课件39张PPT。 第三章 函数的应用§3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 04明目标、知重点1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系.
2.掌握函数零点存在性判定定理.
3.能结合图象求解零点问题.填要点·记疑点1.函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的 .
2.方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0 ?函数y＝f(x)的图象 ?函数y＝f(x) .f(x)＝0零点有实数根与x轴有交点有零点3.函数零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内 ，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根.连续不断f(a)·f(b)<0有零点f(c)＝0探要点·究所然情境导学
下图是某地气象局测得当地一天的一个气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他做出正确判断吗？探究点一 函数零点的定义思考1 考察下列一元二次方程与对应的二次函数：
(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；
(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1;
(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.
请列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标.答思考2 从你所列的表中你能得出什么结论？
答 方程根的个数与对应函数与x轴交点的个数相同，方程的根是函数与x轴交点的横坐标.思考3 我们把使函数f(x)＝x2－2x－3的值等于零的实数－1,3叫做函数f(x)＝x2－2x－3的零点.那么请你给函数y＝f(x)的零点下个定义.
答 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.思考4 函数y＝f(x)的零点、f(x)＝0的根及y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标有什么关系？
答 函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?方程f(x)＝0有实数根.思考5 请说出函数①y＝lg x；②y＝lg(x＋1); ③y＝2x；④y＝2x－2的零点.
答 ①y＝lg x的零点是1；
②y＝lg(x＋1)的零点是0；
③y＝2x没有零点；
④y＝2x－2的零点是1.例1 已知函数y＝ax2＋bx＋c，若ac＜0，则函数f(x)的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.不确定
解析 因ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，
所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，
即函数f(x)的零点个数为2.C反思与感悟 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.跟踪训练1 若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )答案 A探究点二 函数零点存在性定理
思考1 观察二次函数f(x)＝x2－2x－3
的图象，发现这个二次函数在区间
[－2,1]上有零点－1，而f(－2)＞0，
f(1)＜0，即f(－2)·f(1)＜0.二次函数
在区间[2,4]上有零点3，而f(2)＜0，f(4)＞0，即f(2)·f(4)＜0.
由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？答 函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.思考2 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是间断的，上述定理成立吗？
答 不一定成立，由下图可知.思考3 反过来，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？
答 不一定成立，由下图可知.思考4 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，满足了上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗？ 还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？
答 函数零点不一定唯一，由下图可知，还需添加函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调.小结 函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但不一定有f(a)·f(b)<0.即零点存在性定理不可逆.例2 求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数.
解 用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图象如下：由上表和图象可知f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点.由于函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.反思与感悟 本题不用计算列表、画图象也可得到结论：
方法一 寻找函数值符号的变化规律，如f(2)，f(3)的符号，由f(2)＝ln 2－2＝ln 2－ln e2<0，f(3)＝ln 3＋0>0，所以f(2)·f(3)<0.
方法二 通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论.也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图象交点的个数.跟踪训练2 根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )A.(－1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)解析 令f(x)＝ex－(x＋2)，
则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.
由于f(1)·f(2)<0，
∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.
答案 C例3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数.
解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点.
又显然f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数.
故f(x)有且只有一个零点.方法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg (x＋1)的草图.由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点.反思与感悟 判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.
(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数.跟踪训练3 已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x ＋ 8|＝a的实数解的个数.
解 令f(x)＝|x2－6x ＋ 8|，g(x)＝a，
在同一坐标系中画出f(x)的图象，如图所示，
f(x)＝|(x－3)2－1|，
下面对a进行分类讨论，由图象得，
当a＜0时，原方程无实数解；当a＝1时，原方程实数解的个数为3；
当0＜a＜1时，原方程实数解的个数为4；
当a＞1或a ＝ 0时，原方程实数解的个数为2.当堂测·查疑缺 12341.若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A.(－1,1)
B.(－2,2)
C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 Δ＝m2－4>0，m>2或m<－2，应选C.C12342.若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点( )
A.至少有一个 B.至多有一个
C.有且只有一个 D.可能有无数个
解析 由于函数y＝f(x)在R上递增，
所以函数的图象最多与x轴有一个交点，
即函数y＝f(x)的零点至多有一个.B112343.函数f(x)＝x＋ 的零点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
当x>0时，f(x)>0；
当x<0时，f(x)<0，
所以函数没有零点，故选A.A12344.函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A.(－2，－1) B.(－1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
解析 ∵f(x)＝ex＋x－2，f(0)＝e0－2＝－1<0，
f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，
∴f(x)在区间(0,1)上存在零点.
