱形,
所以DA=DC=BC=AB,∠DAE=∠DCF,因为BE=BF,所以AE=CF.
所以△ADE≌△CDF(SAS).
(2)由(1)知△ADE≌△CDF,
所以∠ADM=∠CDN,DE=DF,
因为四边形ABCD是菱形,所以∠DAM=∠DCN,
所以∠ADM+∠DAM=∠CDN+∠DCN,即∠DMN=∠DNM,
所以DM=DN,所以DE-DM=DF-DN,
所以ME=NF.
5.B 由作图过程可知,AD=AB=DC=BC,所以依据是“四条边相等的四边形是菱形”.
6.C A.四条边相等的四边形是菱形,合格;B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,合格;D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,合格.故选C.
7.答案 ②
解析 因为点D是BC的中点,所以BD=CD,因为DE=DF,所以四边形BECF是平行四边形.当添加条件BE⊥EC时,四边形BECF是矩形,不一定是菱形,①错误;当添加条件AB=AC时,因为D是BC的中点,所以AD⊥BC,所以平行四边形BECF是菱形,②正确;因为四边形BECF是平行四边形,所以BF∥EC,当添加条件BF∥EC时,平行四边形BECF不一定是菱形,③错误.
8.答案 是
解析 如图,过A作AE⊥BC于点E,AF⊥DC于点F,
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
由题意知,AE=AF,
∵S平行四边形ABCD=BC·AE=DC·AF,
∴BC=DC,∴ ABCD是菱形.
9.证明 因为DE∥BC,且DE=BC,所以四边形BCDE是平行四边形.因为CD为Rt△ABC的斜边AB上的中线,所以CD=BD=AB.因为∠ABC=60°,所以△BCD为等边三角形,所以BC=CD,所以四边形BCDE是菱形.
10.解析 (1)证明:因为AE∥DC,EC∥AD,所以四边形ADCE是平行四边形,因为∠BAC=90°,点D是BC的中点,所以AD=BD=CD=BC,所以 ADCE是菱形.
(2)因为∠B=60°,AD=BD,所以△ABD是等边三角形,所以∠ADB=60°,AD=AB=6.因为AD∥CE,所以∠DCE=∠ADB=60°,因为DF⊥CE,所以∠DFC=90°,所以∠CDF=30°.因为CD=AD=6,所以CF=CD=3,因为四边形ADCE是菱形,所以CE=CD=6,所以EF=CE-CF=3.
11.A 因为四边形ABCD是菱形,所以OA=OC=6,OB=OD,AC⊥BD,所以AC=12,因为DH⊥AB,所以∠BHD=90°,所以OH=BD,因为S菱形ABCD=AC·BD=×12BD=48,所以BD=8,所以OH=BD=4,故选A.
12.答案 24
解析 菱形ABCD的面积=AC·BD=×8×6=24(cm2).
能力提升全练
13.C 因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠A=∠C.添加条件①,在△ADE和△CDF中,所以△ADE≌△CDF(AAS),所以AD=CD,所以 ABCD为菱形;添加条件②,在△ADE和△CDF中,所以△ADE≌△CDF(ASA),所以AD=CD,所以 ABCD为菱形;添加条件③,由AE=CF,DE=DF,∠A=∠C,不能判定△ADE≌△CDF,所以不能得出AD=CD,所以不能使 ABCD为菱形.
14.D 因为四边形ABCD是菱形,∠ADC=120°,所以AD=AB=BC=CD,∠BAD=∠BCD=60°,∠DAE=∠BAE=∠DCE=∠BCE=∠BCD=30°.因为∠BFE=∠BCE+∠CBF=30°+50°=80°,所以∠EBF=180°-∠BEC-∠BFE=180°-50°-80°=50°.在△CDE和△CBE中,所以△CDE≌△CBE(SAS),所以∠DEC=∠BEC=50°,所以∠BEM=∠DEC+∠BEC=100°,所以∠BME=180°-∠BEM-∠EBF=180°-100°-50°=30°,故①正确;在△ADE和△ABE中,所以△ADE≌△ABE(SAS),故②正确;因为∠EBC=∠EBF+∠CBF=100°,所以∠BEM=∠EBC.在△BEM和△EBC中,
所以△BEM≌△EBC(AAS),所以EM=BC,故③正确.故选D.
15.D ∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD,∠DAE=∠BCF=90°,OD=OB=OA=OC,AD=BC,
AD∥BC,∴∠DAN=∠BCM,
∵BF⊥AC,DE∥BF,∴DE⊥AC,∴∠DNA=∠BMC=90°,
在△DNA和△BMC中,
∴△DNA≌△BMC(AAS),
∴DN=BM,∠ADE=∠CBF,故①正确;
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(ASA),∴AE=FC,DE=BF,∴DE-DN=BF-BM,
即NE=MF,∵DE∥BF,∴四边形NEMF是平行四边形,
∴EM∥FN,故②③正确;
∵AB=CD,AE=CF,∴BE=DF,
∵BE∥DF,∴四边形DEBF是平行四边形,
当AO=AD时,AO=AD=OD,∴△AOD是等边三角形,
∴∠ADO=∠DAN=60°,∴∠ABD=90°-∠ADO=30°,
∵DE⊥AC,∴∠ADN=∠ODN=30°,∴∠ODN=∠ABD,∴DE=BE,
∴四边形DEBF是菱形,故④正确.∴正确的结论有4个,故选D.
