课件33张PPT。 第二章 基本初等函数(Ⅰ)§2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算（一）明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解n次方根与根式的概念.
2.正确运用根式运算性质化简、求值.
3.了解分类讨论思想在解题中的应用.明目标、知重点填要点·记疑点1.根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.xn＝a(2)a的n次方根的表示(3)根式
式子 叫做根式，这里n叫做 ，a叫做被开方数.根指数0aa－a探要点·究所然情境导学
我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根，……，n次方根呢？答案是肯定的，这就是本节我们要研究的问题：指数与指数幂的运算.探究点一 根式思考1 类比a的平方根及立方根的定义，如何定义a的n次方根？
答 n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.思考2 类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？
小结 一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数这两种情况.例1 求下列各式的值：跟踪训练1 (1)16的平方根为___，－27的5次方根为________.
解析 ∵(±4)2＝16，
∴16的平方根为±4.－27的5次方根为 .±4则需x－2≥0，即x≥2.
因此实数x的取值范围是[2，＋∞).[2，＋∞)探究点二 利用根式的性质化简或求值
例2 (1)求下列各式的值：答案 ①5 ②－6(2)化简：A.1 B.2a－1
C.1或2a－1 D.0故选C.C探究点三 有限制条件的根式的化简∵－3
原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，反思与感悟 此类问题的解答首先应去根号，这就要求将被开方部分化为完全平方的形式，结合根式性质求解.跟踪训练3 例3中，若将“－3∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.当堂测·查疑缺 1234A.①③④ B.②③④ C.②③ D.③④5解析 ①错，∵(±2)4＝16，∴16的4次方根是±2；答案 D123452.已知x5＝6，则x等于( )B123453.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )C12345解析 由题意知a－1≥0，即a≥1.
原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.a－1123455.若81的平方根为a，－8的立方根为b，求a＋b的值.
解 ∵(±9)2＝81，
∴81的平方根为±9，即a＝±9.
又(－2)3＝－8，∴－8的立方根为－2，即b＝－2.
∴a＋b＝－9－2＝－11或a＋b＝9－2＝7，
∴a＋b＝－11或7.12345呈重点、现规律1.根式的概念：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.n为奇数时，x＝ ，n为偶数时，x＝± (a>0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.课件35张PPT。 第二章 基本初等函数(Ⅰ)§2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算（二）明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解规定分数指数幂的意义.
2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.
3.理解有理数指数幂的含义及其运算性质.
4.了解无理数指数幂的意义.明目标、知重点填要点·记疑点1.分数指数幂
(1)定义：规定正数的正分数指数幂的意义是： ＝ (a>0，m、n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是： ＝ (a>0，m、n∈N*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 .0没有意义2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ ；
(2)(ar)s＝ ；
(3)(ab)r＝ .
(注：a>0，b>0，r，s为有理数).ar＋sarsarbr3.无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.实数探要点·究所然情境导学探究点一 分数指数幂思考1 整数指数幂的运算性质有哪些？
答 (1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝am·n；
(3) ＝am－n(m>n，a≠0)；
(4)(a·b)m＝am·bm.思考2 零和负整数指数幂是如何规定的？
答 规定：a0＝1(a≠0)；00无意义，a－n＝ (a≠0).思考3 根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？答 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相仿.
即： ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法.思考4 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？
答 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).解 反思与感悟 在进行求解时，首先要把比较大的整数化成比较小的整数的指数幂的形式，还要熟练掌握分数指数幂的运算性质，化负指数为正指数，同时还要注意运算的顺序问题.解 例2 计算下列各式(式中字母都是正数)：
(1) 解 原式＝[2×(－6)÷(－3)]
＝4ab0＝4a；(2) 解反思与感悟 一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.跟踪训练2 计算下列各式：解 原式＝ 解 原式＝例3 计算下列各式的值：反思与感悟 运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母，又含有负指数.跟踪训练3 计算下列各式的值：解 原式＝解 原式＝探究点二 无理数指数幂
思考1 如何理解 ？(阅读教材有关内容)思考2 无理数指数幂ap(a>0，p是一个无理数)有何意义？有怎样的运算性质？
答 无理数指数幂的意义，是用有理数指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.一般来说，无理数指数幂ap(a>0，p是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.当堂测·查疑缺 12341.下列互化中正确的是( )
A.
B.
C. D. 1234答案 C12342.将 表示成根式的形式是( )A. B.
C. D. 1234解析 答案 C12343.下列等式一定成立的是( )
A. B.
C.(a3)2＝a9 D. 解析 D12344.化简： (a>0，b>0)＝________.解析 原式＝呈重点、现规律1.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.
2.根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.课件36张PPT。 第二章 基本初等函数(Ⅰ)§2.1 指数函数
2.1.2 指数函数及其性质（一）明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象.
