2023-2024学年青海省西宁市高三（上）期末数学试卷（文科）(含解析）

2023-2024学年青海省西宁市高三（上）期末数学试卷（文科）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是，则它的表面积是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知的内角，，的对边分别是，，，面积为，且，则角的值为( )
A. B. C. D.
5.已知是奇函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉图是图抽象出来的图形，在图中，圆中各个三角形为等腰直角三角形若向图随机投一点，则该点落在白色部分的概率是( )
A. B. C. D.
8.已知函数有三个零点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外这六大古镇中，其中在苏州境内的有处某家庭计划今年暑假从这个古镇中挑选个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为( )
A. B. C. D.
10.已知函数是奇函数，且，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为，则( )
A. B.
C. D.
11.圆关于直线对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
12.已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，且点到准线的距离为，的垂直平分线与准线交于点，点为坐标原点，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知抛物线：经过点，则抛物线的准线方程是______．
14.已知，是第三象限角，则的值为______．
15.已知实数，满足不等式组则的最大值为______．
16.已知一个体积为的球内切于直三棱柱即与三棱柱的所有面均相切，底面的中有，：：，则该直三棱柱的外接球即使所有顶点均落在球面上的表面积为______．
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
信阳市旅游部门为了促进信阳生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙，丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传该平台邀请部分曾在这三家民体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：
丙家民宿“综合满意度”评分：
，，，，，，，，，
甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：
甲 乙 丙
平均数
中位数
根据以上信息，回答下列问题：
表中的值是，的值是；
设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别为，试比较甲乙丙方差的大小；
根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由至少从两个方面说明．
18.本小题分
已知各项为正数的等差数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
19.本小题分
正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．
求证：平面；
求四面体的体积．
20.本小题分
已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行．
求函数的单调区间；
若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点
求椭圆的方程；
设不过原点的直线：，与该椭圆交于、两点，直线、的斜率分别为、，满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
22.本小题分
在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程是．
在直角坐标系中，若直线经过点且与圆和圆的公共弦所在直线平行，求直线的极坐标方程；
若射线与圆的交点为，与圆的交点为，线段的中点为，求的周长．
23.本小题分
已知．
求不等式的解集；
在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
所以，虚部为．
故选：．
先结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的概念即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．
本题主要考查并集的运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意可知，该几何体是球的，设球的半径为，
该几何体的体积是，
，
，
该几何体的表面积为．
故答案为：．
由题意可知，该几何体是球的，再结合球的体积公式和表面积公式求解即可．
本题主要考查了简单几何体的三视图，考查了球的体积和表面积公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，所以，
则，
所以，
又，则．
故选：．
根据题意，由三角形的面积公式结合余弦定理，代入计算，即可得到结果．
本题主要考查了三角形的面积公式，考查了余弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数是奇函数，满足，
即，化简为，得，，
此时，函数的定义域为，成立．
故选：．
根据奇函数的定义，即可求解参数的值．
本题考查了函数的奇偶性的定义，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由已知条件可得，，
因此，．
故选：．
利用向量的数量积的运算法则，求解即可．
本题考查向量的数量积的求法，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：设圆的半径为，如图设与交于，设的中点为，连接，．
则，设，则，故，
而题设中空白部分的面积为，
故点落在白色部分的概率是．
故选：．
计算出白色部分对应的面积后根据几何概型的概率公式可求概率．
本题考查几何概型相关知识，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：令，
则，
当或时，函数递增，当时，函数递减，
又，
，
的大致图像如图：
故．
故选：．
令，求其导数，研究其性质，结合图像即可得到结论．
本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：从这个古镇中挑选个去旅游的可能情况有种情况，
只选一个苏州古镇的概率为．
故选：．
应用组合数求出所有可能情况数，应用古典概型的概率求法求概率即可．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由是奇函数，则，，又，可得，
当，，则，不合题设；
当，，则，故A；
所以，
将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，故．
故选：．
根据题设有，再结合求得，最后根据图象平移写出解析式．