解析 (1)证明:如图,因为∠ACB=90°,E是BA的中点,所以CE=AE=BE.因为AF=AE,所以AF=CE.在△BEC中,因为BE=CE,
且D是BC的中点,所以∠1=∠2.因为AF=AE,所以∠F=∠3,因为∠1=∠3,所以∠2=∠F,所以CE∥AF,又因为CE=AF,所以四边形ACEF是平行四边形.
(2)因为四边形ACEF是菱形,所以AC=CE.由(1)知AE=CE,所以AC=CE=AE,所以△AEC是等边三角形,所以∠CAE=60°.在Rt△ABC中,∠B=90°-∠CAE=90°-60°=30°.
17.解析 (1)证明:因为AF∥BC,所以∠AFC=∠FCD,∠FAE=∠CDE.
因为点E是AD的中点,所以AE=DE,所以△FAE≌△CDE(AAS),所以AF=CD.因为点D是BC的中点,所以BD=CD,所以AF=BD,又因为AF∥BD,所以四边形AFBD是平行四边形.因为∠BAC=90°,D是BC的中点,所以AD=BD=BC,所以平行四边形ADBF是菱形.
(2)因为四边形ADBF是菱形,所以S菱形ADBF=2S△ABD,因为点D是BC的中点,所以S△ABC=2S△ABD,所以S△ABC=S菱形ADBF=40,所以AB·AC=40,所以×8AC=40,解得AC=10,所以AC的长为10.
素养探究全练
18.解析 (1)EO=FO.
证明:因为MN∥BC,所以∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,
因为CE平分∠BCO,CF平分∠DCO,
所以∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF,
所以∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,
所以EO=CO,FO=CO,所以EO=FO.
(2)当点O运动到AC的中点处时,四边形AECF是矩形.理由:当点O运动到AC的中点处时,AO=CO,又因为EO=FO,所以四边形AECF是平行四边形,因为FO=CO,所以AO=CO=EO=FO,所以AO+CO=EO+FO,即AC=EF,所以四边形AECF是矩形.
(3)四边形BCFE不能成为菱形.理由如下:
设BF交EC于点G,因为CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,所以∠ECF=∠ACB+∠ACD=(∠ACB+∠ACD)=90°,若四边形BCFE为菱形,则BF⊥CE,因为在△GFC中,不可能同时存在两个角为90°,所以四边形BCFE不能成为菱形.
(
1
)6.3 特殊的平行四边形
6.3.3 正方形的性质与判定
基础过关全练
知识点1 正方形的定义与性质
1.(2023河北石家庄赵县期中)正方形具有而矩形不具有的性质是( )
A.四个角都是直角 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分
2.【教材变式·P27“挑战自我”】(2023山东聊城阳谷期中)如图,在正方形ABCD中,等边△AEF的顶点E,F分别在边BC和CD上,则∠AEB等于( )
A.60° B.70°
C.75° D.80°
3.【对角互补模型】(2023湖南长沙长郡教育集团期中)如图,正方形ABCD的边长是2,对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别在边AD、AB上,且OE⊥OF,则四边形AFOE的面积是( )
A.4 B.2
C.1 D.
4.(2023山东菏泽曹县期中)如图,正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,AE的延长线交CD于点F,连接CE,∠BAE=56°,则∠CEF的度数为 .
5.(2021山东潍坊寿光期末)如图,正方形ABCD中,点E、F分别在边AD、AB上,且AE=BF,连接CE、DF相交于点M,作AN⊥DF,垂足为N.求证:
(1)CE⊥DF.
(2)CM=AN+MN.
知识点2 正方形的判定
6.(2023山东聊城莘县、高唐期中)下列命题中,假命题是( )
A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B.对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
7.(2022北京东城期中)如图,数学课上老师给出了以下四个条件:a.两组对边分别相等;b.一组对边平行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角.有三位同学给出了不同的组合方式:①a,c,d;②b,c,d;③a,b,c.你认为能得到正方形的组合是 .(填所有符合题意的组合序号)
(2022湖南邵阳中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.
9.(2022山东潍坊寿光期末)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是正方形 并给出证明.
能力提升全练
10.【教材变式·P37T15】(2023湖北黄冈期中,7,★★☆)如图,在△ABC中,O是AC上一动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F,当点O运动到AC的中点,且∠ACB= 时,四边形AECF是正方形( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
11.(2021江苏泰州中考,5,★★☆)如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设∠CBE=α,则∠AFP=( )
A.2α B.90°-α
C.45°+α D.90°-α
12.(2022浙江绍兴中考,8,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是对角线BD上的动点,且BE=DF,M,N分别是边AD,BC上的动点.下列四种说法:
①存在无数个平行四边形MENF;
②存在无数个矩形MENF;
③存在无数个菱形MENF;
④存在无数个正方形MENF.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
13.(2022山东潍坊坊子期末,12,★★★)(多选题)如图,正方形ABCD中,CE平分∠ACB,点F在边AD上,且AF=BE.连接BF交CE于点G,交AC于点M,点P是线段CE上的动点,点N是线段CM上的动点,连接PM,PN.下列结论一定成立的是(M8206006)( )
A.CE⊥BF B.BE=AM
C.AE+FM=AB D.PM+PN≥AC
14.【“一线三等角”全等模型】(2023山东菏泽单县期中,17,★★☆)如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点G的坐标为 .
15.(2023山东聊城东昌府期中,25,★★★)如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)求证:PC=PE.
(2)求∠CPE的度数.
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系.
