2023-2024学年河北省石家庄市辛集市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省石家庄市辛集市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若是第二象限角，则是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
4.下列各组函数是同一函数的是( )
与；
与；
与；
与．
A. B. C. D.
5.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
6.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
7.设，则( )
A. B. C. D.
8.若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，与的值相等的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
则一定包含的零点的区间是( )
A. B. C. D.
11.设正实数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
12.将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，下面四个结论中，错误的是( )
A. 函数在区间上为增函数
B. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C. 点是函数图象的一个对称中心
D. 函数在上的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的单调递减区间是______．
14.定义在上的函数满足，，则 ______．
15.如图，正六边形的边长为，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则，，围成的阴影部分的面积为 ．
16.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图，将筒车抽象为一个几何图形圆，筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动圈，规定：盛水筒对应的点从水中浮现即时的位置时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为单位：，且此时点距离水面的高度为单位：在水面下则为负数，则与时间之间的关系为
，，，；
点第一次到达最高点需要的时间为；
在转动的一个周期内，点在水中的时间是；
若在上的值域为，则的取值范围是；
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的值；
求函数的单调递增区间．
18.本小题分
已知为第二象限角，且．
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数．
若关于的不等式的解集为，求，的值；
已知，当时，恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知集合，．
若，求；
若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围．
21.本小题分
某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现：某水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥等人工费元已知这种水果的市场售价大约元千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为单位：元．
求单株利润元关于施用肥料千克的关系式；
当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
22.本小题分
已知，我们定义函数表示不小于的最小整数，例如：，．
若，求实数的取值范围；
求函数的值域，并求满足的实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
由题意，根据诱导公式计算即可．
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
利用整数集的概念与列举法得到集合，再利用集合的交集运算即可得到．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：是第二象限角，
，，
，，
是第四象限角；
故选：
首先写出第二象限的角的集合，然后得到的范围得答案．
本题考查了象限角和轴线角，是基础的会考题型．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的定义，明确三要素是判断两个函数是否是同一函数的依据．
确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．
【解答】
解：与的定义域均为，而此时，则对应法则和值域不同，故不是同一函数．
与的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
与都可化为且定义域是，故是同一函数．
与的定义域都是，对应法则也相同，故是同一函数．
由上可知是同一函数的是．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：函数中，
令，
解得，
所以函数的定义域是．
故选：．
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键，属于基础题．
由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关系，即可得到答案．
【解答】
解：函数的图象是开口向上，以直线为对称轴，
又函数在区间上是减函数，
，
解得．
故选B．
7.【答案】
【解析】解：因为，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以．
故选：．
利用指数函数、对数函数的的图象性质比较大小．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：当时，，A错误．
B.函数的定义域和值域都满足条件，B正确．
C.由函数的图象可知，在图象中出现了有个函数值和对应的图象，C错误．
D.函数值域中有两个值不存在，函数的值域不满足条件，D错误．
故选：．
根据函数的定义域和值域以及与函数图象之间的关系分别进行判断即可．
本题主要考查函数的定义以及函数三要素之间的判断，利用函数的定义是解决本题的关键，比较基础．
9.【答案】
【解析】解：．
对于，；
对于，；
对于，；
对于，．
与的值相等的是．
