(共22张PPT)
5.3.1 平行线的性质
七年级下
人教版
1. 掌握平行线的三个性质，并能应用它们进行简单的推理论证；
2. 了解平行线的性质和判定的区别和联系.
学习目标
重点
难点
你能说说平行线的判定有几种方式吗？
同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行.
条件
结论
反过来怎么说？它还成立吗？
新课引入
两条平行线平行
同位角？
内错角？
同旁内角？
条件
结论
新知学习
画两条平行线 a//b，画一条截线 c 与这两条平行线相交，度量所形成的 8 个角的度数，把结果填入下表：
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
b
1
2
a
c
5
6
7
8
3
4
探究
∠1， ∠2， ，∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？
b
1
2
a
c
5
6
7
8
3
4
猜想：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
再任意画一条截线 d，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？
b
1
2
a
c
5
6
7
8
3
4
d
仍然成立
如图，若直线 m，n 不平行，直线 l 与这两条平行线相交. 观察度量出的8个角的度数，同位角还相等吗？
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数 105.66° 74.34° 105.66° 74.34°
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数 83.53° 96.47° 83.53° 96.47°
两直线不平行，同位角不相等
归纳
一般地，平行线具有性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
符号语言：
∵a∥b，
∴∠1 =∠2.
a
b
思考
上一节，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”．类似地，你能由性质1，推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗
如果直线 a∥b，那么内错角∠2 与∠3 有什么关系？
a
b
推理：∵ a∥b (已知)
∴∠1 = ∠2 (两直线平行，同位角相等).
又∵∠1 = ∠3 (对顶角相等)，
∴∠2 =∠3 (等量代换).
a
b
归纳
这样，我们就得到了平行线的另一个性质：
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
符号语言：
∵a∥b，
∴∠2 =∠3.
a
b
思考
如果直线 a∥b，那么同旁内角∠2 与∠4 有什么关系？
推理：∵ a∥b (已知)
∴∠1 = ∠2 (两直线平行，同位角相等).
又∵∠1 +∠4 = 180° (邻补角定义)，
∴∠2 +∠4 = 180°.
a
b
归纳
平行线的另一个性质：
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
符号语言：
∵a∥b，
∴∠2 +∠4 = 180°.
a
b
归纳
平行线的性质：
性质 1：
两直线平行，同位角相等.
性质 2：
两直线平行，内错角相等.
性质 3：
两直线平行，同旁内角互补.
平行线的判定和性质的区别和联系
联系：平行线的判定和性质反映了角的数量关系和直线的位置关系之间的相互转换.
区别：平行线的判定以两直线平行为结论，即由两角相等或互补得到两直线平行，是由数量关系得到位置关系；平行线的性质以两直线平行为条件，即由两直线平行得到两角相等或互补，是由位置关系得到数量关系.
归纳
例1 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
A
B
C
D
解：因为梯形上、下两底AB与DC互相平行，
根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠A 与∠D 互补,∠B 与∠C 互补.
于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°，
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°.
所以梯形的另外两个角分别是 80°，65°.
1.如图，直线 a∥b，∠1 = 54°，∠2、∠3、∠4 各是多少度？
解：∠2 = ∠1 = 54°(对顶角相等)；
∵a∥b
∴∠3 =180°- ∠2 =180°- 54°= 126°
(两直线平行，同旁内角互补)；
∠4 =∠2 = 54°(两直线平行，内错角相等).
a
b
随堂练习
2. 如图①是常见的折叠大门，如图②是手工达人小乐仿制的一个简易的折叠门，A，B，C，D都是活动杆的连接处，AF∥ED，AB∥CD，若活动杆CD与立柱ED的夹角的度数为65°，则此时活动杆AB与立柱AF的夹角的度数为__________．
65°
图①
图②
3. 如图，直线 AB∥CD，直角三角板的直角顶点 P 在直线 CD 上，若∠CPE = 56°，则∠BFN 的度数是 __________.
分析：∠CPE = 56°
→∠PEF = 56°
→∠EFP = 34°
→∠BFN = 34°
34°
4.一辆拖拉机经过一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行. 第一次拐的∠B 等于142°，第二次拐的∠C 是多少度？为什么？
解：∵AB∥CD (已知)，
∴∠B =∠C = 142° (两直线平行，内错角相等).
两直线平行
性质
线的关系
判定
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
角的关系
课堂小结(共24张PPT)
5.3.2 命题、定理、证明
七年级下
人教版
1. 通过具体实例，了解命题、定理的意义；
2. 结合具体实例，会区分命题的条件和结论，会判断一个命题是真命题还是假命题；
3. 知道证明的意义和证明的必要性；
4. 了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.
学习目标
重点
难点
重点
难点
新课引入
前面，我们学过一些对某一件事情作出判断的语句，例如：
(1) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
(2) 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
(3) 对顶角相等；
(4) 等式两边加同一个数，结果仍是等式.
这些语句有什么特点？
像这样判断一件事情的语句，叫做命题.
新知学习
归纳
注意：只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.
