2023-2024学年黑龙江省牡丹江重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省牡丹江重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等比数列满足，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是公差不为的等差数列，是与的等比中项，则( )
A. B. C. D. 无法确定
3.已知函数，则在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
5.记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则( )
A. B. C. D.
8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”记，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数，，下列说法中，正确的是( )
A. B. 在单调递增
C. D.
10.已知是数列的前项和，若，，，则下列结论正确的是( )
A. B. 数列为等差数列
C. D.
11.等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件给出下列结论，其中正确的是( )
A. B.
C. 的值是中最大的 D. 的值是中最大的
12.已知数列满足，，则( )
A. 是递减数列 B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若函数的导函数为，且满足，则 ______．
14.已知数列的前项和，的通项公式为______．
15.已知数列满足，，，则 ______．
16.已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列满足：，，数列为等比数列．
求数列的通项公式；
求和：．
18.本小题分
已知数列为等差数列，为的前项和，，．
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，求证：．
19.本小题分
设为实数，函数，．
求的极值；
对于，，都有，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知等差数列满足：，，数列满足，且，．
证明：数列是等比数列；
若数列满足，求的前项和．
21.本小题分
已知等差数列的前项和为，，为整数，且．
求的通项公式；
设数列满足，且数列前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知椭圆的离心率为，点在上，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，．
求椭圆的方程；
若直线，的斜率记为，，求的值；
若，，直线：与在第一象限的交点为，点在线段上，且，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，等比数列中，
有，则，
而，故为正值，
故．
故选：．
根据题意，由等比数列的性质求出的值，进而计算可得答案．
本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查等比数列的性质，考查运算求解能力．
由已知列式求得，再由等差数列的前项和公式求解．
【解答】
解：设等差数列的首项为，公差为，
由是与的等比中项，得，
即，
可得，即，
，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由，得，
则，又，
在处的切线方程为，即．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处切线的斜率，再求出，利用直线方程的斜截式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，由题意可知，．
，
则．
故选：．
设等比数列的公比为，由题意可知，再由已知求得公比，结合等比数列的前项和求得．
本题考查等比数列的性质，考查了等比数列的前项和，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意，且是公差为的等差数列，
所以的首项为，
则，
故，则数列为，公差为的等差数列，且为递减数列，
令，，
即等差数列的前项为正项，从第项开始为负，
故的最大值为．
故选：．
根据是公差为的等差数列，求出的通项公式，判断其为等差数列，确定该数列为递减数列，确定其正项，即可求得答案．
本题考查等差数列的通项公式及数列与函数的综合问题，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：设，则，
所以，
令，
则，
令，函数单调递减，
令，函数单调递增，
所以，
即的最小值为．
故选：．
由题意，设，则，利用导数讨论函数的性质求出即可．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，数列、都是等差数列，显然两个数列都不是常数列，
由于，显然两个数列都不是常数列，
由等差数列前项和公式，所以不妨令为常数，且，
所以时，，．
，，．
，
故选：．
根据题意，利用，结合等差数列的前项和公式，构造出符合题意的一组与的通项公式，再进行计算即可．
本题考查等差数列的前项和，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的新定义问题，属于较易题．
根据已知的递推公式推出从到与后两项之间的关系，即可求出的值．
【解答】
解：因为，
所以2018
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，，
．
，
由在上单调递增，且，
，函数在上单调递增；
令，
令，，
，
函数在上单调递减，
，
，
．
综上可得：只有ABD正确．
故选：．
由，，利用导数的运算法则可得，利用单调性即可判断出的正误；令，，，利用导数研究函数的单调性即可判断出的正误．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：若，，
当时，，可得，故A正确；
当时，由，可得，
两式相减可得，
由，即，即有，故C正确；
由，可得，由，，即，数列不为等差数列，故B错误；
由数列的奇数项和偶数项均为公差为的等差数列，
则，故D正确．
故选：．
由数列递推式可得，可判断；当时，将换为，两式相减可得数列的奇数项和偶数项均为公差为的等差数列，可判断和；由等差数列的求和公式，以及数列的分组求和，计算可判断．
本题考查数列的通项与前项和的关系，以及等差数列的通项公式、求和公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，由，则，又，则，则，，即，即A正确；
对于，由于，则有，即选项B正确；