2.初步学会运用指数函数解决问题.明目标、知重点填要点·记疑点1.指数函数的概念
一般地， 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.函数y＝ax(a>0，且a≠1)2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质(0,1)01y>101增函数减函数探要点·究所然情境导学
印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人.这位聪明的大臣说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍.直到摆满棋盘上64格”，国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的”.于是，下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了.还没到第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的诺言.想一想，共需要多少粒麦子？探究点一 指数函数的概念思考1 在教材2.1的开头有两个问题，问题(1)中时间x与GDP值的关系y＝1.073x(x∈N*，x≤20)与问题(2)中时间t与碳14含量P的对应关系 ，请问这两个函数有什么共同特征？
答 把 变成 ，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数.思考2 在两问题关系式中，如果用字母a代替 和1.073，那么以上两个函数的解析式都可以表示成什么形式？
答 表示成y＝ax的形式，其中自变量x是指数，底数a是一个大于0且不等于1的常量.小结 指数函数的定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.思考3 指数函数定义中为什么规定了a>0且a≠1?
答 原因如下：
(1)如果a<0，比如y＝(－4)x，这时对于x＝ ，x＝ 等，在实数范围内函数值不存在；(3)如果a＝1，y＝1x＝1，是个常数函数，没有研究的必要.例1 在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？
(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；
(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，且a≠2).
解 只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；
(1)中解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；
(2)中底数为负，所以不是；
(3)中解析式中多一负号，所以不是；
(5)中指数为常数，所以不是；
(6)中令b＝a－1，则y＝bx，b>0且b≠1，所以是.反思与感悟 根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>1，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数.跟踪训练1 指出下列函数哪些是指数函数：
(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝(－4)x；
(4)y＝xx；(5)y＝(2a－1)x .解 (1)、(5)为指数函数；
(2)自变量在底数上，所以不是；
(3)底数－4<0，所以不是；
(4)底数x不是常数，所以不是.探究点二 指数函数的图象与性质
问题 分别在同一坐标系内画出y＝2x与y＝( )x的图象及y＝3x与y＝( )x的图象，如何通过观察具体的指数函数的图象，归纳、抽象出y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与性质.思考1 猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？
答 它们的图象都在x轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴；当底数大于1时图象上升，为增函数；当底数大于0小于1时图象下降，为减函数.思考2 图象过哪些特殊的点？这点与底数的大小有关系吗？
答 不论底数a>1还是0思考3 你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y＝ax的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性)
答 定义域为R，值域为{y|y>0}，过(0,1)点，a>1时为增函数，00且a≠1)的图象过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.
解 将点(3，π)，代入f(x)＝ax，
得到f(3)＝π，即a3＝π，反思与感悟 要求指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可.跟踪训练2 当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3必过的定点坐标为________.
解析 当a>0且a≠1时，总有f(2)＝a2－2－3＝a0－3＝1－3＝－2，
所以函数f(x)＝ax－2－3必过定点(2，－2).(2，－2)例3 求下列函数的定义域与值域：
(1)解 令x－4≠0，得x≠4.
∴定义域为{x|x∈R，且x≠4}.∴ ≠1，∴y＝ 的值域为{y|y>0，且y≠1}.解 定义域为x∈R.(3)y＝4x＋2x＋1＋1.
解 定义域为x∈R.由y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，且2x>0，∴y>1.
故y＝4x＋2x＋1＋1的值域为{y|y>1}.反思与感悟 函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要达到指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.跟踪训练3 已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象过点(2,1)，则f(x)的值域为( )
A.[9,81] B.[3,9]
C.[1,9] D.[1，＋∞)
解析 因为函数f(x)＝3x－b的图象经过点(2,1)，
所以32－b＝1，所以2－b＝0，b＝2，
所以f(x)＝3x－2.
由2≤x≤4得0≤x－2≤2，因为函数y＝3x在区间[0,2]上是增函数，
所以30≤3x－2≤32，即1≤3x－2≤9，
所以函数f(x)的值域是[1,9].
答案 C当堂测·查疑缺 12341.下列各函数中，是指数函数的是( )
A.y＝(－3)x B.y＝－3x
C.y＝3x－1 D.y＝ x
解析 只有y＝ x符合指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的形式.D52.指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则( )
A.a<0，b<0 B.a<0，b>0
C.01 D.0解析 函数y＝ax的图象是下降的，所以0函数y＝bx的图象是上升的，所以b>1.故选C.C123453.函数f(x)＝ 的定义域是( )
A.(－∞，0] B.[0，＋∞)
C.(－∞，0) D.(－∞，＋∞)
解析 由1－2x≥0得2x≤1，
根据y＝2x的图象可得x≤0，选A.A123454.函数f(x)＝ (a＞1)的图象的大致形状是( )12345解析 当x＞0时，f(x)＝ax，由于a＞1，
函数是增函数；
当x＜0时，f(x)＝－ax，与f(x)＝ax(x＜0)关于x轴对称，
只有选项C符合.
答案 C123455.已知a>0，且a≠1，若函数f(x)＝2ax－4在区间[－1,2]上的最大值为10，则a＝________.
解析 (1)若a>1，则函数y＝ax在区间[－1,2]上是递增的，
当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝2a2－4＝10，
即a2＝7，12345(2)若0当x＝－1时，f(x)取得最大值f(－1)＝2a－1－4＝10，12345呈重点、现规律1.判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2.指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.
3.由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.4.求函数y＝af(x)(a＞0且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域.课件34张PPT。 第二章 基本初等函数(Ⅰ)§2.1 指数函数
2.1.2 指数函数及其性质（二）明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.进一步熟练掌握指数函数的概念、图象、性质.