另经验证，可知A、B、D均不满足题意，故选C.C呈重点、现规律1.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.
3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象.4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.课件35张PPT。 第三章 函数的应用§3.1 函数与方程
3.1.2 用二分法求方程的近似解明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法.
2.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点近似值.从而求得方程的近似解.明目标、知重点填要点·记疑点1.二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 .f(a)·f(b)<0一分为二逐步逼近零点方程的近似解2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，验证 ，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点 ；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则 ；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈ )；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈ ).f(a)·f(b)<0c就是函数的零点c(a，c)(c，b)(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).探要点·究所然情境导学
一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式求根，如何求得方程的根？探究点一 二分法的概念思考1 上节课，我们已经知道f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？
答 ①取区间(2,3)的中点2.5.
②计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内.思考2 如何进一步的缩小零点所在的区间？
答 再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5,2.75)内.这样一来，零点所在的范围越来越小了.思考3 若给定精确度0.3，如何选取近似值？
答 当精确度为0.3时，由于|2.75－2.5| ＝ 0.25＜0.3，所以可以将x＝2.5作为函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点近似值，当然区间[2.5,2.75]内的任意一个值都是函数零点的近似值，常取区间的端点作为零点的近似值.小结 二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.探究点二 二分法求函数零点近似值的步骤
思考1 对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？答 不能.因为不存在一个区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0.思考2 通过对函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点近似值的探索过程，你能总结用二分法求一般函数f(x)零点近似值的步骤吗？
答 用二分法求函数零点近似值的基本步骤：
1.确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
2.求区间(a，b)的中点c；
3.计算f(c)：
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；4.判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.例1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解.(精确度0.1)
解 原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，
用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图象如下：观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，
说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1＝1.5，
用计算器算得f(1.5)≈0.33.
因为f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5).再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5).同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.437 5).
由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5＜0.1，
所以，原方程的近似解可取为1.437 5.反思与感悟 用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.跟踪训练1 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点.(精确度0.01)
解 经试算f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.
取(1,1.5)的中点x1＝1.25，
经计算f(1.25)<0，
因为f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5).如果继续下去，如下表：因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，
所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125.探究点三 用二分法求方程的近似解
思考 如何把求方程的近似解化归为求函数的零点？
答 对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求解.例2 求方程x2＝2x＋1的一个近似解.(精确度0.1)
解 设f(x)＝x2－2x－1.
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有根，记为x0.
取2与3的中点2.5，
∵f(2.5)＝0.25>0，∴2再取2与2.5的中点2.25，
∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25如此继续下去，有
f(2.375)<0，f(2.5)>0?x0∈(2.375,2.5)；
f(2.375)<0，f(2.437 5)>0?x0∈(2.375,2.437 5)，
∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，
∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.反思与感悟 “二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.跟踪训练2 借助计算器或计算机，用二分法求方程x＝3－lg x在区间(2,3)内的近似解.(精确度0.1)
解 原方程即x＋lg x－3＝0，令f(x)＝x＋lg x－3，用计算器可算得f(2)≈－0.70，f(3)≈0.48，
于是f(2)·f(3)＜0，所以，这个方程在区间(2,3)内有一个解.
下面用二分法求方程x＝3－lg x在区间(2,3)内的近似解.
取区间(2,3)的中点x1＝2.5，
用计算器可算得f(2.5)≈－0.10.因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0∈(2.5,3).
再取区间(2.5,3)的中点x2＝ 2.75，
用计算器可算得f(2.75)≈0.19.
因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以x0∈(2.5,2.75).
同理可得x0∈(2.5,2.625)，x0∈(2.562 5,2.625).
由于|2.625－2.562 5|＝0.062 5＜0.1，所以原方程的近似解可取为2.562 5.当堂测·查疑缺 12341.下面关于二分法的叙述，正确的是( )
A.用二分法可求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的
任一位
C.二分法无规律可循
D.只有在求函数零点时才用二分法1234解析 只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；
二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；
求方程的近似解也可以用二分法，故D错.
