课件35张PPT。§1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.通过实例理解集合的有关概念.
2.初步理解集合中元素的三个特性.
3.体会元素与集合的属于关系.
4.了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象.明目标、知重点填要点·记疑点1.元素与集合的概念
(1)把 统称为元素，通常用 表示.
(2)把 叫做集合(简称为集)，通常用 表示.研究对象小写拉丁字母a，b，c，…一些元素组成的总体大写拉丁字母A，B，C，…2.集合中元素的特性： 、 、 .
3.集合相等
只要构成两个集合的元素是 的，就称这两个集合是相等的.
4.元素与集合的关系
有两种，分别为 、 ，数学符号分别为 、 .确定性互异性无序性一样属于不属于∈?5.常用数集及表示符号NN*或N＋ZQR探要点·究所然情境导学
军训前学校通知：今天上午八点高一年级在体育场集合进行军训动员.那么这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生呢？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合.探究点一 集合概念的形成过程思考1 数学中的“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？
答 与我们日常生活中“全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”等意义相近.思考2 阅读教材第2页中的例子，请你从具体的实例中抽象出集合及元素的概念.
答 一般地，我们把研究的对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.探究点二 集合元素的特征
思考1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？
答 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准，高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定.元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.思考2 集合中的元素不能相同，这就是元素的互异性，如何理解这一性质？
答 一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不能重复出现的.思考3 “中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？
答 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性，只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的.例1 考察下列每组对象能否构成一个集合.
(1)不超过20的非负数；
解 对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
解 也能构成集合；(3)某校2014年在校的所有高个子同学；
解 “高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
的近似值的全体.
解 “ 的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.反思与感悟 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.跟踪训练1 (1)下列给出的对象中，能构成集合的是( )
A.著名数学家 B.很大的数
C.聪明的人 D.小于3的实数
解析 只有选项D有明确的标准，能组成一个集合.D(2)下列各组对象可以组成集合的是( )
A.数学必修1课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数解析 A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；
B能构成集合；
C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；
D中没有明确的标准，所以不能构成集合.
答案 B探究点三 元素与集合的关系
思考 集合与元素之间的关系有几种？如何表示？
答 有两种：属于与不属于.如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A，读作“a不属于A”.例2 已知－3∈A，A中含有的元素有a－3,2a－1，a2＋1，求a的值.
解 由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；
当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求.
∴a＝0或－1.反思与感悟 由元素的确定性知：－3∈A，则必有一个式子的值为－3，以此展开讨论，便可求得a.求出的a值代入A的元素后，不能出现相同的元素，否则这样的a不符合元素的互异性，应舍去.跟踪训练2 集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为( )
A.0 B.1 C.－1 D.1或－1
解析 当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，
故x＝－1.C探究点四 常用的数集及表示
思考 常用的数集有哪些？如何表示？
答 非负整数集(或自然数集)，记作N；
正整数集，记作N*或N＋；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；实数集，记作R.例3 下面有四个命题，正确命题的个数为( )
①集合N中最小的数是1；
②若－a不属于N，则a属于N；
③若a∈N，b∈N*，则a＋b的最小值为2；
④x2＋1＝2x的解可表示为{1,1}.
A.0 B.1 C.2 D.3解析 ①最小的数应该是0，②反例：－0.5 N，且0.5
N，③当a＝0，b＝1时，a＋b＝1，由元素的互异性知④错.
答案 A反思与感悟 集合可以用大写的字母表示，但自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集用专用字母表示，一定要牢记，以防混淆.跟踪训练3 用符号“∈”或“ ”填空.
(1)－3________N；(2)3.14________Q；(3) ______Q；
(4)1________N*；(5)π________R.∈∈∈当堂测·查疑缺 12341.下列所给关系正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ∵π是实数， 是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.B52.下列各条件中能构成集合的是( )
A.世界著名科学家
B.在数轴上与原点非常近的点
C.所有等腰三角形
D.全班成绩好的同学12345解析 在选项A、B、D中，由于都没有确定的标准，
因此不能构成集合.
答案 C123453.一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素.
解析 由集合元素的互异性知：集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素.10123454.方程x2－4x＋4＝0的解集中，有________个元素.
解析 易知方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集只有1个元素.1123455.已知由1，x，x2三个实数构成一个集合，求x应满足的条件.所以x∈R且x≠±1，x≠0.12345呈重点、现规律1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.
2.集合中元素的三个特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.课件36张PPT。§1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
第2课时 集合的表示明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法).
2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.明目标、知重点填要点·记疑点1.列举法
把集合的元素 出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
2.描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为 .一一列举描述法3.列举法与描述法的适用条件
列举法常用于集合中的元素 时的集合表示，描述法多用于集合中的元素有 或元素个数较多的有限集.较少无限多个的无限集探要点·究所然情境导学
上节课我们学习了用大写字母表示常用的几个数集，但是这不能体现出集合中的具体元素是什么，并且还有大量的非常用集合不能用大写字母表示，事实上表示一个集合关键是确定它包含哪些元素，为此，我们有必要学习集合的表示方法还有哪些？分别适用于什么情况？探究点一 列举法表示集合思考1 在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的？如表示下列数中的正数4.8，－3， ， 、
－0.5， ，73，3.1构成的集合.答 方法一注 在思考1中，方法一为图示法，方法二为列举法.思考2 列举法是如何定义的？什么类型的集合适合用列举法表示？
答 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.当集合中的元素较少时，用列举法表示方便.例：x2－3x＋2＝0的解集可表示为{1,2}.思考3 book中的字母的集合能否表示为：{b，o，o，k}?
答 不能，由集合元素的互异性知，可表示为{b，o，k}.例1 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
解 设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
解 设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.(3)由1～20以内的所有质数组成的集合.
解 设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.反思与感悟 (1)花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的.
(2)列举法表示的集合的种类
①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；
②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；
③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}.跟踪训练1 用列举法表示下列集合.
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
解 满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}.解 ∵a≠0，b≠0，
∴a与b可能同号也可能异号，故故所有的值组成的集合为{－2,0,2}.探究点二 描述法表示集合
思考1 用列举法能表示不等式x－7<3的解集吗？为什么？
答 不能.由不等式x－7＜3，得x＜10，由于比10小的数有无数个，用列举法是列举不完的，所以不能用列举法.思考2 不等式x－7＜3的解集我们可以用集合所含元素的共同特征来表示，那么不等式x－7＜3的解集中所含元素的共同特征是什么？
答 元素的共同特征为x∈R，且x－7＜3，即x＜10.思考3 用集合元素的共同特征来表示集合就是描述法，请用描述法表示思考2中集合.什么类型的集合适合用描述法表示？
答 {x|x<10，x∈R}.描述法多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
解 设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，
因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}.(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解 设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10
因此，用描述法表示为
B＝{x∈Z|10大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，
因此，用列举法表示为B＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}.反思与感悟 集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合.跟踪训练2 用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
解 方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，
解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}.(2)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合.
解 “二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}.例3 用适当的方法表示下列集合：
(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；
解 列举法：{0,2,4}；
或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}.
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
解 列举法：{(0,0)，(2,0)}.
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合.
解 描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}.反思与感悟 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.跟踪训练3 若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝__________________.
解析 由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，
所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，
所以B＝{2 000,2 001,2 004}.{2 000,2 001,2 004}当堂测·查疑缺 1234C.{1,2} D.{(1,2)}1234解析 方程组的集合中最多含有一个元素，
且元素是一个有序实数对，故C不符合.
答案 C12342.已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A.3 B.6 C.8 D.10
解析 ∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，
∴x＝2，y＝1；
x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.
∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，
∴B中所含元素的个数为10.
答案 D123412343.已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3 C.5 D.9C1234解 由题意可知6－x是8的正约数，当6－x＝1时，x＝5；
当6－x＝2时，x＝4；
当6－x＝4时，x＝2；
当6－x＝8时，x＝－2；
而x∈N，∴x＝2,4,5，即A＝{2,4,5}.呈重点、现规律1.在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示.2.在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？
(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.谢谢观看课件38张PPT。§1.1 集合
1.1.2 集合间的基本关系明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解子集、真子集的概念.
2.了解集合之间的包含、相等关系的含义.
3.能利用Venn图表达集合间的关系.
4.了解空集的含义.明目标、知重点填要点·记疑点1.子集的概念
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作 (或 )，读作“
”(或“ ”).任意一个A?BB?AA含于BB包含A2.Venn图
用平面上 曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.
3.集合相等与真子集的概念
(1)集合相等：如果 ，就说集合A与B相等；
(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素 ，称集合A是集合B的真子集，记作：A?B(或B?A)，读作：A真包含于B(或B真包含A).封闭A?B且B?Ax∈B，且x?A4.空集
(1)定义： 的集合叫做空集.
(2)用符号表示为 .
(3)规定：空集是任何集合的 .
5.子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即 .
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么 .不含任何元素?子集A?AA?C探要点·究所然情境导学
已知任意两个实数a，b，则它们的大小关系可能是a＜b或a＝b或a＞b，那么对任意的两个集合A，B，它们之间有什么关系？今天我们就来研究这个问题.探究点一 集合与集合之间的关系思考1 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？
(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；
(2)设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合；
(3)A＝N，B＝R；
(4)A＝{x|x为中国人}，B＝{x|x为亚洲人}.答 (1)、(2)、(3)、(4)中，集合A中任何一个元素都是集合B中的元素.思考2 如何运用数学语言准确表达思考1中两个集合的关系呢？
答 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.记作：A?B(或B?A)，读作：A含于B(或B包含A).思考3 集合A，B的关系能不能用图直观形象的表示出来呢？
答 能.在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.小结 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系A?B(或B?A)，如下图所示.例1 观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？
(1)A＝{x|x>3}，B＝{x|3x－6>0}；
(2)A＝{正方形}，B＝{四边形}；
(3)A＝{育才中学高一(11)班的学生}，B＝{育才中学高一年级的学生}.
解 通过观察就会发现，这三组集合中，集合A都是集合B的一部分，从而有A?B.反思与感悟 在判断两个集合的关系时，对于用描述法表示的集合，一般要变成用列举法来表示，使集合中的元素特征清晰地呈现出来，便于讨论集合间的包含关系.跟踪训练1 已知集合P＝{x|x＝|x|，x∈N且x<2}，
Q＝{x∈Z|－2解 ∵x＝|x|，∴x≥0.
∵x∈N且x<2，∴集合P＝{0,1}.
又∵x∈Z且－2∴集合Q＝{－1,0,1}.
由子集的定义可知，P?Q.探究点二 两集合相等的含义
思考1 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？
(1)设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；
(2)C＝{2,4,6}，D＝{6,4,2}.
答 (1)、(2)中集合C、D的元素相同，即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素，同时，集合D中任何一个元素也都是集合C中的元素.思考2 与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，在集合中，你能得出什么结论？并说明两集合相等的含义.
答 若A?B，且B?A，则A＝B.集合A、B所含的元素完全相同，则称A＝B.小结 如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.用子集概念对两个集合的相等进行描述为：如果A?B且B?A，则A，B中的元素是一样的，因此A＝B，即A＝B?思考3 用Venn图怎样表示两个集合相等的关系？
答 例2 已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}.若A＝B，求实数c的值.
所以a(c－1)2＝0，即a＝0或c＝1.
当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当c＝1时，集合B中的元素均相同，故舍去.因为a≠0，所以2c2－c－1＝0，
即(c－1)(2c＋1)＝0.经检验，此时A＝B成立.反思与感悟 抓住集合相等的含义，分情况进行讨论，同时要注意检验所得的结果是否满足元素的互异性.跟踪训练2 已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}且A＝B，求实数x与y的值.
解 由已知A＝B＝{0，|x|，y}，∴0∈A.
若x＝0，则A＝{0,0，－y}，不满足元素的互异性；
若y＝0，则B＝{0，|x|,0}，也不满足元素的互异性.
∴只有x－y＝0，即y＝x.
∴A＝{x，xy，x－y}＝{x，x2,0}，∴B＝{0，|x|，x}.∴x2＝|x|，∴x＝0(舍)，或x＝1，或x＝－1.
当x＝1时，A＝B＝{1,1,0}，而元素具有互异性，
故x≠1.
当x＝－1时，A＝B＝{－1,1,0}满足题意.
∴x＝y＝－1即为所求.探究点三 真子集、空集的概念
思考1 集合A是集合B的真子集的含义是什么？
答 若集合A?B，存在元素x∈B且x A，则称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).思考2 集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别？
答 区别在于集合A是集合B的子集存在着A＝B的可能，但集合A是集合B的真子集就不存在A＝B的可能.思考3 不含任何元素的集合为空集，记为?，请问：0，{0}与?三者之间有什么关系？
答 它们的关系是0∈{0},0 ?，??{0}.思考4 包含关系{a}?A与属于关系a∈A的意义有什么区别？
答 {a}?A表示的是两个集合之间的关系；
a∈A表示的是元素与集合之间的关系.思考5 对于集合A，A?A正确吗？对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么集合A与C有什么关系？
答 A?A正确，因任何一个集合都是它本身的子集；
A与C的关系为A?C.例3 写出满足{1,2}?A?{1,2,3,4,5}的所有集合A共有多少个？
解 ①当集合A含有3个元素时，A为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
②当集合A含有4个元素时，A为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
③当集合A含有5个元素时，A为{1,2,3,4,5}.
故满足条件的集合A为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}.
符合条件的集合A共有7个.反思与感悟 (1)求集合的子集问题，应按集合中所含元素的个数分类依次书写，以免出现重复或遗漏.
(2)此题中“求集合A的个数”，等价于求集合{3,4,5}的非空子集的个数.跟踪训练3 已知{a，b}?A?{a，b，c，d，e}，写出所有满足条件的集合A.
解 ∵{a，b}?A，∴a∈A，b∈A.
又∵A?{a，b，c，d，e}，
∴集合A为{a，b}、{a，b，c}、{a，b，d}、{a，b，e}、{a，b，c，d}、{a，b，c，e}、{a，b，d，e}.当堂测·查疑缺 12341.集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为( )
A.P?T B.P?T
C.P＝T D.P T
解析 由x2－1＝0，得x＝±1，∴P＝{－1,1}.
因此P?T，故选A.A12342.集合A＝{－1,0,1}，A的子集中，含有元素0的子集共有( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
解析 由题意得，含有元素0的集合A的子集有：{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}共4个，故选B.B12343.已知{0,1}?A?{－1,0,1}，则集合A＝________.
解析 由题意知集合A中一定含有元素0,1，
并且A中至少含三个元素，
又因为A?{－1,0,1}，
所以A＝{－1,0,1}.{－1,0,1}12344.若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.
解析 ∵集合A的子集只有两个，
∴A中只有一个元素.呈重点、现规律1.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法.
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A?B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x A.
2.集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉.课件35张PPT。§1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算
第1课时 并集与交集明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集.
2.能使用Venn图表示集合的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用.
3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算.明目标、知重点填要点·记疑点1.并集
(1)定义：一般地， 的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作 .