2.会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性、奇偶性.
3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小，解不等式.明目标、知重点填要点·记疑点1.比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的
性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的
的变化规律来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过
来判断.单调图象中间值2.简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的 求解；
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的 求解；
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.单调性单调性3.形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 的定义域.
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 的单调性；当0问题 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)，当底数越大时，函数图象间有怎样的关系？
思考1 观察同一直角坐标系中函数答 (1)当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.
(2)当0(3)底互为倒数时，图象关于y轴对称.思考2 当a>b>0(a≠1且b≠1)时，对任意一个实数x0.什么时候 > ？什么时候 < ？什么时候 ＝ ?
答 由图象可知：当a>b>1时，x0∈(0，＋∞)， > ；x0∈(－∞，0)， < ；x0＝0， ＝ .
当1>a>b>0时，x0∈(0，＋∞)， > ；x0∈(－∞，0)，
< ；x0＝0， ＝ .
综上可知：对a>b>0(a≠1且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，
> ；x0∈(－∞，0)， < ；x0＝0， ＝ .小结 x0为正数时，不论底数大于1还是大于0且小于1，底数大的指数函数对应的函数值大；当x0为负数时，底数大的指数函数对应的函数值小.因此对于几个不同的指数函数，当自变量为相同的数时，可以通过其函数值的大小比较底数的大小，即过与y轴平行的直线与指数函数图象的交点向y轴投影后，通过y轴的数值大小比较底数的大小.例1 如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；
④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A.aB.bC.1D.a答案 B跟踪训练1 比较下列各组中两个数的大小：(2)0.6－2和 .解 由指数函数的性质知0.6－2>1，探究点二 指数形式的函数的单调性、奇偶性
例2 设a是实数，f(x)＝a－ (x∈R)，试证明对于任意a，f(x)为增函数.
证明 设x1，x2∈R，且x1且x1又由2x>0得 ＋1>0, ＋1>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为增函数.反思与感悟 此类型题目单调性证明过程中，在对差式正负判断时，利用指数函数的值域及单调性.跟踪训练2 已知函数f(x)＝2ax＋2(a为常数).
(1)求函数f(x)的定义域；
解 函数f(x)＝2ax＋2对任意实数都有意义，
所以定义域为实数集R.(2)若a>0，试证明函数f(x)在R上是增函数；
解 任取x1，x2∈R，且x1由a>0得ax1＋2因为y＝2x在R上是增函数，
所以有 < ，即f(x1)所以函数f(x)在R上是增函数.(3)当a＝1时，求函数y＝f(x)，x∈(－1,3]的值域.
解 由(2)知当a＝1时，f(x)＝2x＋2在(－1,3]上是增函数.
所以f(－1)所以函数f(x)的值域为(2,32].探究点三 指数型函数在实际中的应用
例3 截止到1999年底，我们人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?
解 设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，1999年底，我国人口约为13亿；
经过1年(即2000年)，人口数为13＋13×1%＝13(1＋1%)亿；
经过2年(即2001年)，人口数为13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)2亿；经过3年(即2002年)，人口数为13(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3亿；
……
经过x年，人口数为13(1＋1%)x亿；则y＝13(1＋1%)x.
当x＝20时，y＝13(1＋1%)20≈16(亿).
答 经过20年后，我国人口数最多为16亿.反思与感悟 类似上面此题，设原值为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后总量y＝N(1＋p)x，像y＝N(1＋p)x等形如y＝kax(k≠0，a>1且a≠1)的函数称为指数型函数.跟踪训练3 某市2014年国民生产总值为20亿元，计划在今后的10年内，平均每年增长8%，问2024年该市国民生产总值可达多少亿元(精确到0.01亿元)?
解 设该市国民生产总值在2014年后的第x年为y亿元，则：
第1年：y＝20＋20×8%＝20(1＋8%)＝20×1.08，
第2年：y＝20×1.08＋20×1.08×8%＝20×1.082，
第x年：y＝20×1.08x(x∈N,1≤x≤10)，
第10年：y＝20×1.0810≈43.18(亿元).
答 2024年该市国民生产总值可达43.18亿元.当堂测·查疑缺 12341.若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a、b、c的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.a＜b＜c
C.a＜c＜b D.b＜c＜a∴ ＜ ＜ .B5A.[0，＋∞) B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4)解析 ∵4x>0，∴0≤16－4x<16，C123453.设0＜a＜1，则关于x的不等式 的解集为_________.
解析 ∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，
又∵ ，
∴2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1.(1，＋∞)123454.若指数函数y＝ax 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.
解析 若01，则a－a－1＝1，即a2－a－1＝0，12345123455.用函数单调性定义证明a＞1时，y＝ax是增函数.
证明 设x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2＝x1＋h(h＞0)，
则有 ，
∵a＞1，h＞0，∴ ＞0，ah＞1，
∴ － ＞0，即 ＜
故y＝ax(a＞1)为R上的增函数.12345呈重点、现规律1.比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.2.解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解.如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论.
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解.课件37张PPT。 第二章 基本初等函数(Ⅰ)§2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对 数明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解对数、常用对数、自然对数的概念.