本题考查的知识要点：函数的性质，函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
由已知求得圆心坐标，代入直线方程，可得，再由基本不等式求最值．
【解答】
解：由圆，得圆心坐标为，
又圆关于直线对称，
，即，得，
又，，．
当且仅当时上式等号成立．
的最小值是．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由抛物线：的方程可得焦点，直线方程为，
设为，设在轴上方，由抛物线的对称性可知，在轴下方时，也相同，
由抛物线的性质可得，可得，代入抛物线的方程可得，
即，可得，且的中点，
即，
所以直线的方程为，
令，可得，
即，
所以．
故选：．
由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，由题意可得的横坐标，代入抛物线的方程，可得的纵坐标，求出的斜率及的中点的坐标，进而求出线段的中垂线的的方程，令，可得点的纵坐标，进而求出的面积．
本题考查抛物线的性质的应用及线段的中垂线的求法，三角形面积的求法，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：抛物线：经过点可得，即，
可得抛物线的方程为，准线方程为．
故答案为：．
把点代入抛物线方程，解方程可得，求得抛物线的准线方程；
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，是第三象限角，
所以，
，
则．
故答案为：．
由已知结合同角基本关系即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，，由，得，
由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，
有最大值为．
故答案为：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可设内切球半径为，外接球半径为，内切圆、外接圆半径为，，
则，解得，
要使该球内切于一个直三棱柱，则当且仅当球半径与底面三角形内切圆半径相等，此时棱柱的高恰为球半径的倍，
，，
：：，设，，
在中由余弦定理得，解得，
，
由内切圆半径公式得，解得，
，
在中由正弦定理得，解得，
要使直三棱柱内接于一个球，当且仅当两全等的底面位于距球心距离相同且平行的两个小圆上，显然该两个小圆距球心的距离应为棱柱高的一半，
平面与球心间的距离，且其所在小圆的半径即为其本身外接圆的半径，
由球的垂径定理得，
球的表面积为，
故答案为：．
根据题意，建立直三棱柱内切球和与直三棱柱的高与底之间的关系，结合余弦定理和正弦定理，分别求出内切圆、外接圆半径为，，要使直三棱柱内接于一个球，平面与球心间的距离，即可得出直三棱柱的外接球即使所有顶点均落在球面上的半径，利用求得表面积公式，即可得出答案．
本题考查棱柱的结构特征和球的表面积与体积、圆的基本性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：根据题意，甲家民宿的“综合满意度”评分依次为：、、、、、、、、、，
则，
丙家民宿的“综合满意度”评分从小到大依次为：、、、、、、、、，
其中位数，
故，；
根据题意，乙的评分数据在分到分之间波动，甲的数据在和分之间波动，
由折线图，乙的波动小于甲的波动；
而丙的数据在到分之间波动，
则有，
推荐乙，理由乙的方差最小，数据稳定，平均数比丙高．答案不唯一
【解析】根据题意，由平均数和中位数公式分析，求出、的值，即可得答案；
根据题意，分析甲乙丙的波动情况，由方差的定义分析可得答案；
根据题意，结合平均数、方差的定义分析可得答案．
本题考查数据的平均数、方差的计算，涉及折线图，属于基础题．
18.【答案】解：设的公差为，由，即，
解得或舍去，
，
数列的通项公式；
由可知：，
；
，
，
，
数列的前项和，．
【解析】由题意可知根据等差数列通项公式及性质：，求得，即可求得其通项公式；
根据等差数列前项和公式求得，求得，采用“裂项法”即可求得数列的前项和．
本题考查等差数列的通项公式和前项和公式的求解，解题时要认真审题，注意“裂项法”的合理运用，注意解题方法的积累，属于中档题．
19.【答案】解：证明：在正四棱锥中为底面中心，连接，，
则与交于点，且，平面，平面，
所以，又，，平面，所以平面．
因为，，所以，
又为上靠近的三等分点，所以，
则．
【解析】连接，，则与交于点，由正四棱锥的性质得到，平面，则，即可得证；
首先求出，再由为上靠近的三等分点，得到，所以．
本题考查线面垂直的证明，四面体的体积的求解，属中档题．
20.【答案】解：函数的定义域为，，
又曲线在点处的切线与直线平行
所以，即，
由且，得，即的单调递减区间是
由得，即的单调递增区间是．
由知不等式恒成立可化为恒成立，
即恒成立
令，
当时，，在上单调递减．
当时，，在上单调递增．
所以时，函数有最小值
由恒成立
得，即实数的取值范围是．
【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．
求出函数的导数，结合切线方程求出的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
问题转化为恒成立，令，根据函数的单调性求出的范围即可．
21.【答案】解：依题意，
可得，解得，，
所以椭圆的方程是；
当变化时，为定值，
证明如下：
由，得，，
可知：，
设，，
则，，
直线、的斜率分别为，，且，
，得，
可得：，
经检验满足．
故当变化时，为定值．
【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．
利用已知条件，进行求解即可；
联立直线与椭圆方程，设，，可得，进行求解即可．
22.【答案】解：由圆的参数方程，则，由，则，即，
由圆的极坐标方程，两边同乘可得，
由，则，
可得，故圆与圆的公共弦所在直线的方程为，其斜率为，
由直线与两圆公共弦所在直线平行，且直线过，则：，
化简可得：，由，则．
由射线，由，则射线：，
由圆，可得，
代入，则，化简可得，解得，可得；
由圆，可得，
代入，则，化简可得，解得，可得．
由为线段的中点，则，
故的周长．
【解析】根据圆的参数方程以及极坐标方程的转化，可得直角坐标系下的方程，求得两圆公共弦所在直线方程，结合点斜式方程，可得答案．
利用直线的极坐标方程与直角坐标系下的方程互化，联立直线与圆的方程，求得点坐标，进而取得中点坐标，结合两点之间距离公式，可得答案．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式，三角形的周长，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
23.【答案】解：当时，，
当时，，
当时，，
则当时，由得，得，即，此时．
当时，由得，得，即，此时．
当时，由得，得，即，此时．
综上，即不等式的解集为．
不等式组等价为，
作出不等式组对应的平面区域如图：则，，
由，得，即，
由，得，即，
则阴影部分的面积．
【解析】根据绝对值的意义，表示成分段函数，然后解不等式即可．
作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，根据三角形的面积公式进行求解即可．
本题主要考查绝对值不等式的解法以及二元一次不等式表示区域，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，是中档题．
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