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝ .
(3)性质：A∪B＝ ，A∪A＝ ，A∪?＝ ，A∪B＝A? ，A A∪B.由所有属于集合A或属于集合BA∪B{x|x∈A，或x∈B}B∪AAAB?A?2.交集
(1)定义：一般地，由 元素组成的集合，称为A与B的交集，记作 .
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝ .
(3)性质：A∩B＝ ，A∩A＝ ，A∩?＝ ，A∩B＝A? ，A∩B A∪B，A∩B A，A∩B B.属于集合A且属于集合B的所有A∩B{x|x∈A，且x∈B}B∩AA?A?B???探要点·究所然情境导学
两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加减法运算，如果把集合与实数相类比，我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢？本节就来研究这个问题.探究点一 并集思考1 请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？
(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；
(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}.
答 集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.思考2 在思考1中，我们称集合C为集合A、B的并集，那么如何定义两个集合的并集，并用符号表示出来.
答 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.
记作：A∪B.读作“A并B”.
其含义用符号表示为：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.思考3 集合A∪B如何用Venn图来表示？
答例1 (1)设A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，求A∪B.
解 A∪B＝{4,5,6,8}∪{3,5,7,8}＝{3,4,5,6,7,8}.
(2)设集合A＝{x|－1解 A∪B＝{x|－1解析 因为A∪B＝R，探究点二 交集
思考1 请同学们考察下面的问题，集合A、B与集合C之间有什么关系？
①A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；
②A＝{x|x是国兴中学2013年9月入学的高一年级女同学}，B＝{x|x是国兴中学2013年9月入学的高一年级同学}，C＝{x|x是国兴中学2013年9月入学的高一年级女同学}.
答 集合C是由集合A和集合B的公共元素组成的集合.思考2 在思考1中，我们称集合C为集合A、B的交集，那么如何定义两个集合的交集？并用符号表示出来.
答 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.
记作：A∩B.读作：“A交B”.
其含义用符号表示为：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.思考3 如何用Venn图表示交集运算？
答 如图中的阴影部分表示的为A∩B.例2 (1)新华中学开运动会，设A＝{x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B＝{x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.
解 A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.
所以A∩B＝{x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.(2)设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系.
解 平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点，平行或重合.
①直线l1，l2相交于一点P可表示为L1∩L2＝{点P}；
②直线l1，l2平行可表示为L1∩L2＝?；
③直线l1，l2重合可表示为L1∩L2＝L1＝L2.反思与感悟 两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.跟踪训练2 设集合P＝{1,2,3,4,5}，集合Q＝{x∈R|2≤x≤5}，那么下列结论正确的是( )
A.P∩Q＝P B.P∩Q?Q
C.P∩Q?P D.P∩Q＝Q
解析 ∵P∩Q＝{2,3,4,5}，
∴P∩Q?P.
因此，选C.C探究点三 并集与交集的性质
思考1 你能用Venn图表示出两个非空集合的所有关系吗？
答 所有关系如下图所示：思考2 你能从思考1中所画的图中发现哪些重要的结论？
答 发现的结论如下：
由Venn图，我们观察到：
(1)
A∩B?A，A∩B?B；A?A∪B，B?A∪B，A∩B?A∪B.
(2)如果集合A本身是集合B的子集：
A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.如果集合B本身是集合A的子集：
B?A?A∩B＝B?A∪B＝A.
(3)如果集合A，B没有公共元素： A∩B＝?.思考3 如果集合A，B没有公共元素，那么它们就没有交集吗？
答 不是，它们有交集，交集为空集.例3 已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，若A∪B＝A，求实数a的值.
解 ∵A＝{1,2}，A∪B＝A，∴B?A，
∴B＝?或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1,2}.
当B＝?时，Δ<0，a不存在，∴a不存在.综上所述，a＝2或a＝3.反思与感悟 在利用集合的交集、并集性质解题时，若条件中出现A∪B＝A，或A∩B＝B，解答时常转化为B?A，然后用集合间的关系解决问题，运算时要考虑B＝?的情况，切记不可漏掉.跟踪训练3 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值.
解 由题意得A＝{－4,0}，
因为A∩B＝B，所以B?A.
当B＝?时，即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数解，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.
当B≠?时，若集合B中仅含一个元素，
则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时，B＝{x|x2＝0}＝{0}?A，即a＝－1符合题意.
若集合B中含有两个元素，则这两个元素是－4,0，
即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的解是－4,0，解得a＝1，则a＝1符合题意.
综上所述，a＝1或a≤－1.当堂测·查疑缺 12341.设集合A＝{x|x∈Z且－15≤x≤－2}，B＝{x|x∈Z且|x|<5}，则A∪B中的元素个数是( )
A.10 B.11 C.20 D.21
解析 ∵A∪B＝{x|x∈Z且－15≤x<5}＝{－15，－14，
－13，…，1,2,3,4}，
∴A∪B中共20个元素.C52.若集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于( )
A.{0,1} B.{－1,0,1}
C.{0,1,2} D.{－1,0,1,2}
解析 M∩N＝{0,1}，故选A.A123453.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则a的取值范围为________.
解析 由P＝{x|x2≤1}得P＝{x|－1≤x≤1}.
由P∪M＝P得M?P.
又M＝{a}，∴－1≤a≤1.[－1,1]123454.已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝____________.
解析 易知A＝{x|－2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|－2≤x≤1}.{x|－2≤x≤1}123455.已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a解析 因为C∩A＝C，所以C?A.
①当C＝?时，满足C?A，此时－a≥a＋3，得a≤－ ；综上，满足条件的a的取值范围是(－∞，－1].(－∞，－1]12345呈重点、现规律1.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.课件33张PPT。§1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算
第2课时 补集及综合应用明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解全集、补集的意义.
2.正确理解补集的概念，正确理解符号“?UA”的含义.
3.会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题.明目标、知重点填要点·记疑点1.全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集.
(2)记法：全集通常记作 .所有元素U2.补集不属于集合A?UA{x|x∈U，且x?A}3.补集的性质
?UU＝?，?U?＝U，?U(?UA)＝ .A探要点·究所然情境导学
相对于某个集合U，其子集中的元素是U中的一部分，那么剩余的元素也应构成一个集合，这两个集合对于U构成了相对关系，这就验证了“事物都是对立和统一的关系”.集合中的部分元素构成的集合与集合之间的关系就是部分与整体的关系.这就是本节研究的内容——全集和补集.探究点一 全集、补集的概念思考1 U＝{全班同学}、A＝{全班参加足球队的同学}、B＝{全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？
答 U＝A∪B，集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合.思考2 在思考1中，相对集合A、B，集合U是全集，集合B是集合A的补集，同时集合A是集合B的补集，那么如何定义全集和补集？并用符号表示出来.
答 全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且xD∈/A}.思考3 怎样用Venn图表示集合A在全集U中的补集？
答 用Venn图表示：(阴影部分即为A在全集U中的补集)例1 (1)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求?UA，?UB.
解 根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以?UA＝{4,5,6,7,8}，?UB＝{1,2,7,8}.(2)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，?U(A∪B).
解 根据三角形的分类可知A∩B＝?，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
?U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}.反思与感悟 研究补集必须是在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，全集常用U来表示.跟踪训练1 已知A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，?UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.
解 ∵A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1,－3,1,3}，
∴U＝{－3,－1,0,1,2,3,4,6}.