2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化.
3.理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值.明目标、知重点填要点·记疑点1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做 ，记作x＝logaN，其中a叫做 ，N叫做 .以a为底N的对数对数的底数真数2.常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做 ，以e为底的对数称为 ，log10N可简记为 ，logeN简记为 .常用对数自然对数lg Nln N3.对数与指数的关系
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝ .
对数恒等式：alogaN＝ ；logaax＝ (a>0，且a≠1).xNx4.对数的性质
(1)1的对数为 ；
(2)底的对数为 ；
(3)零和负数 .零1没有对数探要点·究所然情境导学
对数，延长了天文学家的生命.“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看出，伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论.那么，“对数”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题.探究点一 对数、常用对数与自然对数的概念思考1 已知2x＝2，则x＝1；2x＝4，则x＝2；2x＝8，则x＝3；2x＝10，则x＝？
像这样，已知底数和幂的值求指数，就是我们要学习的对数.那么你能给对数一个定义吗？
答 一般地，若ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.思考2 根据对数的定义，如何将 ＝1.01x、42＝16写成对数形式？思考3 在对数式x＝logaN中，底数a和真数N的取值范围是什么，为什么？
答 由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.探究点二 对数式与指数式的互化
思考1 在指数式和对数式中都含有a，x，N这三个量，那么这三个量在两个式中各有什么异同点？
答 幂底数←a→对数底数；指数←x→对数；幂←N→真数.思考2 指数式与对数式具有怎样的关系？
答 当a>0，且a≠1时，ax＝N?x＝logaN.
思考3 指数式ab＝N和对数式b＝logaN有何区别与联系？
答 二者反映的本质是一样的，都是a、b、N之间的关系式；但二者突出的重点不一样，指数式ab＝N中突出的是指数幂N，而对数式b＝logaN中突出的是对数b.例1 将下列指数式写成对数式：
(1)54＝625；
解 log5625＝4；(3)3a＝27；解 log327＝a；反思与感悟 logaN＝x与ax＝N(a>0，且a≠1，N>0)是等价的，表示a，x，N三者之间的同一种关系，可以利用其中两个量表示第三个量.跟踪训练1 将下列对数式写成指数式：
(1)log 16＝－4；(2)log2128＝7；解 27＝128；(3)lg 0.01＝－2；
解 10－2＝0.01；
(4)ln 10＝2.303.
解 e2.303＝10.例2 求下列各式中的x的值：(2)logx8＝6；
解 x6＝8，所以x＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .(3)lg 100＝x；
解 10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)－ln e2＝x.
解 由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.
所以x＝－2.反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解.跟踪训练2 计算：(1)log927；探究点三 对数的基本性质
思考1 是不是所有的实数都有对数？为什么？
答 负数与零没有对数，因为在指数式中N>0，所以只有正数才有对数.思考2 根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1，logaa分别等于什么吗？
答 loga1＝0，logaa＝1.
∵对任意a>0且a≠1，都有a0＝1，
∴化成对数式为loga1＝0；
∵a1＝a，∴化成对数式为logaa＝1.思考3 你能推出对数恒等式 ＝N吗？
答 如果把ab＝N中的b写成logaN，则有 ＝N.例3 求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
解 ∵log2(log5x)＝0.
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)log3(lg x)＝1；
解 ∵log3(lg x)＝1，
∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.∴x＝1.反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题.跟踪训练3 若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
解析 ∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.
∴x＝3.
同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.A当堂测·查疑缺 12341.有下列说法：
①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数.
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.41234解析 ①、③、④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式.
答案 C12342.在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )
A.b<2或b>5 B.2C.4解析 ∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10,3b＝7，呈重点、现规律1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2) ＝N.
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.3.指数式与对数式的互化课件39张PPT。 第二章 基本初等函数(Ⅰ)§2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
第2课时 对数的运算明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.加深对数的概念.
2.理解对数运算性质的推导过程，掌握对数的运算性质、换底公式.
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.明目标、知重点填要点·记疑点1.对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝ ；
(2)Loga ＝ ；
(3)logaMn＝ (n∈R).logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM2.对数换底公式
logab＝ (a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；
特别地：logab·logba＝ (a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).1探要点·究所然情境导学
我们已经知道，实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算，集合有交、并、补运算，指数也有三种运算，那么，对数有怎样的运算？探究点一 对数的运算性质思考1 根据对数的定义及对数与指数的关系你能解答下列问题吗？
(1)设loga2＝m，loga3＝n，求am＋n；
答 由loga2＝m，得am＝2，
由loga3＝n，得an＝3，
所以am·an＝am＋n＝2×3＝6，即am＋n＝6.(2)设logaM＝m，logaN＝n，试利用m、n表示loga(M·N).
答 由logaM＝m，得am＝M，由logaN＝n，得an＝N.