探究
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
(1) 如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；
(2) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
(3) 如果一个数的平方等于 9，那么这个数是 3.
都是“如果……那么……”的形式.
归纳
命题由题设和结论两部分组成. 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
命题
题设
已知事项
结论
由已知事项推出的事项
数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
例如，上面命题(1)中，“两条直线都与第三条直线平行”是题设，“这两条直线也互相平行”是结论.
有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它们写成“如果……那么……”的形式.
例如，命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.
例1 下列语句，哪些是命题？哪些不是？
(1) 过直线 AB 外一点 P，作 AB 的平行线.
(2) 经过直线 AB 外一点 P ，可以作一条直线与 AB 平行吗？
(3) 经过直线 AB 外一点 P，有且只有一条直线与这条直线平行.
(4) 若 |a| = a，则 a < 0.
例2 把命题“同位角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式 __________________________________________________________________________
其中____________________________________________是题设；______________________________是结论.
2、把命题“邻补角互补”改写成“如果…那么…”的形式
_________________________________________________________
其中_________________是题设；___________________是结论.
如果两条直线被第三条直线所截且同位角相等，那么这两条直线互相平行
两条直线被第三条直线所截且同位角相等
这两条直线互相平行
如果两个角是邻补角，那么这两个角互为补角
两个角是邻补角
这两个角互为补角
探究
观察下列命题，你能发现这些命题有什么不同的特点吗？
命题1：如果一个数能被 4 整除，那么它也能被 2 整除.
命题2：如果两个角互补，那么它们是邻补角.
命题1、3 是正确的命题，命题2、4 是错误的命题.
命题3： 如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；
命题4： 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
归纳
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.
假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.
例3 判断下列命题的真假.
(1) 如果两个数的和为 0，这两个数互为相反数；
(2) 如果这两个角互补，两个角是邻补角；
(3) 内错角相等，两直线平行.
(4) 相等的角是对顶角
(1) 真命题；(2)假命题；(3)真命题；(4)假命题.
归纳
判断真假命题的一般步骤
第一步：判断是否为命题.
第二步：判断该命题是否正确，若正确，则为真命题；若错误，则为假命题.
在前面，我们学过的一些图形的性质，都是真命题. 其中有些命题是基本事实，如“两点确定一条直线”“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.
还有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”等，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理. 定理也可以作为继续推理的依据.
你还能想出一些学过的定理吗？
思考
补角的性质：同角或等角的补角相等.
余角的性质：同角或等角的余角相等.
对顶角的性质：对顶角相等.
探究
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
如何证明 “在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”？
例4 如图，已知直线 b∥c，a⊥b，求证 a⊥c.
1
2
b
c
a
证明：
∵ a⊥b (已知)，
∴∠1 = 90° (垂直的定义).
∵b∥c (已知)，
∴∠1 =∠2 (两直线平行，同位角相等).
∴∠2 =∠1 = 90° (等量代换).
∴ a⊥c (垂直的定义).
证明中的每一步推理都要有依据，不能“想当然”.这些根据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例:如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角.
O
C
B
A
1
2
1.如图，直线 l1∥l2，l3⊥l4，有三个命题：
①∠1 +∠3 = 90°，② ∠2 +∠3 = 90°，③∠2 =∠4，
下列说法中，正确的是 ( )
A
l1
l2
l3
l4
3
1
2
4
A. 只有 ① 正确
B. 只有 ② 正确
C. ① 和 ③ 正确
D. ①②③ 都正确
随堂练习
2.判断下列语句是否是命题，如果是命题再判断真假，正确的打“√”错误的打“×”.
1、若 |a| = a，则 a < 0. （ ）
2、两直线平行，同位角相等. （ ）
3、如果|a|=|b|，那么a=b. （ ）
4、明天是否有雨？ （ ）
5、若a∥b，b∥c，那么a∥c. （ ）
6、垂线段最短. （ ）
×
√
×
√
√
否
3.已知：如图，DC//AB，DF平分∠CDB，BE平分∠ABD.
求证：∠1 = ∠2.
A
B
C
D
E
F
1
2
证明 ∵DC//AB（ ）
∴∠ABD=∠CDB.（ ）
又 ∵DF平分∠CDB，（ ）
BE平分∠ABD，（ ）
∴∠1= ∠ ，（ ）
∠2= ∠_____.（ ）
∴∠1=∠2.（ ）
已知
两直线平行，内错角相等
已知
已知
CDB
角平分线的定义
ABD
角平分线的定义
等量代换
A
B
C
D
E
F
1
2
4.举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab＝0，则a＋b＝0.
(3) 大于 90° 的角是钝角；
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
(3) 180° 的角大于 90°，但 180° 不是钝角，而是平角．
命题
命题的定义：判断一件事情的语句.
命题的组成：题设和结论.
命题的分类：真命题、假命题
命题、定理、证明
定理
证明
它们的正确性是经过推理证实的，
这样得到的真命题叫做定理.
一个命题的正确性需要经过推理才能
作出判断，这个推理过程叫做证明.
课堂小结