而?UB＝{－1,0,2}，
∴B＝?U(?UB)＝{－3,1,3,4,6}.探究点二 全集、补集的性质
思考1 借助Venn图，你能化简?U(?UA)，?UU，?U?吗？
答 ?U(?UA)＝A，?UU＝?，?U?＝U.思考2 借助Venn图，你能分析出集合A与?UA之间有什么关系吗？
答 A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U.例2 已知集合S＝{x|1求：(1)(?SA)∩(?SB)；
解 如图所示，可得A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}，?SA＝{x|1?SB＝{x|1由此可得：(1)(?SA)∩(?SB)＝{x|1解 ?S(A∪B)＝{x|1(3)(?SA)∪(?SB)；
解 (?SA)∪(?SB)＝{x|1或5≤x≤7}；
(4)?S(A∩B).
解 ?S(A∩B)＝{x|1或5≤x≤7}.反思与感悟 根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出补集，此类问题，当集合元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限个时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.跟踪训练2 设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|x≥3或x<1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x|－2≤x<1} B.{x|－2≤x≤2}
C.{x|14}＝{x|x<－2或x>2}，
∴?UM＝{x|－2≤x≤2}，
易知图中阴影部分为N∩(?UM)＝{x|x<1或x≥3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x<1}.
故选A.
答案 A探究点三 集合交、并、补的综合运算
思考1 求集合交、并、补运算的一般方法是怎样的？
答 思考2 求不等式解集的补集时需注意什么问题？
答 (1)实点变虚点、虚点变实点.如A＝{x|－1≤x<5}，
则?RA＝{x|x<－1，或x≥5}；
(2)通过改变原不等式的不等号方向取补集时，要防止漏解.应先求出A＝{x|x<0}，再求?RA＝{x|x≥0}.例3 已知集合A＝{x|x解 ∵B＝{x|1∴?RB＝{x|x≤1或x≥3}，
因而要使A∪(?RB)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.反思与感悟 与集合交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴分析法分析求解.跟踪训练3 已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a解 由题意得?RA＝{x|x≥－1}.
①若B＝?，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B??RA.
②若B≠?，则由B??RA，当堂测·查疑缺 12341.设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则?UM等于( )
A.U B.{1,3,5}
C.{3,5,6} D.{2,4,6}
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，
∴?UM＝{3,5,6}.C12342.已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则?UM等于( )
A.{x|－2C.{x|x<－2或x>2} D.{x|x≤－2或x≥2}
解析 ∵M＝{x|－2≤x≤2}，
∴?UM＝{x|x<－2或x>2}.C12343.设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(?UN)＝{2,4}，则N等于( )
A.{1,2,3} B.{1,3,5}
C.{1,4,5} D.{2,3,4}
解析 由M∩(?UN)＝{2,4}可得集合N中不含有元素2,4，集合M中含有元素2,4，
故N＝{1,3,5}.B12344.设U＝{x|－5≤x<－2，或2解 ∵U＝{x|－5≤x<－2，或2又∵A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
由补集的定义知：
?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}.呈重点、现规律1.全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集.因此，全集因研究问题而异.
(2)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.(3)?UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A?U；其次是定义?UA＝{x|x∈U，且x A}，补集是集合间的运算关系.
2.补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.课件55张PPT。§1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.通过丰富实例，理解函数的概念，学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.
2.了解构成函数的三要素.
3.能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.明目标、知重点填要点·记疑点1.函数的有关概念
(1)定义前提条件对应关系 结 论给定两个集合A，B为 非空数集按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有 的数f(x)和它对应称f:A→B为从 的一个函数集合A到集合B唯一确定(2)相关名称
①自变量是 .
②函数的定义域是 .
③函数的值域是集合 .
(3)函数的记法
集合A上的函数可记作： 或 .x集合A{f(x)|x∈A}f：A→By＝f(x)，x∈A2.区间及有关概念
(1)区间的定义
①条件： (a，b为实数).
②结论：a初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质.对于y＝1(x∈R)是不是函数，如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强.但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然.因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要.探究点一 函数的概念思考1 阅读教材15页～16页中的三个实例，并指出三个实例存在哪些变量？变量之间的对应关系是采用什么形式表达的？三个实例中变量的关系有什么共同点？答 每个实例中都存在着两个变量；
实例(1)中的两变量关系是通过关系式表达的，实例(2)中的变量间的关系是通过图象表达的，实例(3)中的变量间的关系是通过列表的形式表达的；
三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作：f：A→B.思考2 函数的概念如何从集合及对应的角度定义？函数的定义域及值域是指什么？
答 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.思考3 f(x)与f(a)有何区别与联系？
答 f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值.例1 对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数；②对于不同的x，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 ①③正确，②是错误的，对于不同的x，y的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f(x)表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来.B反思与感悟 在y＝f(x)中f表示对应关系，不同的函数其含义不一样；f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”.跟踪训练1 给出四个命题：①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素；③因f(x)＝5(x∈R)，这个函数值不随x的变化而变化，所以f(0)＝5也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了.正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 由于4个命题都满足函数的定义的要求，故都正确.
故选D.D探究点二 函数的三要素
思考1 一个函数的构成有哪些要素？
答 定义域A、对应关系f和值域{f(x)|x∈A}，共三个要素.思考2 在函数的三个要素中，起决定作用的是哪两个要素？两个函数相等必须具备什么条件？
答 起决定作用的是函数的对应关系和定义域，因为函数的值域由函数的定义域和对应关系确定；
当两个函数的定义域和对应关系相同时，这两个函数就相等.小结 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.思考3 你能从集合的角度解释y＝1是函数吗？
答 A＝R，B＝{1}，f∶x→y＝1，x∈A，y∈B.例2 下列函数中哪个与函数y＝x相等？
(1)y＝( )2；
解 y＝( )2＝x(x≥0)，y≥0，
定义域不同且值域不同，
所以不相等；对应关系相同，定义域和值域都相同，
所以相等；值域不同，且当x<0时，
它的对应关系与函数y＝x不相同，
所以不相等；与函数y＝x的定义域不相同，
所以不相等.反思与感悟 在两个函数中，两个函数的定义域、值域、对应关系有一个不同，两函数就不等，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相等.跟踪训练2 下列各组中的两个函数是否为相等的函数？解 中两函数定义域不同，所以不相等；所以两函数不相等；解 中定义域、值域都不同，所以不相等.探究点三 求函数的定义域、值域
思考 在初中已学函数的定义域和值域是怎样的？
答 一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)：定义域为R，值域为R；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：定义域为R，例3 求下列函数的定义域.∴这个函数的定义域是{x|x≠2}.∴这个函数的定义域是{x|x≥－1且x≠2}.反思与感悟 求函数定义域的原理：使函数表达式有意义的自变量的取值范围.已知函数y＝f(x)：
(1)若f(x)为整式，则定义域为R；
(2)若f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；
(3)若f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合；(4)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；
(5)若f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.跟踪训练3 求下列函数的定义域.解 x∈R；解 要使函数有意义，必须使x2－4≠0，
得原函数的定义域为{x|x∈R且x≠±2}；解 要使函数有意义，必须使x＋|x|≠0，
得原函数的定义域为{x|x>0}；得原函数的定义域为{x|1≤x≤4}；得原函数的定义域为{x|－2≤x≤2}；解 要使函数有意义，必须使ax－3≥0，当a＝0时，ax－3≥0的解集为?，不符合函数的定义，
故不是函数.探究点四 区间的概念
思考1 阅读教材17页上半部分，然后写出区间的概念.
答 设a，b是两个实数，而且a(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b].