所以am·an＝am＋n＝M×N，
把指数式化为对数式得：loga(M·N)＝m＋n.小结 在思考1中的第(2)题中，我们可以得到loga(M·N)＝m＋n，又由logaM＝m，logaN＝n，进行m，n的代换后就得到对数的一条运算性质，即：loga(M·N)＝logaM＋logaN.思考2 同样地，由am÷an＝am－n和(am)n＝amn，也得到对数运算的其他性质：loga ＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM(n∈R)(a>0，且a≠1，M>0，N>0).试着推导出上述两个公式.∴m＝logaM，n＝logaN，当n≠0时，令logaM＝p，
由对数定义可以得M＝ap，
∴Mn＝(ap)n＝anp，
∴logaMn＝np，将logaM＝p代入，
即证得logaMn＝nlogaM.
当n＝0时，显然成立.
∴logaMn＝nlogaM.小结 对数运算性质可以用简易语言表达：“积的对数＝对数的和”，“商的对数＝对数的差”，“正数的n次方的对数＝正数的对数的n倍”.有时逆向运用性质：如log105＋log102＝log1010＝1.例1 用logax，logay，logaz表示下列各式：＝logax＋logay－logaz；反思与感悟 真数的取值范围必须是(0，＋∞)，log2(－3)(－5)＝log2(－3)＋log2(－5)是不成立的.log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的.要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.跟踪训练1 计算：
(1)log2(47×25)；
解 log2(47×25)＝log247＋log225＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19；探究点二 换底公式
思考1 假设 ＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可得到什么结论？思考2 由思考1你能猜测 与哪个对数相等？如何证明这个结论？例2 已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.又∵log37＝b，反思与感悟 在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.跟踪训练2 已知logax＝logac＋b，求x.
解 方法一 由对数定义可知：
x＝ ＝ ·ab＝c·ab.
方法二 由已知移项可得：logax－logac＝b，∴x＝c·ab.方法三 ∵b＝logaab，∴logax＝logac＋logaab＝loga(c·ab)，∴x＝c·ab.例3 20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；
解 M＝lg 20－lg 0.001＝lg ＝lg 20 000
＝lg 2＋lg 104≈4.3.
因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107.6，当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105.答 7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.跟踪训练3 我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，分贝的定义是：y＝10lg .这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I0＝10－12w/m2，当I＝I0时，y＝0，即dB＝0.
(1)如果I＝1 w/m2，求相应的分贝值；解 ∵I＝1 w/m2，＝10×12lg 10＝120(dB).答 I＝1 w/m2时，相应的分贝值为120 dB；(2)70 dB时声音强度I是60 dB时声音强度I′的多少倍？
答 70 dB时声音强度I是60 dB时声音强度I′的10倍.当堂测·查疑缺 12341.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )
A.logax·logay＝loga(x＋y) B.(logax)n＝nlogaxC52.已知x，y为正实数，则( )
A.2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y
B.2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C.2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y
D.2lg(xy)＝2lg x·2lg y
解析 2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy).故选D.D123453.log3 ＋lg 25＋lg 4＋7log72＋(－9.8)0＝ .123454.化简(log43＋log83)(log32＋log92)＝ .
123455.已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求 的值.1234512345呈重点、现规律1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.2.运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N).课件40张PPT。 第二章 基本初等函数(Ⅰ)§2.2 对数函数
2.2.2 对数函数及其性质（一）明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解对数函数的概念.
2.掌握对数函数的性质.
3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.明目标、知重点填要点·记疑点1.对数函数的定义
一般地，我们把 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .函数y＝logax(a>0，且a≠1)(0，＋∞)2.对数函数的图象与性质(0，＋∞)R(1,0)(－∞，0)[0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0]x轴探要点·究所然情境导学
某种细胞分裂时，得到分裂个数t是分裂次数n的函数，可以用指数函数表示为t＝2n，反过来，如果知道分裂后的细胞个数也可求出分裂的次数n，即n＝log2t，而且对于每一个细胞个数t，有唯一的分裂次数n与之相对应，因此n是关于t的函数.习惯上仍用x表示自变量，y表示它的函数：即y＝log2x.这就是本节我们要研究的对数函数.探究点一 对数函数的概念思考1 类比指数函数的定义，请给出对数函数的定义.
答 一般地，我们把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为x∈(0，＋∞).思考2 判断一个函数是不是对数函数的依据是什么？
答 对数函数的定义与指数函数类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为大于0且不等于1的常数，真数仅有自变量x这三个条件，才是对数函数.如：y＝logax2；y＝loga(4－x) ；y＝2logax都不是对数函数.例1 求下列函数的定义域：
(1)y＝logax2；
解 由x2>0，得x≠0，
∴函数y＝logax2的定义域是{x|x≠0}；
(2)y＝loga(4－x)；
解 由4－x>0，得x<4，
∴函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x<4}；(3)y＝loga(9－x2)；
解 由9－x2>0，得－3∴函数y＝loga(9－x2)的定义域是{x|－3(4)y＝log2(16－4x).