答案 B112342.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )11234解析 由图象可知A中零点左侧与右侧的函数符号不同，故可用二分法求零点.
答案 A12343.设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能确定
解析 ∵f(1.5)·f(1.25)＜0，
∴方程的根落在区间(1.25,1.5)内.B12344.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为________.(精确度0.1)1234解析 因f(1.375)·f(1.437 5)<0，
且由表知|1.437 5－1.375|＝0.062 5<0.1，
所以方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.437 5.
答案 1.437 5(不唯一)呈重点、现规律1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号.
3.求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.课件40张PPT。 第三章 函数的应用§3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.
2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.明目标、知重点填要点·记疑点1.三种函数模型的性质增函数增函数增函数陡稳定2.三种函数模型的增长速度比较
(1)对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长 xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有 .
(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长 xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有 .快于慢于ax>xnlogax澳大利亚兔子数“爆炸”：在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量在不到100年内达到75亿只，喂养牛羊的牧草几乎被兔子们吃光，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量的增长为对数增长.我们生活中很多事例都蕴涵着不同的函数模型，本节我们就来学习这些内容.探究点一 建立函数模型解决实际问题问题 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？思考1 设第x天所得的回报为y元，那么上述三种投资方案对应的函数模型分别是什么？
答 方案一对应的函数为y＝40(x∈N*)；
方案二对应的函数为y＝10x(x∈N*)；
方案三对应的函数为y＝0.4×2x－1(x∈N*).思考2 上述三个函数分别是什么类型的函数？其单调性如何？
答 函数y＝40(x∈N*)是常数函数，是不增不减函数；
函数y＝10x(x∈N*)是一次函数，是增函数；
函数y＝0.4×2x－1(x∈N*)是指数型函数，是增函数.思考3 这三个方案的回报如下表，分析这些数据，你能得出在不同阶段每天的回报量哪个方案最多？答 从每天的回报量来看：第1～3天方案一最多；
第4天方案一和方案二一样多，方案三最少；
第5～8天方案二最多；
第9天以后方案三最多.思考4 这三个函数模型的图象如下图所示，你能从中分析出它们的增长在速度上的差异吗？答 方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数是增函数，方案二的函数的增长量固定不变，方案三的增长是加速的，比方案二快的多.思考5 这三个方案前11天的累计回报数如下表，分析这些数据，你如何根据投资天数选择投资方案？答 投资1～6天，应选择第一种投资方案；
投资7天，应选择第一或第二种投资方案；
投资8～10天，应选择第二种投资方案；
投资11天(含11天)以上，应选择第三种投资方案. 探究点二 需选择函数模型的实际问题
问题 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？思考1 根据问题要求，奖金数y应满足哪几个不等式？
答 问题有两个要求，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，所以y≤5且y≤0.25x.思考2 销售人员获得奖励，其销售利润x(单位： 万元)的取值范围大致如何？
答 由题意知x的取值范围是：[10,1 000].思考3 确定三个奖励模型中哪个能符合公司的要求，其本质是解决一个什么数学问题？
答 判断这三个函数模型哪一个的函数值y符合y≤5且y≤0.25x.思考4 下面画出了三个奖励模型的函数图象，观察图象说出模型y＝0.25x符合要求吗？为什么？ 答 不符合要求，当x＝20时，y＝5，因此，当x>20时，y>5，所以不符合.思考5 观察思考4中的图象说出模型y＝1.002x符合要求吗？为什么？
答 对于模型y＝1.002x，由函数图象知，当x的取值在800附近，y值为5，由于函数是增函数，所以y值越过了5，不符合要求.思考6 对于函数y＝log7x＋1，当x∈[10,1 000]时，y的最大值小于5吗？
答 由于x>0时，函数y＝log7x＋1是增函数，
所以y≤log71 000＋1答 按y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，令f(x)＝log7x ＋1－0.25x，x∈[10,1 000] .
