高一数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，是无理数”否定是（ ）
A. ，不是无理数 B. ，是无理数
C. ，不是无理数 D. ，是无理数
3. 函数定义域为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知幂函数在上单调递增，则（ ）
A. B. C. D.
5. 甲、乙两校各有名教师报名支教，若从报名的名教师中任选名，则选出的名教师来自不同学校的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，，则（ ）
A B. C. D.
7. 掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（ ）
A. 与对立 B. 与不互斥
C. 与相互独立 D. 与相互独立
8. 已知函数，若，且 ，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知甲、乙两组数的茎叶图如图所示，则（ ）
A. 甲组数极差小于乙组数的极差
B. 甲组数的中位数小于乙组数的中位数
C. 甲组数的平均数大于乙组数的平均数
D. 甲组数的方差大于乙组数的方差
11. 已知，，，则（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 最小值为 D. 的最小值为
12. 若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（ ）
A. B. 在上单调递增
C. D. 在上的实数根之和为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 数据的第分位数是_________.
14. 已知，，则__________.
15. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为__________.
16. 已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求在上的解析式；
（2）解方程.
19. 为宣传第届杭州亚运会，弘扬体育拼搏精神，某学校组织全体学生参加了一次亚运会知识竞赛，竞赛满分为分.从全体学生中随机抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，并将这名学生的成绩按照，，，，分成组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值，并估计该学校这次竞赛成绩的众数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）已知落在的学生成绩的平均数，方差，落在的学生成绩的平均数，方差，求落在的学生成绩的平均数和方差；
（3）用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全体学生中随机抽取名学生，求这名学生中恰有人成绩不低于分的概率.
20. 某科研团队在某地区种植一定面积的藤蔓植物进行研究，发现其蔓延速度越来越快. 已知经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为.现该植物覆盖面积（单位：）与经过时间个月的关系有函数模型与可供选择.（参考数据：，，，.）
（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求至少经过几个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍.
21. 已知函数，.记为的最小值.
（1）求；
（2）设，若关于的方程在上有且只有一解，求实数的取值范围.
22. 已知函数.
（1）判断的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）若对，都有成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.高一数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集和补集的概念求出答案.
【详解】，
故.
故选：C
2. 命题“，是无理数”的否定是（ ）
A. ，不是无理数 B. ，是无理数
C. ，不是无理数 D. ，是无理数
【答案】A
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定形式判定选项即可.
【详解】命题“，是无理数”为全称量词命题，
该命题的否定为“，不是无理数”.
故选：A.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域.
【详解】对于函数，有，可得，解得，
因此，函数的定义域为.
故选：A.
4. 已知幂函数在上单调递增，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由幂函数的定义即可得解.
【详解】由题意得幂函数在上单调递增，
所以，解得或（舍）.
故选：D.
5. 甲、乙两校各有名教师报名支教，若从报名的名教师中任选名，则选出的名教师来自不同学校的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由古典概型概率计算公式即可得解.
【详解】设甲校报名支教的两名教师为，乙校报名支教的两名教师为，从这报名的名教师中任选名，
共有这6种情况，
选出的名教师来自不同学校共有这4种情况，
所以所求概率为.
故选：C.
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据题意利用换底公式结合对数、指数函数单调性即可得解.
【详解】因为，
且，可得，
所以.
故选：B.
7. 掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（ ）
A. 与对立 B. 与不互斥
C. 与相互独立 D. 与相互独立
【答案】C
【解析】
【分析】根据事件的对立与互斥的概念判断AB；利用是否成立来判断CD.
【详解】对于A：事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，与互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如，A错误；
对于B：：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，与不可能同时发生，故与互斥，B错误；
对于C：两个骰子的点数之和为的情况有，
则，
所以，所以与相互独立，C正确；
对于D：两个骰子的点数之和为的情况有
，所以，D错误.
故选：C.
8. 已知函数，若，且 ，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得，作出图像分析时，有，化简，从而得到答案.
【详解】由题可得：，作出的图像如下：
由，且，则，，即，解得：，
所以
由，则，
所以，故当，即时，取最小值为.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由已知结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解.