素养探究全练
16.【推理能力】已知四边形ABCD是正方形,点E在射线BC上,连接AE.将△ABE沿AE所在直线折叠,得到△AB'E,点B的对应点是B',延长AB'交直线DC于点F
(1)当点F与点C重合时,如图①,求证:DF+BE=AF.
(2)当点F在DC的延长线上时,如图②;当点F在CD的延长线上时,如图③,线段DF、BE、AF之间有怎样的数量关系 请直接写出你的猜想,并选择一种情况证明.
图① 图② 图③
答案全解全析
基础过关全练
1.C 正方形和矩形的四个角都是直角,对角线相等且互相平分.因为正方形的对角线互相垂直,矩形的对角线不垂直,所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直.
2.C 因为四边形ABCD是正方形,所以AB=AD,∠B=∠D=∠BAD=90°.因为△AEF为等边三角形,所以AE=AF,∠EAF=60°,在Rt△ABE和Rt△ADF中,所以Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),所以∠BAE=∠DAF.因为∠EAF=60°,所以∠BAE=∠DAF=(90°-60°)÷2=15°,所以∠AEB=90°-15°=75°.
3.C 因为四边形ABCD是正方形,所以OA=OB,∠OAE=∠OBF=45°,AC⊥BD,所以∠AOB=90°.因为OE⊥OF,所以∠EOF=90°,所以∠AOE=∠BOF.在△AOE和△BOF中,所以△AOE≌△BOF(ASA),所以△AOE的面积=△BOF的面积,所以四边形AFOE的面积=△OAB的面积=×正方形ABCD的面积=×22=1.
4.答案 22°
解析 因为四边形ABCD是正方形,所以AB=CB,∠ABE=∠CBE=45°.在△ABE中,因为∠BAE=56°,所以∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=79°.
在△ABE和△CBE中,
所以△ABE≌△CBE(SAS),
所以∠CEB=∠AEB=79°,
所以∠CEF=180°-∠AEB-∠CEB=22°.
5.证明 (1)因为四边形ABCD是正方形,所以CD=AD=AB,∠CDE=∠DAF=90°,又因为AE=BF,所以DE=AF.在△CDE和△DAF中,所以△CDE≌△DAF(SAS),所以∠DCE=∠ADF,因为∠ADF+∠MDC=∠EDC=90°,所以∠DCE+∠MDC=90°,所以∠DMC=90°,所以CE⊥DF.
(2)由(1)知CE⊥DF,∠DCE=∠ADF,因为AN⊥DF,所以∠AND=∠DMC=90°,又因为AD=CD,所以△DCM≌△ADN,所以CM=DN,DM=AN,所以CM=DN=DM+MN=AN+MN.
6.A 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,选项A为假命题.选项B,C,D为真命题.故选A.
7.答案 ①②
解析 组合①,由条件a可得四边形是平行四边形,添加条件c可得平行四边形是菱形,再添加条件d可得菱形是正方形;组合②,由条件b可得四边形是平行四边形,添加条件c可得平行四边形是菱形,再添加条件d可得菱形是正方形;组合③,由条件a可得四边形是平行四边形,添加条件b得到四边形仍是平行四边形,再添加条件c可得平行四边形是菱形,不能得到四边形是正方形.
8.证明 因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,因为BE=DF,所以OB-BE=OD-DF,即OE=OF,所以四边形AECF是平行四边形.因为AC⊥EF,所以 AECF是菱形.因为OE=OA,所以2OE=2OA,所以EF=AC,所以菱形AECF是正方形.
9.解析 (1)证明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,所以∠BAD=∠DAC,因为AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,所以∠MAE=∠CAE,所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°,又因为AD⊥BC,CE⊥AN,所以∠ADC=∠CEA=∠DAE=90°,所以四边形ADCE为矩形.
(2)答案不唯一,满足题意即可.例:当△ABC满足∠BAC=90°时,四边形ADCE是正方形.证明:因为AB=AC,∠BAC=90°,所以∠ACB=∠B=45°,因为AD⊥BC,所以∠CAD=∠BAD=45°,所以∠CAD=∠ACB,所以DC=AD,因为四边形ADCE为矩形,所以矩形ADCE是正方形.
能力提升全练
10.D 因为CE为∠ACB的平分线,所以∠ACE=∠BCE.因为MN∥BC,所以∠FEC=∠BCE,所以∠ACE=∠FEC,所以OE=OC.同理,可得OC=OF,所以OE=OF.因为点O运动到AC的中点,所以OA=OC,所以四边形AECF为平行四边形.因为AC=2OC,EF=OE+OF=2OC,所以AC=EF,所以 AECF为矩形.当∠ACB=90°时,因为MN∥BC,所以∠AOE=90°,所以AC⊥EF,所以矩形AECF为正方形.
11.B ∵四边形PBEF为正方形,∴∠PBE=90°.
∵∠CBE=α,∴∠PBC=90°-α,
∵四边形APCD、四边形PBEF是正方形,
∴AP=CP,∠APF=∠CPB=90°,PF=PB.
在△APF和△CPB中,
∴△APF≌△CPB(SAS),
∴∠AFP=∠PBC=90°-α,故选B.
12.C 如图,连接AC,交BD于点O,过点O作直线MN,交AD于点M,交BC于点N.因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC,OB=OD,AD∥BC,因为BE=DF,所以OE=OF.因为AD∥BC,所以∠MDO=∠NBO,又因为OD=OB,∠MOD=∠NOB,所以△MOD≌△NOB,所以OM=ON,所以四边形MENF是平行四边形,所以存在无数个平行四边形MENF,①正确;只要MN=EF,则四边形MENF是矩形,所以存在无数个矩形MENF,②正确;只要MN⊥EF,则四边形MENF是菱形,所以存在无数个菱形MENF,③正确;只要MN=EF,MN⊥EF,则四边形MENF是正方形,符合要求的正方形MENF只有一个,④错误.故选C.
