(共31张PPT)
6.1 第1课时 算术平方根
七年级下
人教版
1. 了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根；
2. 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的算术平方根.
学习目标
重点
难点
3.会用计算器求算术平方根.
4.掌握算术平方根的估算及大小比较.
重点
难点
新课引入
问题：学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为 25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
分析：∵( )2 = 25
∴这个正方形画布的边长应取 __________ dm.
5
5
小欧还要准备一些面积如下的正方形画布，请你帮他把这些正方形的边长都算出来：
正方形的面积 1 9 16 36
边长
1
3
4
6
上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.
a
a2
算术平方根：
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. a 的算术平方根记为： ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数.
规定：0 的算术平方根是 0，即 = 0.
新知学习
一 算术平方根：
思考
1. 被开方数 a 可以是负数吗？
2. 算术平方根 可以是负数吗？
不可以，因为任意一个数的平方都不可能是负数.
即 a 是一个非负数. 即a≥0
不可以，由算术平方根的定义可得正数 x = ，即 > 0，又 = 0，所以 也是一个非负数. 即
归纳
具有双重非负性：（ 即： ）
(1) 被开方数 a 是非负数;
(2) 非负数 a 的算术平方根是非负数.
负数不存在算术平方根.
例1 判断以下各式是否有意义，为什么？
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
有意义
无意义
有意义
有意义
例2 求下列各数的算术平方根：
(1) 100 (2) (3) 0.0001
解：(1) 因为 102 = 100，所以100 的算术平方根为 10，即 = 10.
(2)因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 .
(3) 因为0.012 = 0.0001，所以0.0001 的算术平方根为 0.01 ，即
= 0.01.
被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 这个结论对所有正数都成立.
能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？
思考
你知道这个大正方形的边长是多少吗？
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的 4 个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 dm2 的大正方形.
设大正方形的边长为 x dm，则
x2 = 2.
由算术平方根的意义可知
x =
所以大正方形的边长是 dm.
小正方形的对角线的长即为大正方形的边长.
小正方形的对角线的长是多少呢？
有多大呢？
二 算术平方根的估算及大小比较
因为 12=1，22=4，
所以 1 < < 2；
因为1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，
所以 1.4 < < 1.5；
因为1.412 = 1.9881，1.422 = 2.0164，
所以 1.41 < < 1.42；
因为1.4142 = 1.999396，1.4152 = 2.002225，
所以 1.414 < < 1.415；
对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小.
如此进行下去，可以得到 更精确的近似值. 事实上
=1.414213562373…，它是一个无限不循环小数.
归纳
无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.
实际上，许多正有理数的算术平方根(例如、 、 等)都是无限不循环小数.
例3 估算 的近似值(精确到0.01).
解：因为 12=1，22=4，
所以 1 < < 2；
因为1.72 = 2.89，1.82 = 3.24，
所以 1.7 < < 1.8；
因为1.732 = 2.9929，1.742 = 3.0276，
所以 1.73 < < 1.74；
因为1.7322 = 2.999824，1.7332 = 3.003289，
所以 1.732 < < 1.733；所以≈1.73
这种估算算术平方根的方法叫做“夹逼法”.
归纳
夹逼法估计 的近似值
(1)确定 的整数部分：求出 夹在两个连续非负整数 m，n (m(2)确定 的小数部分：从整数 m 开始，逐步加 0.1，并求其平方，采用与(1)类似的方法确定 的十分位上的数；再用同样的方法确定其他数位上的数，直到能按照精确度估计近似值为止(若要求精确到百分位，估算需计算到千分位，再用四舍五入法确定百分位的值).
三 用计算器求正有理数的算术平方根
大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根
(或其近似值).
例4 用计算器求下列各式的值：
(1) ； (2) (精确到0.001).
解：(1)依次按键 ，
显示：56.
∴ .
=
3136
注意：不同品牌的计算器，按键顺序有所不同.
(2)依次按键 ，
显示：1.414213562.
∴ .