解 由16－4x>0，得4x<16＝42，由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}.反思与感悟 此题主要利用对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)来求解.跟踪训练1 求下列函数的定义域：
(1)y＝log3(1－x)；
解 由1－x>0得x<1，
∴所求函数定义域为{x|x<1}；解 由log2x≠0，得x≠1，又x>0，
∴所求函数定义域为{x|x>0且x≠1}；∴x≥1，∴所求函数定义域为{x|x≥1}.探究点二 对数函数的图象及性质
思考1 你能根据列表法在同一坐标系画出函数y＝log3x及y＝ 的图象吗？答 函数y＝log3x及y＝ 的图象如图所示：思考2 根据思考1中画出的函数y＝log3x及y＝ 的图象的特征，你能抽象出它们的性质吗？
答 两图象都位于y轴右方，都经过点(1,0)，这说明两函数的定义域都是(0，＋∞)，且当x＝1时，y＝0.y＝log3x的图象是上升的曲线，y＝ 的图象是下降的曲线，这说明前者在(0，＋∞)上是增函数，后者在(0，＋∞)上是减函数.思考3 你能根据函数y＝log3x及y＝ 的性质，归纳出函数y＝logax(a＞0且a≠1)的性质吗？
答 函数y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，过定点(1,0)，当a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数，当0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数.例2 求函数y ＝log2|x|的定义域，并画出它的图象.
解 函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}.
函数解析式可化为其图象如图所示(其特征是关于y轴对称).跟踪训练2 画出函数y＝lg |x－1|的图象.
解 (1)先画出函数y＝lg x的图象(如图).(2)再画出函数y＝lg |x|的图象(如图).(3)最后画出函数y＝lg |x－1|的图象(如图).例3 比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5；
解 考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2>1，
所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4解 考察对数函数y＝log0.3x，
因为它的底数0<0.3<1，
所以它在(0，＋∞)上是减函数，
于是 log0.31.8>log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1).
解 当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
于是loga5.1当0于是loga5.1>loga5.9.反思与感悟 比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论.跟踪训练3 设a＝log3π，b＝log2 ，c＝log3 ，则( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.b＞a＞c D.b＞c＞a∴a＞b＞c.A当堂测·查疑缺 12341.给出下列函数：①y＝ ；②y＝log3(x－1)；
③y＝logx＋1x；④y＝logπx.其中是对数函数的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 ①②不是对数函数，因为真数不是只含有自变量x；
③不是对数函数，因为底数不是常数；
④是对数函数.A52.下列不等号连接错误的一组是( )
A.log0.52.2>log0.52.3 B.log34>log65
C.log34>log56 D.logπe>logeπ12345解析 对A，根据y＝log0.5x为单调减函数易知正确.
对B，由log34>log33＝1＝log55>log65可知正确.对D，由π>e>1得，logeπ>1>logπe可知错误.答案 D12345解析 利用对数的真数是正数，偶次方根非负解题.123454.函数y＝loga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是 .
解析 当2x－3＝1，即x＝2时，对任意的a>0，
且a≠1都有y＝loga1＋1＝0＋1＝1，
所以函数图象y＝loga(2x－3)＋1恒过定点(2,1)，
故点P的坐标是(2,1).(2,1)123455.求下列函数的定义域：1234512345(2)y＝log(2x－1)(－4x＋8).∴y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为{x| 0，且a≠1)中，底数a对其图象的影响.无论a取何值，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax(a>1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当01时函数单调递增.2.比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较.3.两个函数图象的对称性(1)(2)课件41张PPT。 第二章 基本初等函数(Ⅰ)§2.2 对数函数
2.2.2 对数函数及其性质（二）明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.进一步掌握对数函数的图象和性质，利用性质解决一些实际问题.
2.了解指数函数与对数函数互为反函数，了解它们的图象关于直线y＝x对称.明目标、知重点填要点·记疑点1.反函数的概念
对数函数y＝logax (a>0且a≠1)和指数函数
互为反函数.
2.互为反函数的图象的关系
指数函数y＝3x的图象与对数函数y＝log3x(x>0)的图象关于直线 对称.y＝ax (a>0且a≠1)y＝x探要点·究所然探究点一 底数大小与函数图象的关系
思考1 观察如图所示函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x图象，你能得出什么结论？答 对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；
对于底数01，b，c都大于0且小于1，由于y＝logbx的图象在(1，＋∞)上比y＝logcx的图象靠近x轴，所以b∴0＞log0.71.1＞log0.71.2.由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.②log1.10.7与log1.20.7.方法二 作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.(2)已知 ＜ ＜ ，比较2b ,2a, 2c的大小关系.解 ∵y＝ 为减函数，且 ＜ ＜ ，∴b＞a＞c.
而y＝2x是增函数，
∴2b＞2a＞2c.反思与感悟 比较对数式的大小方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间值进行比较.跟踪训练1 (1)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )
A.b解析 因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且3.6>2，
所以log23.6>log22＝1，
因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，且3.2<3.6<4，所以log43.2所以log43.2解析 根据题意，作出函数y＝logmx，
y＝lognx的图象如图所示：由图象可知0解 ∵f(x)＝loga(1－ax)，
∴f(1)＝loga(1－a).
∴1－a＞0.∴0＜a＜1.
∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a).∴0＜x＜1.