13.ABD 因为四边形ABCD是正方形,所以AB=BC,∠ABC=∠DAB=90°,又因为AF=BE,所以△ABF≌△BCE(SAS),所以∠AFB=∠BEC.因为∠AFB+∠ABF=90°,所以∠BEC+∠ABF=90°,所以∠BGE=90°,即CE⊥BF,故选项A正确;在正方形ABCD中,∠CAD=∠ACB=45°,因为CE平分∠ACB,所以∠BCE=∠ACE=22.5°,所以∠BEC=67.5°,所以∠AFB=67.5°,所以∠AMF=180°-∠CAD-∠AFB=67.5°,所以∠AMF=∠AFB,所以AF=AM,所以AM=BE,故选项B正确;在△AMF中,∠AMF=67.5°,∠MAF=45°,所以AF≠FM,所以AB=AE+BE=AE+AF≠AE+FM,故选项C错误;如图,连接PB,BN,连接BD交AC于点O,在△CBG和△CMG中,所以△CBG≌△CMG(ASA),所以BG=MG,所以CG垂直平分BM,所以PB=PM,所以PM+PN=PB+PN≥BN,因为点N是线段CM上的动点,所以BN≥BO=BD=AC,所以PM+PN≥AC,故选项D正确.故选ABD.
14.答案 (-3,2)
解析 如图,分别过E、G向x轴作垂线,交x轴于A、B两点,则∠GBO=∠EAO=90°,所以∠GOB+∠BGO=90°,因为四边形OEFG是正方形,所以OG=OE,∠GOE=90°,所以∠GOB+∠AOE=90°,所以∠AOE=∠BGO.在△BOG与△AEO中,所以△BOG≌△AEO(AAS),所以OB=AE=3,BG=OA=2,所以G(-3,2).
方法解读 当在一条线段上,存在三个相等的角(锐角、直角或钝角),且有一组边相等时,可考虑用“一线三等角”全等模型.先找准三个等角,再根据平角性质、三角形内角和推导出相等的角,然后判定三角形全等.
15.解析 (1)证明:因为四边形ABCD是正方形,所以AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°.在△ABP和△CBP中,所以△ABP≌△CBP(SAS),所以PA=PC,因为PA=PE,所以PC=PE.
(2)由(1)知△ABP≌△CBP,所以∠BAP=∠BCP,所以∠DAP=∠DCP.因为PA=PE,所以∠DAP=∠E,所以∠DCP=∠E,因为∠CFP=∠EFD,所以180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,即∠CPF=∠EDF.∵四边形ABCD为正方形,∴∠ADC=90°,∴∠EDF=90°,∴∠CPF=90°.
(3)因为四边形ABCD是菱形,所以AB=BC,∠ABP=∠CBP,∠BAD=∠BCD.在△ABP和△CBP中,所以△ABP≌△CBP(SAS),所以PA=PC,∠BAP=∠BCP,所以∠DAP=∠DCP,因为PA=PE,所以PC=PE,∠DAP=∠DEP,所以∠DCP=∠DEP.因为∠CFP=∠EFD,所以∠CPF=∠EDF.因为∠ABC=∠ADC=120°,所以∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=60°,所以△EPC是等边三角形,所以PC=CE,所以AP=CE.
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16.解析 (1)证明:由折叠可得AB=AB',BE=B'E,∠ABE=∠AB'E,
∵四边形ABCD是正方形,
∴DC=AB=AB',∠B'CE=45°,∠AB'E=∠CB'E=∠B=90°,
∴∠B'EC=∠B'CE=45°,
∴B'E=B'F,∴AF=AB'+B'F=DF+BE.
(2)(i)当点F在DC的延长线上时,DF+BE=AF.
证明过程如下:
延长CD到点G,使DG=BE,连接AG,
如图,易证△ABE≌△ADG(SAS),
∴∠BAE=∠DAG,∠AEB=∠AGD,
∵CB∥AD,∴∠AEB=∠DAE.
由折叠可知∠BAE=∠B'AE,
∴∠B'AE=∠DAG,∴∠GAF=∠DAE,
∴∠AGD=∠GAF,∴GF=AF,
∵DF+DG=GF,∴DF+BE=AF.
(ii)当点F在CD的延长线上时,BE-DF=AF.证明过程如下:在BC上取点M,使BM=DF,连接AM,如图,
易证△ABM≌△ADF(SAS),
∴∠BAM=∠FAD,AM=AF.
由折叠可知∠BAE=∠EAB',∴∠MAE=∠DAE,
∵AD∥BE,∴∠AEM=∠DAE,∴∠MAE=∠AEM,
∴ME=MA=AF,∴BE-MB=ME=AF,
即BE-DF=AF.
(任选一种情况证明即可)
(
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)6.4 三角形的中位线定理
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知识点 三角形的中位线
1.(2023山东聊城冠县期中)如图,为测量池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个点O,从点O不经过池塘可以直接到达点A和点B,连接OA,OB,分别取OA,OB的中点C,D,连接CD后,量出CD的长为12米,那么就可以算出A,B的距离是（ )
A.36米 B.24米
C.12米 D.6米
2.(2022浙江丽水中考)如图,在△ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点.若AB=6,BC=8,则四边形BDEF的周长是( )
A.28 B.14 C.10 D.7
3.【一题多解】(2023山东菏泽巨野期中)如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,H为AD边的中点,BC=6,则OH的长为 .