=
2
计算器上显示的1.414213562是的近似值
下面我们来看引言中提出的问题：宇宙飞船离开地球进入地面附近轨道的速度要大于第一宇宙速度 v1 (单位：m/s)，而小于第二宇宙速度 v2 (单位：m/s). v1，v2 的大小满足 v12 = gR， v22 = 2gR，其中 g 是物理中的一个常数 (重力加速度)，g ≈ 9.8 m/s2，R 是地球半径，R ≈ 6.4× 106 m，怎样求 v1，v2 呢？
由v12 = gR， v22 = 2gR，得v1= ，v2= ，其中g ≈ 9.8 ，
R ≈ 6.4× 106.用计算器求v1和v2(用科学记数法把结果写成a×10n的形式，其中a保留小数点后一位)，得
v1≈ ≈ 7.9×103，
v2≈ ≈ 1.1×104，
因此，第一宇宙速度 v1大约是7.9×103m/s，第二宇宙速度 v2大约是1.1×104 m/s.
探究
(1)利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中.
… …
… …
0.25
0.791
2.5
7.91
25
79.1
250
你发现了什么规律？
被开方数的小数点向右或向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位.
(2)用计算器计算 (精确到0.001)，并利用你在(1)中发现的规律说出 ， ， 的近似值，你能根据 的值说出 是多少吗？
用计算器可得 ，得 ， ， ；
根据 的值不能说出 是多少.
例5 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长宽之比为 3 : 2.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块
纸片裁出符合要求的纸片吗？
解：设长方形纸片的长为 3x cm ，宽为 2x cm，
根据边长与面积的关系得
3x 2x = 300 ，
6x2 = 300 ，
x2 = 50，
x = ，
因此长方形纸片的长为 3 cm .
因为 50 > 49，所以 > 7.
由上可知 3 > 21，即长方形纸片的长应该大于 21 cm.
因为 = 20，所以正方形纸片的边长只有 20 cm.
这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答：不能同意小明的说法. 小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
1.判断以下说法是否正确？
(1) 5 是 25 的算术平方根； ( )
(2) 36 的算术平方根是 -6； ( )
(3) 0 的算术平方根是 0； ( )
(4) 0.01 是 0.1 的算术平方根； ( )
(5) 若一个数的算术平方根是 ，则这个数是 5； ( )
(6) 的算术平方根是 9. ( )
6
0.1
0.01
3
随堂练习
2.求下列各数的算术平方根.
(1) 81； (2) 0.0025； (3) ； (4) ； (5) 0.
解：(1) 因为 92 = 81，所以81的算术平方根为 9，即
(2)因为 0.052 = 0.0025 ，所以0.0025的算术平方根是0.05，即
(3) 因为 = ，所以 的算术平方根为，即
9.
解：(4) =因为 =，所以的算术平方根为 ，即
(5)0 的算术平方根是 0，即
.
求一个带分数的算术平方根时，要先把带分数化成假分数.
3.用计算器求下列各式的值：
(1) ；(2) (精确到0.01).
解：(1)依次按键 ，
显示：37.
所以 = 37.
(2)依次按键 ，
显示：2.236067977.
所以 ≈2.24.
1
9
3
6
=
5
=
4.比较下列各组数的大小：
(1) 与 8； (2) 与1 .
解：(1)∵ 65>64，
∴ > ，
即 >8.
(2) ∵ 5<9，
∴ <3，
∴ ，
即.
定 义
算术平方根
性 质
2、双重非负性
有意义的条件：a≥0
课堂小结
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. a 的算术平方根记为： ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数.
规定：0 的算术平方根是 0，即
估算
比较大小
用计算器计算(共20张PPT)
6.1 第2课时 平方根
七年级下
人教版
1. 了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根；
2. 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根.
学习目标
重点
难点
问题1：学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为 25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
分析：∵( )2 = 25.
∴这个正方形画布的边长应取 _____ dm.
5
5
新课引入
问题2：如果一个数的平方等于 25，这个数是多少？
从前面我们知道，这个数可以是5.除了5以外，还有没有别的数的平方也等于25呢？
由于(-5)2 = 25，这个数也可以是-5.
因此，如果一个数的平方等于 25，那么这个数是 5 或 -5.
根据上面的研究过程填表：
如果我们把 ±1、±4、0、±7、± 分别叫做 1、16、0、49、 的平方根，你能类比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？
x2 1 16 0 49
x
±1
±4
0
±7
新知学习
归纳
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根. 这就是说，如果 x2 = a，那么 x 叫做 a 的平方根.
a的平方根记作：± ，读作 “正负根号a”.