∴不等式的解集为(0,1).反思与感悟 logaf(x)＝logag(x)(a＞0且a≠1)等价于f(x)＝g(x)，但要注意验根.A.(－1,0)∪(0,1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1,0)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0,1)解析 ①当a＞0时，f(a)＝log2a，f(－a)＝ ，若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )②当a＜0时，f(a)＝ (－a)，f(－a)＝log2(－a)，由①②得－1＜a＜0或a＞1.答案 C探究点二 反函数的概念
思考1 在y＝2x中，x是自变量，y是因变量.若y是自变量，x是因变量，x是y的函数吗？
答 把y＝2x由指数式写成对数式：x＝log2y，对于y∈(0，＋∞)时，通过式子x＝log2y可知，x在R中有唯一确定的值和它对应，因此，可以说若y是自变量，x是因变量，x是y的函数.小结 x＝log2y(y∈(0，＋∞))是函数y＝2x(x∈R)的反函数.x＝log2y习惯写成y＝log2x，所以对数函数y＝log2x(x∈(0，＋∞))是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数.反过来也成立.因此有对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数.思考2 比较函数y＝2x与y＝log2x的图象及函数y＝ x与y＝
的图象，得出两对函数的图象存在怎样的关系？单调性有怎样的关系？
答 函数y＝2x与y＝log2x的图象及函数y＝ x与y＝ 的图象都关于直线y＝x对称.底数相同时，单调性相同.思考3 由思考2中的函数间的图象关系，请你猜测出当a>0，a≠1时，函数y＝ax与y＝logax的图象之间有什么关系？单调性有什么关系？
答 函数y＝ax与y＝logax(a>0，a≠1)的图象关于直线y＝x对称；
单调性相同.例3 函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的反函数的图象经过点(1,4)，求a的值.
解 根据反函数的概念，知函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象经过点(4,1)，
∴1＝loga3，∴a＝3.反思与感悟 若函数y＝f(x)的图象经过点(a，b)，则其反函数的图象经过点(b，a).跟踪训练3 已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ x＋1，则f(x)的反函数的图象大致是( )解析 当x<0时，－x>0，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴当x<0时，f(x)＝－2x－1，f(x)的图象如图.
由函数及其反函数图象之间的关系
可知其反函数的图象应为A.
答案 A探究点三 对数函数在实际生活中的应用
例4 溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pH＝
－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
在(0，＋∞)上，随着[H＋]的增大，即pH减小.
所以随着[H＋]的增大，pH值减小，
即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸碱度就越小.(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.
解 当[H＋]＝10－7时，pH＝－lg 10－7＝7，
所以纯净水的pH是7.反思与感悟 本例中，利用对数函数的单调性及反比例函数的单调性，解释了生活实际中的现象.跟踪训练4 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝ log3 ，单位是m/s，其中Q表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是多少？
解 令Q＝2 700，答 鲑鱼的游速是1.5 m/s.(2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.所以Q＝100.答 一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.当堂测·查疑缺 12341.如果 < <0，那么( )A.yC.1两函数的定义域、值域都相同.D12343.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点( ， )，则a＝ .12344.求函数y＝log2(x2＋2x＋5)的定义域、值域.
解 ∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4对一切实数都恒成立，
∴函数定义域为R.
从而log2(x2＋2x＋5)≥log24＝2，
即函数值域为[2，＋∞).呈重点、现规律1.函数y＝logmx与y＝lognx中m、n的大小与图象的位置关系.当0当00，且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y＝ax的图象过(0,1)点，故对数函数y＝logax的图象必过(1,0)点.课件38张PPT。 第二章 基本初等函数(Ⅰ)§2.3 幂函数明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.通过具体实例了解幂函数的概念.
2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝ 的图象，并通过其图象了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.明目标、知重点填要点·记疑点1.幂函数的概念
一般地， 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.函数y＝xα2.幂函数的图象与性质
由幂函数y＝x、y＝ 、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：
(1)幂函数在 上都有定义；
(2)幂函数的图象都过点 ；
(3)当α>0时，幂函数图象都过点 与 ，且在(0，＋∞)上单调 ；
(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上单调 .(0，＋∞)(1,1)(0,0)(1,1)递增递减探要点·究所然情境导学
我们知道对于N＝ab，N随b的变化而变化，我们建立了指数函数y＝ax；如果a一定，b随N的变化而变化，我们建立了对数函数y＝logax.设想：如果b一定，N随a的变化而变化，是不是也应该可以确定一个函数呢？本节我们就来探讨这个问题.探究点一 幂函数的概念问题 (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V＝a3，这里V是a的函数；(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝ ，这里a是S的函数；
(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝t－1 km/s，这里v是t的函数.思考1 上述5个问题中函数的对应关系分别是什么？
答 (1)乘以1；(2)求平方；(3)求立方；(4)求算术平方根；(5)求－1次方.
思考2 上述5个问题中的函数有什么共同特征？
答 问题中涉及到的函数，都是形如：y＝xα的函数，其中x是自变量，α是常数.小结 幂函数定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.思考3 判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？
答 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为一常数这三个条件，才是幂函数.如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝ 4都不是幂函数.例1 在函数y＝ ，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1), 所以常函数y＝1不是幂函数.B反思与感悟 只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子，才是幂函数，否则就不是.跟踪训练1 已知y＝(m2＋2m－2)xm2-1＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值.探究点二 幂函数的图象和性质
问题 如图在同一坐标系内作出函数
(1)y＝x ；(2)y＝x；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象，思考下列问题：思考1 你能从这五个具体的函数图象中，发现什么规律？
答 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)；
(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；
(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.思考2 仔细观察你画出的五个函数的图象，你能填写表格的内容吗？答证明 任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1证明 设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x10，上式中两等号不能同时取得(否则x1＝x2＝0与x10，即f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数.例3 比较大小：
， ；
解 ∵y＝ 在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，
∴ < ；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；
解 ∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25，
∴(－1.2)3>(－1.25)3；(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.