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤xa，x≤b，x答 实数集R可以用区间(－∞，＋∞)表示，x≥a，x>a，x≤b，x解 ∵f(x)的定义域为(0,1)，
∴要使f(x2)有意义，须使0即－1∴函数f(x2)的定义域为{x|－1解 ∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)，即其中的函数自变量x的取值范围是0令t＝2x＋1，∴1∴f(t)的定义域为{t|1∴函数f(x)的定义域为{x|1解 ∵f(x＋1)的定义域为[－2,3]，
∴－1≤x＋1≤4.令t＝x＋1，∴－1≤t≤4，
∴f(t)的定义域为[－1,4]，
即f(x)的定义域为[－1,4]，
要使f(2x2－2)有意义，须使－1≤2x2－2≤4，函数f(2x2－2)的定义域为当堂测·查疑缺 12341.下列说法中，不正确的是( )
A.函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
C.定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了
D.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素1234解析 由于函数的关系可以用列表的方法表示，有些用列表法表示的函数的定义域和值域都不是无限集合，故选项B错.
答案 B12342.下列关于函数与区间的说法正确的是( )
A.函数定义域必不是空集，但值域可以是空集
B.函数定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了
C.数集都能用区间表示
D.函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应1234解析 函数的值域不可能为空集，故A错；
当两函数的定义域和值域分别相同时，但两函数的对应关系可以不同，故B错；
由于整数集没法用区间表示，故C错.所以选D.
答案 D12343.符号y＝f(x)表示( )
A.y等于f与x的积
B.y是x的函数
C.对于同一个x，y的取值可能不同
D.f(1)表示当x＝1时，y＝11234解析 A显然不对；
C不符合函数的定义；
D中f(1)表示当x＝1时的函数值，并不一定等于1；
只有B正确.
答案 B1234(1)求集合A和集合B；1234所以A＝[2，＋∞).所以B＝[－2,3)∪(3，＋∞).1234(2)求集合(?UA)∩(?UB).
解 因为A＝[2，＋∞)，
所以?UA＝(－∞，2).
因为B＝[－2,3)∪(3，＋∞)，
所以?UB＝(－∞，－2)∪{3}，
所以(?UA)∪(?UB)＝(－∞，2)∪{3}.呈重点、现规律1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应关系一样即可.
2.f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积.在不同的函数中f的具体含义不同，对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示.课件37张PPT。§1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数.
2.提高在不同情境中用不同形式表示函数的能力.明目标、知重点填要点·记疑点1.函数的三种表示法
(1)解析法——用 表示两个变量之间的对应关系；
(2)图象法——用 表示两个变量之间的对应关系；
(3)列表法——列出 来表示两个变量之间的对应关系.数学表达式图象表格2.函数三种表示法的优缺点探要点·究所然情境导学
语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法.例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂，英文为：Happy Birthday，…，那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？探究点一 函数的表示方法思考1 几种常用的函数的表示方法是如何定义的？
答 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
(2)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系；
(3)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.思考2 函数的三种表示方法各有什么优点？
答 (1)解析法的优点：概括了变量间的关系，利用解析式可求任一函数值.
(2)图象法的优点：直观形象地表示出函数值随自变量的变化趋势，有利于通过图象来研究函数的性质.
(3)列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量对应的函数值.例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x).
解 这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.
用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}.
用列表法可将函数y＝f(x)表示为用图象法可将函数y＝f(x)表示为反思与感悟 函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示.跟踪训练1 函数y＝x＋ 的图象是图中的( )解析 函数的定义域为{x|x≠0}，故排除A，B；
又当x＝－1时，y＝－2≠0，排除D，综上知选C.
答案 C探究点二 函数的表示法的应用
问题 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.成绩测试
序号姓名思考1 上表反映了几个函数关系？这些函数的自变量是什么？定义域是什么？
答 4个；
测试序号；
{1,2,3,4,5,6}.思考2 思考1中所述的函数关系能用解析法表示吗？试分析用哪种表示法为宜？
答 不能用解析法表示，用图象法表示为宜.思考3 你能在同一个坐标系内画出这四个函数的图象(可以将离散的点用虚线连接)吗？
答 思考4 根据图象，你对王伟、张城、赵磊同学的数学学习情况的分析是怎样的？
答 王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.探究点三 如何求函数的解析式
思考1 若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？这种方法的一般步骤是怎样的？
答 若已知函数的类型，可用待定系数法求解.即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列出方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定的系数，进而求出函数解析式.思考2 已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式通常用什么方法？这种方法的具体做法是怎样的？
答 通常用换元法.
即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，即求出了f(x).例2 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x).
解 由题意，设函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.反思与感悟 本题已知函数类型，故可用待定系数法求解.即设出函数关系式，代入已知条件，建立关于x的恒等式求解.跟踪训练2 已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式.
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0知c＝0.
∴f(x)＝ax2＋bx.
又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1.故2a＋b＝b＋1且a＋b＝1，例3 已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式.
解 设x＋1＝t，
则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.反思与感悟 利用换元法、配凑法求函数解析式时要注意新元的取值范围，即所求函数的定义域.跟踪训练3 设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是( )
A.g(x)＝2x＋1 B.g(x)＝2x－1
C.g(x)＝2x－3 D.g(x)＝2x＋7
解析 ∵g(x＋2)＝f(x)，f(x)＝2x＋3，
∴g(x＋2)＝2x＋3.
令t＝x＋2，则x＝t－2，
∴g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1.
即g(x)＝2x－1.B当堂测·查疑缺 12341.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )
A.f(x)＝x2－1
B.f(x)＝－(x－1)2＋1
C.f(x)＝(x－1)2＋1
D.f(x)＝(x－1)2－11234解析 由二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，可排除A、B；
又图象过点(0,0)，可排除C.
故D项符合题意.
答案 D12341234答案 C12343.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x值为________.1234解析 将x＝1,2,3,4依次代入方程f(g(x))＝g(f(x))检验，
易得x＝2,4.
答案 2,412344.已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，求f(x).
解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.呈重点、现规律1.如何作函数的图象
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等.2.如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域.主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法).课件42张PPT。§1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数及映射明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.掌握简单的分段函数，并能简单应用.
2.了解映射概念及它与函数的联系.明目标、知重点填要点·记疑点1.分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数.
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 .
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.对应关系并集空集2.映射的概念
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中 确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的 .都有唯一一个映射探要点·究所然情境导学
某人去上班，由于担心迟到，所以一开始就跑步前进，等跑累了再走完余下的路程.可以明显地看出，这人距离单位的距离是关于出发后的时间的函数，想一想，用怎样的解析式表示这一函数关系呢？为解决这一问题，本节我们学习分段函数.探究点一 函数图象的作法思考 作函数的图象通常分为哪几步？
答 通常分为三步，即列表、描点、连线.例1 画出函数y＝|x|的图象.所以，函数y＝|x|的图象如图所示.反思与感悟 (1)画函数图象时首先要考虑函数的定义域.
(2)要标出关键点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心还是虚心.
(3)要掌握常见函数图象的特征.
(4)函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等.跟踪训练1 作出下列函数的图象：
(1)y＝1－x，x∈Z；
解 因为x∈Z，所以图象为一条直线上的孤立点，如图1所示；其图象如图2所示；(3)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3].
解 y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
当x＝1,3时，y＝0；
当x＝2时，y＝－1，其图象如图3所示.探究点二 分段函数
例2 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算).
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.分析1 函数的自变量是什么？如何设置变量？定义域的范围如何？
答 自变量为里程，设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20].分析2 该函数用列表法怎样表示？
答 思考1 根据分析1、分析2写出例2的解答过程.