例如，5和-5是25的平方根，简记为±5是25的平方根.
求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方. ( a 叫做被开方数 )
如何求一个数的平方根呢？
归纳
我们看到，±5的平方等于25，25的平方根是±5，所以平方与开平方互为逆运算.
根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根.
+1
-1
+2
-2
+3
-3
平方
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
开平方
平方与开平方互为逆运算！
例1 求下列各数的平方根：
(1) 100； (2) ； (3) 0.25； (4) . （5）0 （6）-1
解：(1) 因为 (±10)2 = 100，所以 100 的平方根是 ±10；
(2) 因为 (± )2 = ，所以 的平方根是± ；
(3) 因为 (±0.5)2 = 0.25，所以 0.25 的平方根是 ±0.5；
例1 求下列各数的平方根：
(1) 100； (2) ； (3) 0.25； (4) . （5）0 （6）-1
(4) 因为 = ， ，所以 的平方根是 .
(5)因为02=0，所以0的平方根是0.
(6) 负数没有平方根，所以-1没有平方根.
求一个带分数的算术平方根时
要先把带分数化成假分数.
思考
负数没有平方根
正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根；
0 的平方根是 0；
正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？
思考
、 和 各表示什么意义？
表示 7 的正的平方根 (即算术平方根).
表示 7 的负的平方根.
表示 7 的平方根.
平方根的表示、读法
正数 a 的平方根用“ ”表示，读作“正、负根号 a”.
正数 a 的正平方根，用“ ”表示，读作“根号 a” ，也就是 a 的算术平方根.
正数 a 的负平方根，用“ ”表示，读作“负根号 a”.
归纳
平方根与算术平方根的比较
平方根 算术平方根
区 别 定义不同 如果 ________ 的平方等于 a，这个数就叫做 a 的 ________. 如果一个 _____ 的平方等于 a，那么这个正数就叫做 a 的 ___________.
个数不同 正数 a 的平方根有 _____. 正数 a 的算术平方根有 _____.
表示不同 用 _____ 表示 用 _____ 表示
联系 1. 平方根包括算术平方根，算术平方根是平方根中 _______. 2. 存在条件相同. 只有 ________ 才有平方根和算术平方根. 3. 0 的平方根和算术平方根是 _____. 一个数
平方根
正数
算术平方根
两个
一个
非负根
非负数
0
例2 求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) .
解：(1) 因为 62=36，所以 .
(2) 因为 0.92=0.81 ，所以 .
(3) 因为 ，所以 .
知道一个数的算术平方根，就可以立即写出它的负的平方根，反之也是可以的.
1. 判断以下说法是否正确？错误的加以改正
(1) 1 的平方根是 1； ( )
(2) 2 是 4 的一个平方根；( )
(3) ±5 是 25 的平方根； ( )
(4) -16 的平方根是 -4； ( )
(5) 0.3 是 0.9 的平方根； ( )
(6) 等于 ±2； ( )
(7) ± 等于 ±2. ( )
改：1的平方根是±1
改：-16没有平方根
改：0.3是0.09的平方根
改： 等于2
随堂练习
2. 下列说法正确的是 __________.
① -3 是 9 的平方根；
② 25 的平方根是 5；
③ -36 的平方根是 -6；
④ 平方根等于 0 的数是 0；
⑤ 64 的算术平方根是 8；
⑥ (-4)2 的平方根是 -4.
①④⑤
3.求下列各数的平方根:
（1）169； (2) ； (3) 0.0025； (4)
(2)因为 ,所以 的平方根是 .
(3)因为(±0.05)2 =0.0025,所以0.0025的平方根是±0.05.
解：(1)因为 (±13)2 =169,所以169的平方根是±13.
(4)因为 ,所以 的平方根是 .
4.已知一个正数的两个平方根分别是2a＋1和3－a，a的值如何求？这两个平方根分别是多少？
解：因为一个正数的两个平方根分别是2a＋1和3－a，
所以2a＋1+3－a＝0，解得a＝-4.
所以2a＋1=2×（-4）+1=-7；
3－a=3-（-4）=7
性质
平方根
定义
课堂小结
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根. 这就是说，如果 x2 = a，那么 x 叫做 a 的平方根.
a的平方根记作：± ，读作 “正负根号a”.
正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根；
0 的平方根是 0；
负数没有平方根