利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象如下图，由图象可知它是递减的，
因此f(x)≤f(10)≈－0.316 7<0即log7x＋1＜0.25x.说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25%.思考8 根据以上的7个问题和分析，你能判断哪个奖励模型符合公司要求？如果某人的销售利润是343万元，则所获奖金为多少？
答 通过思考1～思考7的分析可知只有奖励模型y＝log7x＋1符合y≤5且y≤0.25x的要求，所以模型y＝log7x＋1符合公司的要求.如果某人的销售利润是343万元，则所获奖金数为(log7343＋1)万元.探究点三 幂函数、指数函数、对数函数增长的差异
问题 对数函数y＝logax(a>1)，指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，哪个函数的增长速度最快？思考1 下面给出了函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的自变量与函数值的对应值表，你能从表中的数据判断出不等式log2x4时，2x>x2.思考3 阅读教材中有关本例的三个函数的图象，即图3.2－4，图3.2－5，图3.2－6，你对y＝logax(a>1)，y＝ax(a>1)与y＝xn(n>0)的增长差异有什么认识？
答 1.一般地，对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.2.一般地，对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logaxA.75 B.100 C.150 D.2001234解析 由表中数据观察可得细菌数y与时间x的关系式为y＝300·2x(x∈Z).答案 A112342.某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为( )
A.8 ℃ B.78 ℃ C.112 ℃ D.18 ℃
解析 由题意，得下午3时，t＝3，
∴T(3)＝78(℃).B112343.某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是__________________.
解析 已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和为y＝a(1＋r)3，
……
x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*.y＝a(1＋r)x，x∈N*12344.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系式为：y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年这种动物发展到________只.
解析 把x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得：a＝100，
故函数关系式为y＝100log2(x＋1)，
∴当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
所以到第7年这种动物发展到300只.300呈重点、现规律1.几种常见函数的增长情况2.在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)、y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，logax＜xn＜ax.课件36张PPT。 第三章 函数的应用§3.2 函数模型及其应用
3.2.2 函数模型的应用实例明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.能根据数据的特点，建立函数模型解决实际问题.
2.通过函数知识的应用，复习巩固已学过的基本初等函数的知识.
3.通过实例了解函数模型的广泛应用.进一步巩固函数的应用问题，进一步熟悉用函数解题的步骤和方法.明目标、知重点填要点·记疑点1.几类函数模型ax＋b(a、b为常数，a≠0)ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)axn＋b(a，b为常数，a≠0)2.面临实际问题，自己建立函数模型的步骤
(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验；(6)用函数模型解释实际问题.探要点·究所然情境导学
我们已经学过一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等等，它们在实际生活中有着广泛的应用.今天我们尝试一下，怎样从实际问题入手，运用已学过的函数知识来解决一个实际问题.探究点一 一次、二次函数模型的应用例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程.因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t，
所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t(0≤t≤ ).
2 h内火车行驶的路程S＝13＋120× ＝233 (km).反思与感悟 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解.跟踪训练1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝ －48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解 设可获得总利润为R(x)万元，∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴x＝210时，∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.探究点二 分段函数模型的应用
例2 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
解 阴影部分的面积为
50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.这个函数的图象如图所示.反思与感悟 (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值；
(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏.跟踪训练2 某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如下图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？解 根据题意，每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的函数关系是：①当0≤x≤400时，由3.75x＝750，得x＝200.
②当400得x＝－ 200(舍去).综合①和②，盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张.
答 当天售出的门票数为200张时，盈利额为750元.探究点三 指数型函数模型的应用
例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国人口学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国的人口数据资料：(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； 解 设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55 196(1＋ r1) ＝ 56 300，可得1951年的人口增长率r1≈0.020 0.同理可得，r2≈0.021 0，r3≈0.022 9，r4≈0.025 0，r5≈0.019 7，r6≈0.022 3，r7≈0.027 6，r8≈0.022 2，r9≈0.018 4.于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.022 1.令y0＝55 196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55 196e0.022 1t，t∈N.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y＝55 196e0.022 1t(t∈N)的图象.由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.(2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
解 将y＝130 000代入y＝55 196e0.022 1t，
由计算器可得t≈38.76.
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.反思与感悟 (1)已给出函数模型的实际应用题时，关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答.
(2)判断所得到的数学模型是否拟合，必须使所有数据基本接近数学模型，对于一般的应用问题，不会让数学模型完全符合，只是基本符合，对此，无最优解，只有满意解.跟踪训练3 已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.