4.(2023山东聊城东昌府期中)如图,△ABC中,D,E分别是AC,AB的中点,DE=CE,过点B作BF∥CE,交DE的延长线于点F.求证:四边形BCEF是菱形.
【中点四边形模型】(2021山东聊城东阿期中)如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,G,H分别是BD,AC的中点.
(1)求证:四边形EGFH是平行四边形.
(2)当AB=CD时,EF与GH有怎样的位置关系 请说明理由.
(3)若AB=CD,∠ABD=20°,∠BDC=70°,则∠GEF= °(直接写出结果).
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6.【教材变式·P33T6】(2023湖北黄冈期中,5,★★☆)如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,AH是高,如果ED=5 cm,那么HF的长为( )
A.5 cm B.6 cm C.4 cm D.不能确定
7.【整体思想】(2022山东烟台海阳期末,12,★★☆)如图,在△ABC中,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为点N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为点M,连接MN.若BC=7,MN=,则△ABC的周长为( )
A.17 B.18 C.19 D.20
8.(2022山东菏泽定陶期中,10,★★☆)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,DE平分∠ADC交AB于点E,∠BCD=60°,AD=AB,连接OE.下列结论:①S ABCD=AD·BD;②DB平分∠CDE;③AO=DE;④OE垂直平分BD.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2023山东潍坊中考,16,★★☆)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,AE⊥CD,垂足为点E,过点E作EF∥BC,交AC于点F,G为BC的中点,连接FG.求证:FG=AB
10.(2022山东潍坊青州期末,23,★★☆)如图,点E是平行四边形ABCD的对角线AC上一点,点F在BE的延长线上,且EF=BE,EF与CD交于点G,连接DF.
(1)求证:DF∥AC.
(2)连接DE、CF,若2AB=BF,G恰好是CD的中点,求证:四边形CFDE是矩形.
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11.【推理能力】【构造中位线】如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E,F分别是AB,CD的中点,且AC=BD.连接EF,分别交AC,BD于点N,M.求证:OM=ON.
答案全解全析
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1.B 连接AB(图略),因为C,D分别是OA,OB的中点,所以CD是△AOB的中位线,所以AB=2CD=24米.
2.B 因为D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,所以DE与EF是△ABC的中位线,BF=AB,BD=BC,所以BF=DE=AB=3,BD=EF=BC=4,所以四边形BDEF的周长为BD+DE+EF+FB=14.
3.答案 3
解析 方法一(中位线法):因为四边形ABCD是菱形,BC=6,所以BO=DO,AB=BC=6,所以O为BD的中点,因为H为AD的中点,所以OH是△ABD的中位线,所以OH=AB=3.
方法二(斜边中线法):因为四边形ABCD是菱形,BC=6,所以AD=BC=6,AO⊥BD.在Rt△AOD中,因为∠AOD=90°,H为AD的中点,所以OH=AD=3.
4.证明 因为D,E分别是AC,AB的中点,所以DE是△ABC的中位线,所以DE∥BC,DE=BC,所以EF∥BC.因为BF∥CE,所以四边形BCEF是平行四边形.因为DE=CE,所以BC=CE,所以 BCEF是菱形.
5.解析 (1)证明:因为E,G分别是AD,BD的中点,所以EG是△DAB的中位线,所以EG∥AB,且EG=AB,同理可得HF∥AB,且HF=AB,所以EG∥HF,且EG=HF,所以四边形EGFH是平行四边形.
(2)GH⊥EF.理由:因为G,F分别是BD,BC的中点,所以GF=CD,因为AB=CD,GE=AB,所以GE=GF,又因为四边形EGFH是平行四边形,所以 EGFH是菱形,所以GH⊥EF.
(3)25.
提示:易知四边形EGFH是菱形,EG∥AB,GF∥DC,
∴∠BGF=∠BDC=70°,∠EGD=∠ABD=20°,
∴∠DGF=180°-70°=110°,∴∠EGF=20°+110°=130°,
易知GF∥EH,∴∠GEH=180°-130°=50°,∴∠GEF=∠GEH=25°.
方法解读 遇到两个及以上中点时,可考虑利用“三角形的中位线定理”解决线段数量或位置关系.
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6.A 因为点E,D分别是AB,BC的中点,所以DE是△ABC的中位线,所以DE=AC.因为AH⊥BC,点F是AC的中点,所以HF是Rt△AHC斜边上的中线,所以HF=AC,所以HF=DE=5 cm.
7.A 因为BN平分∠ABC,所以∠NBA=∠NBE,因为BN⊥AE,所以∠BNA=∠BNE=90°.又因为BN=BN,所以△BNA≌△BNE(ASA),所以BE=BA,AN=NE,同理可得CD=CA,AM=MD,所以MN是△ADE的中位线,所以DE=2MN=3.因为BE+CD-BC=DE,所以AB+AC=BE+CD=BC+DE=10,所以△ABC的周长=AB+AC+BC=10+7=17.