解 由题意得函数的解析式如下：函数图象如图所示：思考2 在例2中，我们得到的函数解析式是分段表达的，这样的函数就是分段函数，那么如何定义分段函数？
答 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.反思与感悟 分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应关系；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出.跟踪训练2 已知一个函数y＝f(x)的定义域为区间[0,2]，当x∈[0,1]时，对应关系为y＝x，当x∈(1,2]时，对应关系为y＝2－x，试用解析法与图象法分别表示这个函数.用图象法表示这个函数，它由两条线段组成，如下图.探究点三 映射的概念及应用
思考1 回忆初中学习过的一些对应，你能举出几个？
答 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；
对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应；
对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应.思考2 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”扩展为“任意两个非空集合”，按照某种对应可以建立起更为普遍的两集合的元素之间的对应关系，即映射.那么，你能给映射下个定义吗？
答 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.思考3 函数与映射有怎样的关系？
答 映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.例3 以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？
(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
解 按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
解 按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
解 按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
解 由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.
解 新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射.反思与感悟 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一元素关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多.跟踪训练3 设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是( )
A.f：x→y＝x2 B.f：x→y＝3x－2
C.f：x→y＝－x＋4 D.f：x→y＝4－x2
解析 对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射.D当堂测·查疑缺 1234若f(α)＝4，则实数α等于( )A.－4或－2 B.－4或2
C.－2或4 D.－2或21234解析 当α≤0时，f(α)＝－α＝4，得α＝－4；
当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2.
∴α＝－4或α＝2.
答案 B12342.下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是( )1234解析 在A、B选项中，由于集合A中的元素2在集合B中没有对应的元素，故构不成映射，在C选项中，集合A中的元素1在集合B中的对应元素不唯一，故构不成映射，只有选项D符合映射的定义，故选D.
答案 D1234则f(g(π))的值为( )A.1 B.0 C.－1 D.π1234解析 根据题设条件，
∵π是无理数，∴g(π)＝0，
∴f(g(π))＝f(0)＝0.
答案 B1234(1)画出f(x)的图象；
解 利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.12341234(3)求f(x)的值域.
解 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0,1].呈重点、现规律1.对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数而非几个函数.
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.
(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况.2.对映射认识的拓展
映射f：A→B，可理解为以下三点：
(1)A中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应；
(2)对A中不同的元素，在B中可以有相同的元素与之对应；
(3)A中元素与B中元素的对应关系，可以是一对一、多对一，但不能一对多.3.函数与映射的关系
映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集.于是，函数是数集到数集的映射.
由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.课件37张PPT。§1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.
2.掌握增(减)函数的证明和判断，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间.明目标、知重点填要点·记疑点1.函数的单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 .减函数(3)如果函数y＝f(x)在区间D上是 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有 ，区间D叫做y＝f(x)的 .增函数减函数(严格的)单调性单调区间2.基本函数的单调区间
(1)y＝ax＋b(a>0)的单调增区间为 .
(2)a>0时，二次函数y＝ax2的单调增区间为 .
(3)函数y＝ 的单调递减区间为 .(－∞，＋∞)[0，＋∞)(－∞，0)和(0，＋∞)探要点·究所然情境导学
函数是描述事物运动变化规律的数学模型.如果了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规律.因此研究函数的性质是非常重要的.日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降.很多函数也具有类似性质，这就是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性.探究点一 函数的单调性的有关概念思考1 画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图象的升降情况如何？
答 根据列表法的三个步骤：列表→描点→连线得两函数的图象如下：函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；
函数f(x)＝x2在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.思考2 如何用x与f(x)的变化来描述当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大？
答 在给定区间上任取x1，x2且x1答 增函数的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1减函数的定义：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.小结 函数的单调性定义：如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5].
其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数.反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.跟踪训练1 根据下图说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.解 函数在[－1,0]上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数.探究点二 增函数、减函数的证明或判断
思考 判断函数单调性的方法有哪些？证明函数单调性的方法有哪些？
答 定义法，图象法.证明函数单调性有定义法.例2 物理学中的玻意耳定律p＝ (k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明之.
证明 根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，＋∞)上的任意两个实数，且V1＜V2，则由V1，V2∈(0，＋∞)，得V1V2>0.由V10.
又k>0，于是p(V1)－p(V2)>0，
即p(V1)>p(V2).也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x10，又x10，
∴f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2).探究点三 函数单调性的应用
思考1 如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？
答 先判断函数f(x)在区间D上的单调性，如果函数f(x)在D上是增函数，则当x1答 能.利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f符号，转化为自变量的大小关系.例3 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)又f(x)在(－1,1)上是减函数，
且f(1－a)解 ∵y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)A.f(x)在(－∞，0)上是减函数
B.f(x)是减函数
C.f(x)是增函数
D.f(x)在(－∞，0)上是增函数5解析 f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝0，
所以f(x)在(－∞，0)上是增函数.
答案 D123452.函数y＝ 的减区间是( )
A.[0，＋∞) B.(－∞，0]
C.(－∞，0)，(0，＋∞) D.(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析 函数y＝ 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
但是其在定义域上不单调，
它有两个单调减区间，应该写为(－∞，0)，(0，＋∞).C123453.下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是( )
A.f(x)＝x2 B.f(x)＝
C.f(x)＝|x| D.f(x)＝2x＋1B123454.若函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________.
解析 由题意，得函数f(x)＝4x2－mx＋5的对称轴x＝ ≤－2，
所以m≤－16.m≤－16123455.已知函数y＝ax和y＝－ 在区间(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在区间(0，＋∞)上是增函数还是减函数？
解 函数y＝ax和y＝－ 在区间(0，＋∞)上是减函数，
则a<0且b<0，所以y＝ax2＋bx在区间(0，＋∞)上是减函数.12345呈重点、现规律1.若f(x)的定义域为D，A?D，B?D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减.
2.对增函数的判断，当x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或 <0.3.熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.
4.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③ 单调递减(f(x)≠0).课件36张PPT。§1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
第2课时 函数的最大（小）值明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数，体会求函数最值是函数单调性的应用之一.明目标、知重点填要点·记疑点1.函数最大值定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有 .
(2)存在x0∈I，使得 .
那么，称M是函数y＝f(x)的最大值.f(x)≤Mf(x0)＝M2.函数最小值定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：
(1)对于任意的x∈I，都有 .
(2)存在x0∈I，使得 .
那么，称M是函数y＝f(x)的最小值.f(x)≥Mf(x0)＝M3.函数最值与单调性的联系
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为 ，最小值为 .
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为 ，最小值为 .f(b)f(a)f(a)f(b)探要点·究所然情境导学
同学们，我们班最高的男生是谁？说他最高的根据是什么？“我们班最高的男生是姚明”对吗？为什么？
答 我们班最高的男生是A同学，根据是班内任选一名男生，都一定比A同学矮；不对，因姚明不是我们班的男生.探究点一 函数的最大(小)值的概念思考1 函数f(x)＝x2，g(x)＝－x2在什么时候取得最大、最小值？
答 当x＝0时，f(x)取最小值.因函数f(x)＝x2在(－∞，0]上是减函数，
所以当x≤0时，f(x)≥f(0)，
又因函数f(x)＝x2在[0，＋∞)上是增函数，所以当x≥0时，f(x)≥f(0).
从而x∈R，都有f(x)≥f(0).
因此x＝0时，f(0)是函数值中的最小值.
同理，g(x)在x＝0时取得最大值.思考2 根据以上讨论，你能给函数的最大值及最小值下个定义吗？
答 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值.
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值.思考3 已知函数y＝f(x)在定义域[a，b]上单调，如何求函数的最值？
答 如果函数y＝f(x)在定义域[a，b]上单调递增，
则f(x)max＝f(b)，f(x)min＝f(a)；
如果函数y＝f(x)在定义域[a，b]上单调递减，
则f(x)max＝f(a)，f(x)min＝f(b).例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1 m)?解 作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.反思与感悟 (1)求解实际问题一般分成四步，即：设元—列式—求解—作答.