解 ∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，
∴5.25－1>5.26－1；
∵y＝5.26x是增函数，－1>－2，
∴5.26－1>5.26－2.
综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.反思与感悟 比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点，指数相同底数不同时，要利用幂函数的单调性比较，底数相同而指数不同时，要利用指数函数的单调性比较，指数与底数都不同时，要通过增加一个数起桥梁作用时进行比较.跟踪训练3 比较下列各组数的大小：
(1) 和 ；解 ＝ ，函数y＝ 在(0，＋∞)上为增函数，从而 <－ .(2)(－2)－3和(－2.5)－3；
解 幂函数y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，
又∵－2>－2.5，
∴(－2)－3<(－2.5)－3.(3)(1.1)－0.1和(1.2)－0.1；
解 幂函数y＝x－0.1在(0，＋∞)上为减函数，
又∵1.1<1.2，∴1.1－0.1>1.2－0.1.(4) ， 和 .解 > ＝1；0< < ＝1； <0，∴ < < .当堂测·查疑缺 12341.下列函数中不是幂函数的是( )
A.y＝ B.y＝x3
C.y＝2x D.y＝x－1
解析 根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C不是幂函数.C12342.已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点 ，则f(4)的值等于( )D12343.设α∈ ，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为( )
A.1,3 B.－1,1 C.－1,3 D.－1,1,3
解析 y＝x－1的定义域为x≠0，y＝ 的定义域为x＞0，
只有y＝x，y＝x3的定义域为R.A12344.当α∈{－1， ，1,3}时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第 象限.
解析 幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象分布在第一、三象限，所以幂函数y＝xα(α∈{－1， ，1,3})的图象不可能经过第二、四象限.二、四呈重点、现规律1.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.
2.比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系.3.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸.课件30张PPT。 第二章 基本初等函数(Ⅰ)章末复习课内容
索引0102理网络
明结构探题型
提能力0304理网络·明结构1.指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.探题型·提能力题型一 指数、对数的运算2.对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).例1 (1)化简： 解 原式＝ ＝log39－9＝2－9＝－7.解析 ∵log32×log2(log327)＝log32×log23∴原式＝ ＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111. 111题型二 数的大小比较
数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.∵y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数，(2)log20.4，log30.4，log40.4.
解 ∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.44又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，即log20.4(1)27,82；
解 ∵82＝(23)2＝26，
由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27即82<27.(2)log0.22，log0.049；又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，
∴log0.22>log0.23，
即log0.22>log0.049.(3)a1.2，a1.3；
解 ∵函数y＝ax(a>0且a≠1)，当底数a大于1时在R上是增函数；
当底数a小于1时在R上是减函数，
而1.2<1.3，故当a>1时，
有a1.2当0a1.3.(4)0.213,0.233.
解 ∵y＝x3在R上是增函数，
且0.21<0.23，∴0.213<0.233.题型三 复合函数的单调性1.一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，如果t＝g(x)在(a，b)上是单调函数，并且y＝f(t)在(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么y＝f(g(x))在(a，b)上也是单调函数.
2.对于函数y＝f(t)，t＝g(x).
若两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，即“同增异减”，但一定要注意考虑复合函数的定义域.例3 已知a>0，且a≠1，试讨论函数f(x)＝ 的
单调性.
解 设u＝x2＋6x＋17＝(x＋3)2＋8，
则当x≤－3时，其为减函数，
当x>－3时，其为增函数，
又当a>1时，y＝au是增函数，
当01时，原函数f(x)＝ 在(－∞，－3]上是减函数，在(－3，＋∞)上是增函数.
当0解 由3x2－2x－1>0得函数的定义域为令u＝3x2－2x－1，则y＝log0.2u.
∵y＝log0.2u在(0，＋∞)上是减函数，而u＝3x2－2x－1在(－∞，－ )上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，题型四 幂、指数、对数函数的综合应用
指数函数与对数函数性质的对比：
指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系.
(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系.a变化时，函数的图象和性质也随之变化.(2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象恒过定点(1,0).
(3)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)具有相同的单调性.
(4)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)互为反函数，两函数图象关于直线y＝x对称.例4 已知函数f(x)＝lg 在x∈(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围.所以1＋2x＋a·4x>0在(－∞，1]上恒成立.可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，跟踪训练4 已知函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x).
(1)判断函数的奇偶性；得－1又f(－x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数.(2)若f(x)＝lg g(x)，判断函数g(x)在(0,1)上的单调性并用定义证明.
解 g(x)在(0,1)上单调递减.
证明如下：
∵f(x)＝lg(1－x2)＝lg g(x)，∴g(x)＝1－x2，
任取0∵0∴x1＋x2>0，x2－x1>0，
∴g(x1)－g(x2)>0，
∴g(x)在(0,1)上单调递减.呈重点、现规律1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题.
2.从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查.