8.C 因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠BAD=∠BCD=60°,AB∥CD,OB=OD,所以∠BAD+∠ADC=180°,所以∠ADC=120°,因为DE平分∠ADC,所以∠ADE=∠CDE=60°,所以∠BAD=∠ADE=60°,所以△ADE是等边三角形,所以AD=AE=DE,∠AED=60°,因为AD=AB,所以AE=AB,所以AE=BE,所以DE=BE,所以∠BDE=∠DBE=∠AED=30°,所以∠ADB=90°,即AD⊥BD,所以S ABCD=AD·BD,故①正确;因为∠CDE=60°,∠BDE=30°,所以∠CDB=30°,所以∠CDB=∠BDE,所以DB平分∠CDE,故②正确;在Rt△AOD中,AO>AD,所以AO>DE,故③错误;因为O是BD的中点,E是AB的中点,所以OE是△ABD的中位线,所以OE∥AD,所以∠EOB=∠ADB=90°,所以EO⊥DB,所以OE垂直平分BD,故④正确.故选C.
9.证明 ∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,
∵EF∥BC,∴∠FEC=∠BCD,∴∠ACD=∠FEC,∴EF=CF.
∵AE⊥CD,∴∠AEC=90°,∴∠EAC+∠ACD=90°,∠AEF+∠FEC=90°,∴∠EAC=∠AEF,∴AF=EF,∴AF=CF.
∵G是BC的中点,∴GF是△ABC的中位线,∴FG=AB.
10.证明 (1)如图,连接BD,交AC于点O,因为四边形ABCD是平行四边形,所以BO=DO,因为BE=EF,所以OE是△BDF的中位线,所以OE∥DF,即DF∥AC.
(2)由(1)得DF∥AC,所以∠DFG=∠CEG,∠GDF=∠GCE,因为G是CD的中点,所以DG=CG,所以△DFG≌△CEG(AAS),所以FG=EG,所以四边形CFDE是平行四边形.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,因为2AB=BF,所以2CD=BF,又因为EF=BE,所以CD=EF,所以 CFDE是矩形.
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11.证明 如图,取AD的中点G,连接EG,FG,因为G,F分别为AD,CD的中点,所以GF是△ACD的中位线,所以GF=AC,GF∥AC,同理可得GE=BD,GE∥BD.
因为AC=BD,所以GF=GE,所以∠GFE=∠GEF,因为EG∥BD,FG∥AC,所以∠OMN=∠GEF,∠GFN=∠ONM,所以∠OMN=∠ONM,所以OM=ON.
(
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)第6章 素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2023四川成都中考)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 ( )
A.AC=BD B.OA=OC
C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
2.(2022山东滨州中考)下列命题,其中是真命题的是 ( )
A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.对角线互相平分的四边形是菱形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
3.如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,连接DE,EF,DF,则图中平行四边形的个数是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
4.(2023北京清华附中期中)如图,在 ABCD中,AE⊥CD于点E,∠B=60°,则∠DAE等于( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
5.【平行线+角平分线】(2023山东聊城东阿、临清期中)如图,在 ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD,交AD边于点E,且AE=5,则AB的长为( )
A. B.3 C.4 D.5
6.【新考向·尺规作图】(2023湖北随州中考)如图,在 ABCD中,分别以B,D为圆心,大于BD的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线交BD于点O,交AD,BC于点E,F,下列结论不正确的是( )
A.AE=CF B.DE=BF C.OE=OF D.DE=DC
7.(2023四川泸州中考)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB相交于点P,E是PD的中点,若AD=4,CD=6,则EO的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(2023山东菏泽曹县期中)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,DE⊥AB于点E,连接OE,若∠DAB=70°,则∠EOB的度数是( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
9.(2022山东聊城东阿期中)若顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形是矩形,则四边形ABCD必然是( )
A.菱形
B.对角线互相垂直的四边形
C.正方形
D.对角线相等的四边形
10.【分类讨论思想】(2022山东聊城临清期中)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=8 cm,BC=12 cm,M是BC上一点,且BM=9 cm,点E从点A出发,以1 cm/s的速度向点D运动,点F从点C出发,以3 cm/s的速度向点B运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止,设运动时间为t(s),当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时,t的值是( )
B.3 C.3或 D.或
11.【“半角”全等模型】(2023重庆中考A卷)如图,在正方形 ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连接AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,则∠FEC一定等于( )
A.2α B.90°-2α
C.45°-α D.90°-α
12.(2022山东东营垦利期末)如图,菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD交于点O,E为CD的延长线上一点,且CD=DE,连接BE,分别交AC、AD于点F、G,连接OG,下列结论:①OG=AB;②S四边形ODGF>S△ABF;③以点A、B、D、E为顶点的四边形是菱形;④S△ACD=4S△BOG.其中正确的是( )
A.①② B.①②③
C.①③④ D.②③④
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.【新考法】(2022湖北荆州中考)如图,点E,F分别在 ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于G,H.添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是 .(只需写一种情况)
14.【数形结合思想】(2023四川凉山州中考)如图, ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是(0,0)、(3,0)、(1,2),则顶点B的坐标是 .
15.(2022山东潍坊安丘期末)如图,点E是矩形ABCD的边AD上一点,点F,G,H分别是BE,BC,CE的中点,若AF=6,则GH的长为 .
【易错题】(2023江苏南京外国语学校期中)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动,点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动,若AC=12,BD=8,则经过 秒,四边形BEDF是矩形.
17.(2023山东济南槐荫期中改编)如图, ABCD的对角线AC、BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,且∠ADC=60°,AB=BC,连接OE.下列结论:①∠CAD=30°;②S△COD+S△AOB=AB·AC;③OB=AB;④OE=
BC.其中正确的有 .(把所有正确结论的序号都填在横线上)
三、解答题(共49分)
18.(2022江苏常州期中)(12分)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE,CF分别平分∠BAD和∠BCD,交BD于点E,F.