【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以 ，则.
故选：AB
10. 已知甲、乙两组数的茎叶图如图所示，则（ ）
A. 甲组数的极差小于乙组数的极差
B. 甲组数的中位数小于乙组数的中位数
C. 甲组数的平均数大于乙组数的平均数
D. 甲组数的方差大于乙组数的方差
【答案】AC
【解析】
【分析】根据茎叶图分别计算选项A、B、C中的涉及到的极差，中位数以及平均数，即可判断；根据两组数据的分布的集中和分散程度，可比较二者方差，判断D.
【详解】由茎叶图可知甲组数的极差为，乙组数的极差为，
则，即甲组数的极差小于乙组数的极差，A正确；
甲组数的中位数为36，乙组数的中位数为26，
甲组数的中位数大于乙组数的中位数，B错误；
甲组数的平均数为，
乙组数的平均数为，
故甲组数的平均数大于乙组数的平均数，C正确；
根据茎叶图可知甲组数的分布更为集中，乙组数的分布更为分散一些，
因此甲组数的方差小于乙组数的方差，D错误，
故选：AC
11. 已知，，，则（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式逐一计算判断即可.
【详解】对于A： ，当且仅当时取得等号，故A错误；
对于B：，
当且仅当 ，即时取得等号，故B正确；
对于C：，
当且仅当时取得等号，故C正确；
对于D：，
当且仅当，即时取得等号，故D正确.
故选：BCD.
12. 若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（ ）
A. B. 在上单调递增
C. D. 在上的实数根之和为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性结合已知条件可用赋值法求得，判断A；结合题意推出函数的周期以及对称轴，结合当时，，可作出函数的图象，即可判断B；利用函数的奇偶性可判断C；将在上的实数根问题转化为函数的图象的交点的横坐标问题，数形结合，即可判断D.
【详解】对于A，由于函数是定义在上的奇函数，故，
由，令，则，
则，A正确；
对于B，由，得，即，
故，即8为函数的一个周期，
由，可知函数的图象关于直线对称，
又当时，，故可作出函数的图象如图：
由图象可知在上单调递减，B错误；
对于C，由于函数是定义在上的奇函数，且满足，
故，C正确；
对于D，当时，显然不满足，故的根即的根，
也即函数的图象的交点的横坐标，
作出的图象如图：
由于均为奇函数，因此结合图象可知，二者在上图象的交点也两两关于原点对称，
因此交点的横坐标之和等于0，即在上的实数根之和为0，D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，综合性较强，解答本题的关键在于要根据函数的奇偶性结合已知条件，推出函数的周期性以及对称性，从而可作出函数图象，数形结合，解决问题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 数据的第分位数是_________.
【答案】93
【解析】
【分析】直接由百分位数的定义即可求解.
【详解】由题意，所以数据的第分位数是93.
故答案：93.
14. 已知，，则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据指数式和对数式化简得到，结合换底公式和指数，对数运算法则得到答案.
【详解】因为，，所以，
故.
故答案为：3
15. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用偶函数的性质结合对数函数的图象与性质计算即可.
【详解】由题意可知，
又在上单调递增，则时，，
则，
根据对数函数的性质可知.
故答案为：
16. 已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】分和两种情况，参变分离，结合函数单调性求出答案.
【详解】当时，，
故，
令，由对勾函数的性质可得在上单调递减，
故，所以，解得，
当时，，
故，其中，
所以，
综上，.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】17.
18
【解析】
【分析】（1）根据并集概念求出答案；
（2）根据交集的结果得到包含关系，进而得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
当时，，
所以.
【小问2详解】
若，则，
因为，所以，
由可得
解得.
故实数的取值范围是
18. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求在上的解析式；
（2）解方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质即可求解.
（2）由题意首先有，进一步通过换元法以及指对互换解方程即可.
【小问1详解】
因为是奇函数，
①当时，，
②当时，，，
所以，
所以.
【小问2详解】
由题意知，，
得，
令，则，即，
解得或，
即或，
解得或.