对于、，由，，可得：的值是中最大的，即选项C错误，选项D正确．
故选：．
根据题意，由，则，又，则，则，，即，由此分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：依题意，由，，
可得，
数列是单调递增数列，故选项A错误；
，
，
，
数列是单调递增数列，
恒成立，故选项B正确；
又，
，
，
，
，
，故选项C错误；
依题意，由两边取倒数，
可得，
则，
，
又，
，故选项D正确．
故选：．
根据题干已知条件运用作差法可得，即可发现数列是单调递增数列，从而判断选项A的正确性；再根据题干递推公式及逐项代入即可推导出恒成立，判断出选项B的正确性；对于选项C：先根据题干递推公式可得，再逐项代入以及指数的运算即可判断选项C的正确性；对于选项D：先将递推公式进行转化，再运用裂项相消法，最后根据不等式的性质即可证明不等式是否成立，判断选项D的正确性．
本题主要考查数列根据递推公式推导数列某项的取值问题，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，转化与化归思想，迭代法，放缩法，裂项相消法，指数的运算，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，得，
令，则，解得，
所以，．
故答案为：．
由求导计算公式求出，再代入求出即可．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：已知数列的前项和，
当时，，
又，
则．
故答案为：．
结合数列递推式求通项公式即可．
本题考查了数列的递推式，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意知，，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
当时，，
所以．
故答案为：．
由题意，根据等比数列的定义可知数列是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式可得，利用累乘法求得，令，计算即可求解．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：首项，且，
可得，
即有得，
可得数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
即，
可得
，
即，
由，可得的最大值为．
故答案为：．
对数列的递推式两边取倒数，结合等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及不等式的性质，即可得到所求最大值．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及不等式的解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，，数列为等比数列，
所以，，则，
即是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则．
．
【解析】首先求出，，即可求出等比数列的通项公式，从而求出的通项公式；
利用分组求和法计算可得．
本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，还考查了等差数列与等比数列的求和公式的应用，分组求和方法的应用，属于中档题．
18.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为，
则，
化简整理，得，
解得，
，．
证明：由可得，
，
则
，，
故对任意恒成立．
【解析】利用等差数列通项公式和求和公式列方程组求出基本量，然后可得通项；
根据裂项相消法求和，然后可证．
本题主要考查等差数列的基本运算，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了方程思想，转化与化归思想，裂项相消法，等差数列的通项公式的运用，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】解：，，
令，解得或，
令，解得，
故在递增，在递减，在递增，
故，，
若对于，，都有，
则只需，
结合在递减，在递增，
故，
而，令，解得，
令，解得，故在递增，故，
故，解得，
即的取值范围是．
【解析】求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值；
问题转化为，根据函数的单调性分别求出的最小值和的最大值，得到关于的不等式，解出即可．
本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
20.【答案】解：证明：因为，且，
所以，即，所以，
又因为，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列；
解：等差数列满足，，所以，
由可知，，所以，
因为，
所以 ，
，
，得：
，
所以．
【解析】依题意，对原式进行化简，根据等比数列的定义证明即可；
依题意，利用等差数列的通项公式，写出数列的通项，再结合中的结论，得出数列的通项，从而得到数列的通项，然后利用数列的错位相减法求和，即可求出数列的前项和．
本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：设等差数列的公差为．
由，可知，，即，
即，
因为为整数，所以，
结合不等式组解得，
所以．
由可知，
当为偶数时，
又，即对任意偶数都成立，所以．
同理，当为奇数时，，
又，即对任意奇数都成立，易知当奇数时．函数取最小值，
故．
综上，．
【解析】利用等差数列的性质，进一步求出数列的通项公式；
利用分类讨论思想和恒成立问题的应用求出结果．
本题考查的知识要点：等差数列的性质，数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为椭圆离心率，所以，
解得，
所以椭圆方程为；
因为直线：和直线：都与圆相切，
所以，即，是的两根，
将两边平方，可得，
所以，
又因为点在上，
所以点，即，
所以；
设直线的方程为，
联立方程，消去得，
因为点在直线上，所以且，
所以，
整理得：，
联立方程，可得，所以，
又因为，
所以，
因为点在上所以，代入上式继续化简得，
所以，
由可知，，
所以解得，所以此时点在第三象限，不合题意，舍去，，
所以直线过定点．
【解析】由函数的离心率求得，得出椭圆的方程；
因为直线和直线都与圆相切，得出，是方程的两根，根据根与系数关系得出结果；
设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，得到关于的方程，是方程的根．方程与直线方程联立，求出，由，求出为定值，得出结果．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
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