(1)若∠BCF=65°,求∠ABC的度数.
(2)连接CE,AF,求证:四边形AECF是平行四边形.
19.【教材变式·P28T7】(2023湖北随州中考改编)(12分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:CE=DE.
(2)若BC=3,DC=2,求四边形OCED的面积.
20.【教材变式·P26例2】(2023浙江绍兴中考)(12分)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥
BC,E,F分别为垂足.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH.
(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.
21.(13分)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点M,N分别为OB,OD的中点,连接AM并延长至点E,使EM=AM,连接CE,CN.
(1)求证:△ABM≌△CDN.
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形MECN是矩形 请说明理由.
(3)连接AN,EN,当△ANE满足什么条件时,四边形MECN是正方形 请说明理由.
答案全解全析
一、选择题
1.B 平行四边形的对角线互相平分,但不一定相等,不一定垂直,选项B正确,选项A,C不一定正确.平行四边形的对角相等,但邻角不一定相等,选项D不一定正确.
2.D
3.B ∵D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,
∴DE,DF,EF是△ABC的中位线,
∴DE∥AC,DF∥BC,EF∥AB,
∴四边形EDFC、四边形EBDF、四边形ADEF均是平行四边形.
故选B.
4.B 因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠D=∠B=60°,
因为AE⊥CD,所以∠AED=90°,所以∠DAE=90°-∠D=30°.故选B.
5.D 因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB=CD,AD∥BC,所以∠DEC=∠ECB,因为CE平分∠BCD,所以∠DCE=∠ECB,所以∠DEC=∠DCE,所以CD=DE.因为AD=2AB,所以AD=2CD=2ED,因为AD=AE+ED,所以ED=AE=5,所以AB=5.故选D.
6.D 根据作图可知,EF垂直平分BD,所以BO=DO.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC,AD∥BC,所以∠EDO=∠FBO,因为∠BOF=∠DOE,所以△BOF≌△DOE(ASA),所以BF=DE,OE=OF,选项B,C正确.因为AD-DE=BC-BF,所以AE=CF,选项A正确.无法证明DE=CD,选项D错误.故选D.
7.A 因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥DC,AB=CD=6,OD=OB,所以∠CDP=∠APD.因为DP平分∠ADC,所以∠CDP=∠ADP,所以∠ADP=∠APD,所以AP=AD=4,所以PB=AB-AP=6-4=2.因为E是PD的中点,O是BD的中点,所以EO是△DPB的中位线,所以EO=PB=1,故选A.
8.C 因为四边形ABCD是菱形,所以AB=AD,DO=BO.因为∠DAB=70°,所以∠ABD=∠ADB==55°.因为DE⊥AB,所以∠DEB=90°.在Rt△DEB中,因为DO=BO,所以OE=BO=DO=DB,所以∠OEB=∠ABD=55°,所以∠EOB=180°-55°-55°=70°.
9.B 如图,四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,所以EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG,因为四边形EFGH是矩形,所以EF⊥FG,所以AC⊥BD,故选B.
10.D 因为AD∥BC,所以①当F在线段CM上,且AE=FM时,以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形,则t=12-9-3t,解得t=;②当点F在线段BM上,且AE=FM时,以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形,则t=3t-(12-9),解得t=.综上所述,当t=或时,以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
11.A 因为四边形ABCD是正方形,所以AD=AB,∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°.如图,延长CB到G,使BG=DF,连接AG,则∠ABG=90°.在△ADF和△ABG中,所以△ADF≌△ABG(SAS),所以AF=AG,∠DAF=∠BAG.因为∠EAF=45°,所以∠BAE+∠DAF=45°,所以∠BAE+∠BAG=45°,所以∠GAE=∠FAE=45°.在△AEF和△AEG中,,所以△AEF≌△AEG(SAS),所以∠AEF=∠AEG.因为∠BAE=α,所以∠AEB=90°-α,所以∠AEF=∠AEB=90°-α,
所以∠FEC=180°-∠AEF-∠AEB=180°-2×(90°-α)=2α,故选A.
12.C 因为四边形ABCD是菱形,
所以AB=BC=CD=DA,AB∥CD,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,
所以∠BAG=∠EDG,因为CD=DE,所以AB=DE.在△ABG和△DEG中,所以△ABG≌△DEG(AAS),所以AG=DG,所以OG是△ABD的中位线,所以OG=AB,故①正确;
如图,连接AE,因为AB∥CE,AB=DE,所以四边形ABDE是平行四边形,因为∠BAD=60°,AB=AD,所以△ABD是等边三角形,所以AB=BD,所以平行四边形ABDE是菱形,故③正确;
因为OA=OC,AG=DG,所以S△ACD=2S△AOD,S△AOD=2S△AOG,所以S△ACD=4S△AOG,易知S△AOG=S△BOG,所以S△ACD=4S△BOG,故④正确;
易知S△ABG=S△DBG,OB=AG,∠AOB=∠BGA=90°,
又因为∠BFO=∠AFG,所以△BOF≌△AGF,所以S△BOF=S△AGF,所以S△DBG-S△BOF=S△ABG-S△AGF,即S四边形ODGF=S△ABF,故②错误.
综上,正确的结论是①③④.