19. 为宣传第届杭州亚运会，弘扬体育拼搏精神，某学校组织全体学生参加了一次亚运会知识竞赛，竞赛满分为分.从全体学生中随机抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，并将这名学生的成绩按照，，，，分成组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中值，并估计该学校这次竞赛成绩的众数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）已知落在的学生成绩的平均数，方差，落在的学生成绩的平均数，方差，求落在的学生成绩的平均数和方差；
（3）用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全体学生中随机抽取名学生，求这名学生中恰有人成绩不低于分的概率.
【答案】（1）0.030，75
（2）70，12 （3）0.288
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图的性质，所有矩形面积之和为1可得，结合众数定义即可得解.
（2）先算落在与的人数比，结合平均数性质，方差性质即可得解.
（3）由概率加法公式即可得解.
【小问1详解】
由题意知，，
估计该学校这次竞赛成绩的众数为.
【小问2详解】
因为落在与的人数比为，
所以，
.
【小问3详解】
由题意知，每名学生成绩不低于分的概率为，
则名学生中恰有人成绩不低于分的概率.
20. 某科研团队在某地区种植一定面积的藤蔓植物进行研究，发现其蔓延速度越来越快. 已知经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为.现该植物覆盖面积（单位：）与经过时间个月的关系有函数模型与可供选择.（参考数据：，，，.）
（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求至少经过几个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍.
【答案】（1）更合适，，
（2）至少经过个月
【解析】
【分析】（1）根据增长速度变换情况选择解析式，待定系数即可得解.
（2）当时，，根据指数对数运算解不等式即可得解.
【小问1详解】
因为的增长速度越来越快，，
的增长速度越来越慢，所以依题意应选择，
由题意知，所以，
所以，.
【小问2详解】
当时，，
所以藤蔓植物原先种植面积为，
设经过个月藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍.
所以，
可得，
所以
，
所以至少经过个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍.
21. 已知函数，.记为的最小值.
（1）求；
（2）设，若关于的方程在上有且只有一解，求实数的取值范围.
【答案】21.
22.
【解析】
【分析】（1）根据区间和对称轴的关系即可结合分类讨论即可求解，
（2）将问题转化为与的图象在上有且只有一个交点，即可结合函数的性质列不等式求解，或者根据二次函数的单调性以及指数函数的单调性即可求解在上单调递减，进而利用零点存在定理即可求解.
【小问1详解】
由题意知，对称轴为，
①当时，在上单调递增，所以的最小值为；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为；
③当时，在上单调递减，
所以的最小值为.
综上可知，.
【小问2详解】
法一：由第（1）问知，，
即，
所以关于的方程在上有且只有一解，
等价于与的图象在上有且只有一个交点，
因为，所以的图象开口向下，对称轴为，
所以在上单调递减，
又因为在上单调递增，
所以，
即，解得.
法二:由第（1）问知，，
即在上有且只有一解，
令，
因为，所以的图象开口向下，对称轴为，
所以在上单调递减，
又因为在上单调递增，
所以在上单调递减，
则， 即，
解得.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
22. 已知函数.
（1）判断的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）若对，都有成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）在上单调递增，证明见解析
（2）
（3）存在，且
【解析】
【分析】（1）直接由指数函数单调性，单调性的定义证明即可.
（2）将原问题转换为不等式对恒成立.通过换元法以及对勾函数性质即可得解.
（3）由函数单调性以及换元法转换为一元二次方程根的分布问题即可得解.
【小问1详解】
在上单调递增.
任取，且，
那么，
，
因为，所以，可得，又，
所以，即，
所以在上单调递增.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
由第（1）问知在上单调递增，所以，
所以，即对恒成立.
令，，只需，
令，则，，
因为在上单调递增，
所以当时，，所以.
【小问3详解】
由第（1）问知，在上单调递增，
所以
所以为方程的两个实数根，
即方程有两个不等的实数根，
令，即方程有两个不等的正根，
所以即，
且，解得且，
所以存在实数满足题意，且.
【点睛】关键点睛：第二问关键是分离参数，第三问关键是换元转换为一元二次方程根的分布问题，由此即可顺利得解.
