2023-2024学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定形式是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知集合，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数是奇函数，当时，，若，则( )
A. B. C. D.
5.今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为( )
A. B. C. D. 无法确定
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在区间内的零点分别是，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的对称中心为
C. 的对称轴为直线
D. 的单调递增区间为
10.已知函数的部分图象如图所示则( )
A.
B.
C.
D.
11.已知函数，则( )
A. 是偶函数
B. 是增函数
C. 若，则
D. ，，且，
12.已知函数，，则( )
A. 的值域为
B. 若有个零点，则或
C. 若有个零点，则或
D. 若的个零点分别为：，，，则的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. ______．
14.在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，线段绕点顺时针方向旋转后，得到线段，则点的坐标为______．
15.为了得到函数的图象，只需把函数的图象向______平行移动______个单位．
16.若关于的方程有解，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知全集为，，．
求；
若，且，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，，且，求的最大值；
已知正数，满足，求的最小值．
19.本小题分
求的值；
已知，求的值．
20.本小题分
年卡塔尔世界杯刚结束不久，留下深刻印象的除了精彩的足球赛事，还有灵巧可爱、活力四射的吉祥物，中文名叫拉伊卜，在全球范围内收获了大量的粉丝，开发商设计了不同类型含有拉伊卜元素的摆件、水杯、钥匙链、体恤衫等某调查小组通过对该吉祥物某摆件官网销售情况调查发现：该摆件在过去的一个月内以天记每件的销售价格单位：百元与时间单位：天的函数关系式近似满足为正常数，日销售量件与时间的部分数据如表所示：
天
件
已知第天的日销售收入为百元．
求的值；
给出以下四种函数模型：
，，，
请根据上表中的数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量单位：件与时间天的变化关系，并求出该函数解析式；
求该吉祥物摆件的日销售收入单位：百元的最小值．
21.本小题分
在中，且．
求角的大小；
设函数．，当时，求的值域．
22.本小题分
已知函数的定义域为．
求的取值范围；
若，，当时，函数在上的值域为，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
直接根据并集的定义求解即可．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由全称命题的否定，可知原命题的否定为，．
故选：．
根据全称命题的否定为特称命题求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意得，，
则，
若，且，
则，，
所以，．
故选：．
先求出集合，然后结合集合相等的条件即可求解．
本题主要考查了集合相等条件的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：函数是奇函数，，则，
又当时，，
即有，解得，
所以．
故选：．
根据给定条件，利用奇函数的性质求出值作答．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意可得，，，，
，，
，
．
故选：．
由题意可知，，再利用作差法比较大小即可．
本题主要考查了不等式的实际应用，考查了作差法比较大小，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，解得或舍去，
则．
故选：．
由已知利用诱导公式可求得的值，进而利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数在上单调递减，函数在上都单调递增，
在上都单调递减，
则，，在上最多一个零点，
又，则，
又，则，
又，则，
故．
故选：．
根据给定条件，利用函数的单调性结合零点存在性定理判断，，所在区间作答，即可得出答案．
本题考查函数零点的判定定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
由知，当时，，
因为函数在上存在最值，所以，解得，
当时，，
因为函数在上单调，
所以，即，其中，
解得，
所以，解得，
又，所以，，
即的取值范围是．
故选：．
先利用辅助角公式化简，再结合正弦函数的最值与单调性进行分析，即可得解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，熟练掌握辅助角公式，正弦函数的单调性与最值是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，
的最小正周期为，A正确；
令，得，的对称中心为，B错误；
，得，的对称轴方程为，C正确；
令，得，
的单调递增区间为，D正确．
故选：．
化简得，利用余弦函数的周期性、对称性及单调性对各个选项逐一判断即可．
本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦函数的周期性、对称性及单调性的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据函数的图象：，故，所以；
当时，，故，，
整理得；
当时，，故；
当时，，故，，
当时，解得，故
故选：．
直接利用函数的图象求出函数的解析式．
本题考查的知识要点：函数的图象和性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：的定义域为，
且，
是奇函数，A错误；
又在上单调递增，B正确；
或，C错误；
是上单调递增的奇函数，
，，且，
即，D正确．
故选：．
依题意，可得，可判断其奇偶性，判断，通过分离常数，可判断其单调性，判断，进而可判断．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：作出的图象，可得时，，
时，，且，则的值域为，故A正确；
由，即，
当或时，有一个零点；
当或时，有两个零点，
故B错误，C正确；
当时，由，，
则，，故D正确．
故选：．
作出的图象，可得函数的值域，结合直线的平移，可得的零点，可得正确结论．
本题考查分段函数的图象和值域、零点，考查数形结合思想和推理能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，所以点在单位圆上，
且点在角的终边所在的直线上，
则点的初始位置坐标，
线段绕点顺时针转动后，点在角的终边所在的直线上，
所以点所在位置的坐标为．
故答案为：．
首先弄清顺时针旋转为负角，再利用三角函数定义确定点的坐标．
本题考查任意角三角函数的定义，属于中档题．
15.【答案】左；
【解析】解：，
故答案为：左，．
将，从而可得答案．
本题考查函数的图象变换，掌握图象的平移变换规律是解决问题的关键，属于基础题．
16.【答案】
【解析】由题意可得，
即有解．
令，则．
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，解得．
故答案为：．
参变分离，把方程化为，令，结合基本不等式，求出范围，建立不等式，解出即可．
本题考查方程的根以及基本不等式的应用，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，，
所以或，
所以；
因为，所以，
又因为，
时，，解得；
时，，解得，
综上，实数的取值范围是．
【解析】根据补集与交集的定义，计算即可；
根据得，由此列出不等式组求得实数的取值范围．
本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．
18.【答案】解：因为，，且，当且仅当，时取等号，
所以，
故的最大值为；
因为正数，满足，
所以，
则，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
【解析】由已知直接利用基本不等式即可求解；
由题意得，，，然后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：，
；
，
，
，
又，则，
，
，，
．
【解析】利用两角和与差的正切公式，即可得出答案；
利用两角和与差的三角函数公式可得，，可得，，即可得出答案．
本题考查两角和与差的三角函数公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意得，解得．
由题表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而，，中的函数为单调函数，故只能选，即．
由题表可得，，
即，解得，
故
由知，，
，，
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，，当时，，
当，时，取得最小值，且；
当时，是单调递减的，
当时，取得最小值，且．
综上所述，当，时，取得最小值，且．
故该商品的日销售收入的最小值为百元．
【解析】根据第天该商品的日销售收入为元，代入即可得解；
据所给数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，而，，中的函数为单调函数，故只能选，再代入题表数据即可得解；
由可得，分类讨论求最小值即可．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：因为且，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以，即，
因为，
所以．
，
当时，，
所以．
则的值域为．
【解析】依题意，可得，从而可求得角的大小；
先利用和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及辅助角公式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：因为的定义域为，所以恒成立，
即恒成立，
因为，当时等号成立，
所以，即的取值范围为．
因为函数在其定义域上为增函数，令，则为增函数，
因为，，所以在上为增函数，
因为在区间上单调递增，且值域为，
所以，即，
所以在上有两个不等实根，
则，解得，
所以的取值范围为．
【解析】由的定义域为，可得恒成立，再利用参变分离结合函数的性质求出的取值范围即可；
根据条件，可得在区间上单调递增，再又在上有两个不等实根，据二次函数的性质求出的取值范围即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求出参数的取值范围，考查了转化思想和方程思想，属难题．
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