二、填空题
13.答案 BE=DF(答案不唯一)
解析 本题通过三角形全等的判定考查平行四边形的性质.添加的条件可以是BE=DF.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,∠A=∠C,AB=CD,所以∠E=∠F.因为BE=DF,所以BE+AB=DF+CD,即AE=CF.在△AEG和△CFH中,所以△AEG≌△CFH(ASA).(答案不唯一)
14.答案 (4,2)
解析 如图,延长BC交y轴于点D,因为四边形ABCO是平行四边形,所以BC=OA,BC∥OA.因为OA⊥y轴,所以BC⊥y轴.因为A(3,0),C(1,2),所以BC=OA=3,CD=1,OD=2,所以BD=CD+BC=1+3=4,所以B(4,2).
15.答案 6
解析 因为四边形ABCD是矩形,所以∠BAD=90°,因为F为BE的中点,AF=6,所以BE=2AF=12.因为G,H分别为BC,EC的中点,所以GH是△CBE的中位线,所以GH=BE=6.
16.答案 2或10
解析 设运动的时间为t秒.因为四边形ABCD是平行四边形,AC=12,BD=8,所以OA=OC=AC=6,OB=OD=BD=4.因为AE=CF=t,所以OE=OF=6-t或OE=OF=t-6,所以四边形BEDF是平行四边形,当EF=BD时, BEDF是矩形,此时OE=OD,所以6-t=4或t-6=4,解得t=2或t=10,所以经过2秒或10秒,四边形BEDF是矩形.
17.答案 ①②④
解析 因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠ABC=∠ADC=60°,AB∥CD,AD∥BC,所以∠BAD=120°.因为AE平分∠BAD,所以∠BAE=∠EAD=60°,所以△ABE是等边三角形,所以AE=AB=BE,∠AEB=60°.因为AB=BC,所以BE=BC,所以AE=AB=BE=EC,所以∠ACB=∠CAE=∠AEB=30°,因为AD∥BC,所以∠CAD=∠ACB,所以∠CAD=30°,①正确;因为∠BAC=∠BAE+∠CAE=90°,所以AC⊥AB,所以S ABCD=AB·AC,易知S△AOB=S△COB=S△COD=S△AOD,所以S△COD+S△AOB=AB·AC,②正确;因为∠BCD=∠BAD=120°,∠BDC<60°,所以∠BCD与∠BDC不相等,所以BD与BC不相等.因为AB=BC,OB=BD,所以AB与OB不相等,③错误;因为OA=OC,BE=EC,所以OE是△ABC的中位线,所以OE=AB,因为AB=BC,所以OE=BC,④正确.
三、解答题
18.解析 (1)因为CF平分∠BCD,所以∠BCD=2∠BCF=2×65°=130°.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,所以∠ABC+∠BCD=180°,所以∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°.
(2)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,AB∥CD,∠BAD=∠DCB,所以∠ABE=∠CDF.由题意知∠BAE=∠BAD,∠DCF=∠DCB,所以∠BAE=∠DCF,所以△ABE≌△CDF(ASA),所以∠AEB=∠CFD,AE=CF,所以∠AEF=∠CFE,所以AE∥CF,所以四边形AECF是平行四边形.
19.解析 (1)证明:因为DE∥AC,CE∥BD,所以四边形OCED是平行四边形.因为四边形ABCD是矩形,所以AC=BD,OC=AC,OD=BD,所以OC=OD,所以四边形OCED是菱形,所以CE=DE.
(2)因为四边形ABCD是矩形,BC=3,DC=2,
所以OA=OB=OC=OD,S矩形ABCD=3×2=6,
所以S△OCD=S矩形ABCD=×6=1.5.
因为四边形OCED是菱形,所以菱形OCED的面积=2S△OCD=2×1.5=3.
20.解析 (1)证明:因为四边形ABCD是正方形,GE⊥CD,
所以∠ADE=∠GEC=90°,所以AD∥GE,所以∠DAG=∠EGH.
(2)AH⊥EF,理由如下:
连接GC交EF于点O,如图,因为四边形ABCD为正方形,所以∠ADG=∠CDG=45°,AD=CD,
又因为DG=DG,所以△ADG≌△CDG(SAS),所以∠DAG=∠DCG.
在正方形ABCD中,∠ECF=90°,因为GE⊥CD,GF⊥BC,所以∠GEC=∠GFC=90°,所以四边形FCEG为矩形,所以OE=OC,所以∠OEC=∠OCE,所以∠DAG=∠OEC.由(1)得∠DAG=∠EGH,所以∠EGH=∠OEC,所以∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,所以∠GHE=90°,所以AH⊥EF.
21.解析 (1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,AB=CD,OB=OD,OA=OC,所以∠ABM=∠CDN,因为点M,N分别是OB,OD的中点,所以BM=DN,所以△ABM≌△CDN(SAS).
(2)当AC=2AB时,四边形MECN是矩形.理由如下:
因为MA=ME,OA=OC,所以OM是△AEC的中位线,所以OM∥EC,OM=EC,易知OM=ON=MN,所以MN=EC,又因为MN∥EC,所以四边形MECN是平行四边形.因为AC=2AB,AC=2OA,所以AB=OA,又点M是OB的中点,所以AM⊥BO,所以∠EMN=90°,所以 MECN是矩形.
(3)当△ANE是等腰直角三角形,且∠ANE=90°时,四边形MECN是正方形.理由:易得四边形MECN是平行四边形.因为∠ANE=90°,EM=AM,所以MN=AE=ME,所以 MECN是菱形,因为AN=EN,EM=AM,所以NM⊥AE,所以∠EMN=90°,所以菱形MECN是正方形.
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