(2)实际问题要注意函数自变量的取值范围.跟踪训练1 如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h(单位：m)与
水平距离x(单位：m)之间的函数关系
式为h＝－x2＋2x＋ ，x∈[0， ].求水流喷出的高度h的最大值是多少？函数图象的顶点就是水流喷出的最高点.
此时函数取得最大值.当x＝1时，解 设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x10，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2).因此，函数f(x)＝ 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，反思与感悟 要熟记常见函数的单调性：一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当k>0时单调递增，当k<0时单调递减；
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a>0时，在 上单调递减，在 上单调递增，a<0时相反；函数y＝ (x≠0)，当k>0时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减.当k<0时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递增.跟踪训练2 已知函数f(x)＝－ ，x∈[0,2]，求函数的最大值和最小值.解 设x1，x2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x1＜x2，由0≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在区间[0,2]上是增函数.
因此，函数f(x)＝－ 在区间[0,2]的左端点取得最小值，
右端点取得最大值，即最小值是f(0)＝－2，最大值是f(2)＝－ .探究点二 二次函数在闭区间上的最值
例3 求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值.
解 ∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.反思与感悟 此题为二次函数中区间固定对称轴移动的问题，此类问题应注意对称轴的变化对最值的影响.跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值.
解 ∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，
f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
④当11时，
f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有当堂测·查疑缺 12341.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A.f(－2)，0
B.0,2
C.f(－2)，2
D.f(2)，21234解析 观察函数图象知，图象最低点的纵坐标为f(－2)，最高点的纵坐标为2，故选C.
答案 C1234C12343.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，a∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )
A.1 B.0 C.－1 D.2
解析 ∵f(x)＝－x2＋4x＋a在[0,1]上为增函数，
最小值为f(0)＝－2，
∴a＝－2，其最大值为f(1)＝3＋a＝1.A1234设0≤x10，x2＋1>0，
于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝ .如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a).2.二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.课件43张PPT。§1.3 函数的基本性质
1.3.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.理解函数的奇偶性及其几何意义.
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
3.掌握判断函数奇偶性的方法与步骤.明目标、知重点填要点·记疑点1.函数奇偶性的概念
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数.f(－x)＝f(x)任意任意f(－x)＝－f(x)2.奇、偶函数图象的对称性
(1)偶函数的图象关于 对称，图象关于 对称的函数一定是偶函数.
(2)奇函数的图象关于 对称，图象关于 对称的函数一定是奇函数.
3.判断函数奇偶性的原则
判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于 对称.y轴y轴原点原点原点探要点·究所然情境导学
美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，六角形的雪花晶体，中国的古建筑，我们学校的综合大楼，它们都具有对称的美.这种“对称美”在数学中也有大量的反映.今天，让我们开启知识的大门，进入函数奇偶性的学习.探究点一 偶函数的概念思考1 观察下列函数的图象，你能通过函数的图象，归纳出三个函数的共同特征吗？并比较f(x)与f(－x)的大小.答 三个函数的定义域关于原点对称，三个函数的图象关于y轴对称，即f(x)＝f(－x).思考2 如果函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，我们就说这个函数是偶函数，那么如何从代数的角度定义偶函数？
答 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.思考3 通过前面的探究，你能得出偶函数的图象有怎样的对称性质吗？
答 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数为偶函数.例1 判断下列函数哪些是偶函数.
(1)f(x)＝x2＋1；
解 由解析式可知函数的定义域为R，
由于f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，
所以函数为偶函数.(2)f(x)＝x2，x∈[－1,3]；
解 由于函数的定义域不关于原点对称，
故函数不是偶函数.(3)f(x)＝0.
解 函数的定义域为R，
由于f(－x)＝0＝f(x)，
所以函数为偶函数.反思与感悟 利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量．跟踪训练1 判断下列函数是否为偶函数.
(1)f(x)＝(x＋1)(x－1)；
解 函数的定义域为R，
因函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，
又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，
所以函数为偶函数.因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，
并不关于原点对称.探究点二 奇函数的概念
思考1 观察函数f(x)＝x和f(x)＝ 的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？并比较f(x)与f(－x)的大小.答 容易得到两个函数的定义域关于原点对称，图象关于原点对称，且f(－x)＝－f(x).思考2 类比偶函数的定义，请给奇函数下个定义.
答 对于定义域内任意的一个x，都有f(－x)＝－f(x)，则称函数为奇函数.小结 (1)奇函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
(2)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.思考3 类比偶函数图象的对称性，奇函数的图象有怎样的对称性质呢？
答 奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数.例2 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)＝x4；
解 对于函数f(x)＝x4，其定义域为R，
因为对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，
所以，函数f(x)＝x4为偶函数.(2)f(x)＝x5；
解 对于函数f(x)＝x5，其定义域为R，
因为对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x).
所以，函数f(x)＝x5为奇函数.解 函数f(x)＝x＋ 的定义域为{x|x∈R且x≠0}，因为对定义域内的每一个x，解 函数f(x)＝ 的定义域为{x|x∈R且x≠0}，因为对定义域内的每一个x，因为函数的定义域不关于原点对称，因为对定义域内的每一个x，
都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，又f(－x)＝－f(x)，即该函数既是奇函数又是偶函数.反思与感悟 (1)对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数.
(2)用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，看是否关于原点对称；②再判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否恒成立.跟踪训练2 判断下列各函数的奇偶性：关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.解 x<－1时，f(x)＝x＋2，－x>1，
∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；
x>1时，f(x)＝－x＋2，－x<－1，
f(－x)＝－x＋2＝f(x).－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，
f(－x)＝0＝f(x).
∴对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)，
因此f(x)是偶函数.探究点三 函数奇偶性的应用
例3 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，
试比较f(1)与f(3)的大小.解 ∵f(－3)>f(－1)，
又f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1).
∴f(3)>f(1).反思与感悟 本题有两种解法，一种是通过图象观察，f(－3)>f(－1)，选用偶函数定义，得f(3)>f(1)；另一种方法是利用偶函数图象的对称性.跟踪训练3 如图，给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－4)＝________.解析 f(－4)＝－f(4)＝－2.－2当堂测·查疑缺 12341.f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )
A.f(－x)＋f(x)＝0 B.f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C.f(x)·f(－x)≤0解析 ∵f(－x)＝－f(x)，A、B显然正确，
因为f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C正确.
当x＝0时，由题意知f(0)＝0，故D错误.D52.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A.y＝－x2＋5(x∈R)
B.y＝－x
C.y＝x3(x∈R)
D.y＝－ (x∈R，x≠0)12345解析 函数y＝－x2＋5(x∈R)既有增区间又有减区间；
y＝－x是减函数；只有y＝x3(x∈R)满足条件.答案 C123453.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )
A.－3 B.－1
C.1 D.3
解析 ∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.A123454.偶函数f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝________.
解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以(t－4)＋t＝0，即t＝2.212345为________(填“奇函数”或“偶函数”).12345＝－f(x)，所以是奇函数.
答案 奇函数12345呈重点、现规律1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?f(x)为偶函数.
2.两个性质：函数为奇函数?它的图象关于原点对称；函数为偶函数?它的图象关于y轴对称.
3.函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称.课件31张PPT。§1.3 函数的基本性质
1.3.2 奇偶性
第2课时 奇偶性的应用明目标
知重点填要点
记疑点探要点
究所然内容
索引010203当堂测
查疑缺 041.进一步加深对函数的奇偶性概念的理解.