故选：．
求出的值．利用二倍角的余弦求值判断；利用两角和的余弦求值判断；利用二倍角的正弦求值判断；利用两角和的正切求值判断．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式、倍角公式及两角和的三角函数，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：的图象是一条连续不断的曲线，
且，，，
一定包含的零点的区间是，，．
故选：．
根据零点存在性定理结合表中的数据分析判断即可．
本题考查函数零点判定定理的应用，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，
当且仅当且，即时取等号，故A正确；
对于，，
当且仅当，且，即时取等号，故B正确；
对于，，
则，当且仅当，且，即时，故C错误；
对于，，
当且仅当且，即时取等号，故D正确．
故选：．
根据基本不等式以及“”的妙用判断各选项．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；
再把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象．
当时，，此时不单调，故A错误；
将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
此函数是偶函数，满足图象关于轴对称，故B正确；
将代入函数的解析式中，得到，
故点不是函数图象的一个对称中心，故C错误；
当，，所以当，即时，的最大值为，故D正确．
故选：．
选项，根据图象变换得到，然后根据复合函数单调性的判断方法判断；选项，根据图象变换得到，然后根据奇偶性判断；选项，利用代入检验法判断；选项，利用换元法求最值．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，解得，
或，即函数 的定义域为，
令，当时，内层函数 为增函数，
而外层函数 为减函数，
函数 的单调递减区间是．
故答案为：．
先确定函数的定义域，再分别得出内层函数和外层函数的单调性，根据复合函数的性质求出函数的单调区间即可．
本题考查了复合函数的单调性的判断及求法，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以当时，有，
当时，有，
当时，有，
当时，有，
所以，，
又因为，
所以当时，有，
当时，有，
当时，有，
当时，有，
由，，
可得，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以．
故答案为：．
在等式中，用赋值法可得，，在等式中用赋值法可得，进而可得，有即，解得，即得答案．
本题考查了用赋值法求抽象函数的值，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：连接，，则是边长为的等边三角形，
所以的面积，
因为正六边形，所以，
所以扇形的面积为，
由割补法可知，阴影部分的面积．
故答案为：．
连接，，由割补法可知，阴影部分的面积扇形的面积的面积，得解．
本题考查扇形的面积公式，熟练掌握割补法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是匀速圆周运动的数学模型，属中档题．
根据题意得出的解析式，而后逐个分析即可．
【解答】
解：对于，由题意知，，
根据几何关系可得与轴正方向的夹角为，即，，正确；
对于，盛水筒第一次到达最高点所需时间为，错误；
对于，转动一周盛水筒在水中的时间为，错误；
对于，，，
令，得，正确．
故答案为：．
17.【答案】解：由题可知，，又，所以，
所以，
所以．
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为．
【解析】由周期求出，即可求出函数解析式，再代入计算可得；
根据正弦函数的性质计算可得．
本题考查了正弦函数的周期公式以及正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题．
18.【答案】解：因为为第二象限角，，
所以，
所以．
原式．
【解析】根据为第二象限角，得到，进而得到正切值；
根据二倍角公式和诱导公式化简，分子分母同时除以，代入即可．
本题考查了同角三角函数间的基本关系，运用诱导公式化简求值，属于基础题．
19.【答案】解：根据题意，可得和都是方程的根且，
所以，解得或舍，
所以的值为，的值为．
因为，所以，
所以，即，
整理得，
令，则上式可化为，即，
又因为当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
令，则，
因为，
所以当，即时，，所以，
又因为，所以．
所以实数的取值范围为．
【解析】根据题意结合一元二次不等式对应一元二次方程及二次函数可知，和是方程的根，列出方程组即可解出，的值；
先根据条件，可得，令，转化为，根据题意令，则，再求出的最小值即可．
本题考查了一元二次不等式的解集与方程根的关系，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想和函数思想，属中档题．
20.【答案】解：当时，集合，可得或，
因为，所以；
若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，即时，此时，满足是的真子集，
当时，则满足且，等号不能同时取得，解得，
综上所述，，即实数的取值范围为．
【解析】运用集合交集，补集的运算法则加以计算，即可得到本题的答案；
由条件可得是的真子集，再分集合是否为空集讨论，求出结果即可．
本题主要考查集合的概念与运算、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
21.【答案】解：依题意，
又
所以
当时，，图象开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以在上的最大值为．
当时，，
当且仅当，即时等号成立．
因为，
所以当投入的肥料费用为元时，种植该果树获得的单株最大利润是元．
【解析】用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
分段判断的单调性，求出的最大值即可．
本题考查了函数解析式的求解，分段函数最值的计算，属于中档题．
22.【答案】解：由表示不小于的最小整数，，得，
所以实数的取值范围是；
函数定义域为，而函数在上单调递增，值域为，
因此，即，
所以函数的值域为，
显然，，
由，得，
则有，而时，不等式不成立，则，必有，即，
因此，，解得，
所以实数的取值范围．
【解析】由已知定义即可得的范围；
由已知结合基本初等函数的性质先求出的值域，再由已知建立不等式关系即可得关于的不等式，即可求．
本题以新定义为载体，主要考查了函数值域的求解，属于中档题．
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