(1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？
解 已知人口模型为y＝y0ert，其中y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年增长率.
若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有y＝5e0.003t.当y＝10时，解得t≈231.所以，1881年世界人口约为1650年的2倍.同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2倍.(2)实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
解 由此看出，此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况.当堂测·查疑缺 12341.某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次.若当天普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为( )
A.y＝0.2x(0≤x≤4 000)
B.y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C.y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
D.y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)1234解析 由题意得：y＝0.2x＋0.3(4 000－x)
＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000).
答案 C112342.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为( )
A.x＝15，y＝12 B.x＝12，y＝15
C.x＝14，y＝10 D.x＝10，y＝141234∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.答案 A12343.现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用___作为函数模型.
解析 将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8.
由于10更接近10.2，所以选用甲模型.甲12344.已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少 ，则面积最大.此时x＝________，面积S＝________.1课件24张PPT。 第三章 函数的应用章末复习课内容
索引0102理网络
明结构探题型
提能力0304理网络·明结构1.函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
2.确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.探题型·提能力题型一 函数的零点与方程的根的关系及应用例1 设g(x)＝e2x＋|ex－a|，x∈[0，ln 3]，其中a≤2 ，
(1)当a＝1时，函数g(x)是否存在零点，若存在，求出所有零点；若不存在，说明理由.
解 当a＝1时，设t＝ex(显然t∈[1,3])，
则h(t)＝t2＋t－1，
令h(t)＝t2＋t－1＝0，∴函数g(x)不存在零点.(2)求函数g(x)的最小值.
解 设t＝ex，则h(t)＝t2＋|t－a|(显然t∈[1,3]).
当a≤1时，h(t)＝t2＋t－a在区间[1,3]上是增函数，
所以h(x)的最小值为h(1)＝2－a.因为函数h(t)在区间(a,3]上是增函数，
在区间[1，a]上也是增函数，又函数h(t)在[1,3]上为连续函数，
所以函数h(t)在[1,3]上为增函数，
所以h(t)的最小值为h(1)＝a.
综上可得：当a≤1时，g(x)的最小值为2－a；跟踪训练1 若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数f(x)可以是( )
A.f(x)＝4x－1 B.f(x)＝(x－1)2
C.f(x)＝ex－1 D.f(x)＝ln(x－1)f(x)＝(x－1)2的零点为1，
f(x)＝ex－1的零点为0，f(x)＝ln(x－1)的零点为2，答案 A题型二 用二分法求函数的零点或方程的近似解
1.看清题目的精确度，它决定着二分法的结束.
2.根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间.
3.初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大.
4.取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，an与bn按精确度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解.令f(x)＝x3－2.由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，可以把初始区间定为[1,2]，用二分法逐次计算，列表如下：由于1.265 625－1.257 812 5＝0.007 812 5<0.01，
故区间[1.257 812 5,1.265 625]上的任一值可看做函数f(x)的零点的近似值.跟踪训练2 某方程在区间[0,1]内有一无理根，若用二分法求此根的近似值要使所得近似值的精确度达到0.1，则将区间(0,1)分( )
A.2次 B.3次 C.4次 D.5次
解析 等分1次，区间长度为0.5；等分两次，区间长度为0.25；…；
等分4次，区间长度为0.062 5<0.1，符合题意.C题型三 函数模型及应用例3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的函数关系为R＝kr4(k>0，k是常数).
(1)假设气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量速率R的表达式；
解 由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数).
由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，(2)已知(1)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率.即气体通过管道半径为5 cm时，该气体的流量速率约为3 086 cm3/s.跟踪训练3 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝ t－a(a为常数)，如图，根据图中所提供的信息，回答下列问题：解析 由题意和图示知，当0≤t≤0.1时，
可设y＝kt(k为待定系数)，
由于点(0.1,1)在直线上，∴k＝10；
同理，当t>0.1时，(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小
时)之间的函数关系式为_____________________.(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室.
解析 由题意可得 <0.25，得t>0.6，
即至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室.0.6呈重点、现规律1.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用根的存在性定理，可用来求参数的取值范围.
2.函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.3.函数建模的基本过程如图