2.会推断奇偶函数的性质.
3.培养利用数学概念进行判断、推理的能力及加强化归与转化能力的训练.明目标、知重点填要点·记疑点奇偶性的应用中常用到的结论
(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则必有f(0)＝ .
(2)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是 函数，且有最小值 .
(3)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是 .0－M增增函数探要点·究所然探究点一 利用奇偶性求函数解析式例1 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式.
解 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.反思与感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.跟踪训练1 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝ ，求函数f(x)，g(x)的解析式.解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，探究点二 奇、偶函数的单调性
思考1 观看下列两个偶函数的图象在y轴两侧的图象有何不同？可得出什么结论？答 偶函数在y轴两侧的图象的升降方向是相反的；即偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.思考2 观看下列两个奇函数的图象在y轴两侧的图象有何不同？可得出什么结论？答 奇函数在y轴两侧的图象的升降方向是相同的；即奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同.例2 已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1,1)，且在[0,1)上为增函数.若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求a的取值范围.
解 ∵f(a－2)＋f(3－2a)<0，
∴f(a－2)<－f(3－2a).
又f(x)为奇函数，∴f(a－2)又f(x)在[0,1)上为增函数，
∴f(x)在(－1,1)上为增函数，∴1∴a的取值范围为(1,2).反思与感悟 在奇、偶函数定义中，交换条件和结论仍成立.即若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x).若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x).跟踪训练2 已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)＜0.
解 ∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴由f(1－x)＋f(1－2x)＜0，
得f(1－x)＜－f(1－2x).
∴f(1－x)＜f(2x－1).
又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，探究点三 函数的奇偶性与单调性的综合
例3 设函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)<0，试判断函数F(x)＝
在(－∞，0)上的单调性，并给出证明.解 F(x)在(－∞，0)上是增函数，以下进行证明：
设x1－x2>0，
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(－x1)0. ①
又∵f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数，
∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2).
由①式得－f(x2)＋f(x1)>0，
即f(x1)－f(x2)>0.
又∵f(x)在(0，＋∞)上总小于0，
∴f(x1)＝－f(－x1)＞0，f(x2)＝－f(－x2)＞0，f(x1)·f(x2)>0，反思与感悟 判断抽象函数奇偶性时，赋值后出现f(－x)和f(x)是关键，故赋值要恰当，要认真体会赋值法在解题中的作用.跟踪训练3 已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).
(1)求证：f(x)是奇函数；
证明 ∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，
则f(0)＝f(x)＋f(－x).令x＝y＝0，
则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.
∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.(2)如果x∈(0，＋∞)，f(x)<0，并且f(1)＝－ ，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值.解 设x1则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]
＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1).
∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.
∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x)在R上单调递减.∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值.f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.
∴f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.当堂测·查疑缺 12341.若函数f(x)＝x3，x∈R，则函数y＝f(－x)在其定义域上是( )
A.单调递减的偶函数
B.单调递减的奇函数
C.单调递增的偶函数
D.单调递增的奇函数5解析 由题意，得y＝f(－x)＝－x3，
易知函数y＝－x3为奇函数且为R上的减函数，
故答案为B.
答案 B123452.定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A.ab
C.|a|<|b| D.0≤ab≥0
解析 因y＝f(x)为偶函数，所以y＝f(x)＝f(|x|)，
又因f(a)由f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以|a|<|b|.C123453.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于( )
A.x2 B.2x2 C.2x2＋2 D.x2＋1
解析 ∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1， ①
∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.
又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，
∴f(x)－g(x)＝x2－3x＋1. ②
由①②联立，得f(x)＝x2＋1.D123454.若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是_________.
解析 利用函数f(x)是偶函数，得k－1＝0，k＝1，
所以f(x)＝－x2＋3，
其单调递减区间为[0，＋∞).[0，＋∞)12345为奇函数，则f(g(－1))＝________.解析 当x＜0时，则－x＞0，由于f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，
所以f(x)＝－x2＋2x.
即g(x)＝－x2＋2x，因此，f(g(－1))＝f(－3)＝－9－6＝－15.－1512345呈重点、现规律1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.
2.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.3.具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性.
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.
4.函数图象的平移变换是一种基本的图象变换.一般地，函数y＝f(x－a)的图象可由函数y＝f(x)的图象向右(a＞0)或向左(a＜0)平移|a|个单位得到.课件33张PPT。章末复习课内容
索引0102理网络
明结构探题型
提能力0304理网络·明结构集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合这一单元的核心内容之一.在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而出错，此时，数轴分析(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想的具体应用之一.在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解.探题型·提能力题型一 数形结合思想的应用例1 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}.
(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围；
解 A＝{x|0≤x≤2}，
∴?RA＝{x|x<0或x>2}.
∵(?RA)∪B＝R.(2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？
解 由(1)知(?RA)∪B＝R时，
－1≤a≤0，而a＋3∈[2,3]，
∴A?B，这与A∩B＝?矛盾.
即这样的a不存在.跟踪训练1 若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则?UA＝_________.
解析 在数轴上表示出集合A，如图所示.
则?UA＝{x|0分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏.本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合运算中对?的讨论，二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等.例2 设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；
解 因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0，
即a<0，由a2≥1知a≤－1，
因此，a的取值范围为(－∞，－1].(2)求f(x)的最小值.
解 记f(x)的最小值为g(a)，则有
f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|(ⅰ)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，
由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2.跟踪训练2 设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x)＝f 的所有x之和为( )A.－3 B.3 C.－8 D.8解析 因为f(x)是连续的偶函数，且x>0时是单调函数，由①知x2＋3x－3＝0，故其两根之和为x1＋x2＝－3.
由②知x2＋5x＋3＝0，故其两根之和为x3＋x4＝－5.
因此满足条件的所有x之和为－8.答案 C题型三 转化与化归思想的应用转化与化归思想用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法，从一种情况转化为另一种情况，也就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.例3 已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋1＝0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围.
(1)A＝?；
解 若A＝?，则关于x的方程mx2－2x＋1＝0没有实数解，
所以m≠0，且Δ＝4－4m<0，所以m>1.(2)A恰有两个子集；
解 若A恰有两个子集，则A为单元素集，
所以关于x的方程mx2－2x＋1＝0恰有一个实数解，讨论：②当m≠0时，Δ＝4－4m＝0，所以m＝1.
综上所述，m的集合为{0,1}.所以m∈(0,1].∵x＝t2＋1，∴y＝－t2＋t－1(t≥1).
∴y≤－1.
故函数的值域为(－∞，－1].题型四 函数性质的综合运用
函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式上看，抽象函数、具体函数都有，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；
证明 任取x1，x2∈(－1,1)且x10.
∴f(x2)－f(x1)>0，故f(x2)>f(x1).
∴f(x)在(－1,1)上是增函数.(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
解 原不等式可化为
f(t－1)<－f(t)＝f(－t).
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴－1(1)定义法.
(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f(x)，g(x)的单调性判断－f(x)， ，f(x)＋g(x)的单调性等.
(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性.2.二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论：
(1)若h∈[m，n]，则ymin＝f(h)＝k，ymax＝max{f(m)，f(n)}；
(2)若h?[m，n]，则ymin＝min{f(m)，f(n)}，
ymax＝max{f(m)，f(n)}(a<0时可仿此讨论).3.函数奇偶性与单调性的差异
函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x值，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇函数(或偶函数).4.作函数图象的方法
方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线.
注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图.
方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转.(1)平移(3)翻折
①图示：y＝f(x)→y＝f(|x|)；②图示：y＝f(x)→y＝|f(x)|.