(共29张PPT)
8.2 第1课时 代入消元法
七年级下
人教版
1. 会用代入消元法解二元一次方程组.
2. 了解“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
学习目标
重点
难点
1. 什么是二元一次方程：
2. 什么是二元一次方程组：
一个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程.
新课引入
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
3. 什么是二元一次方程的解：
4. 什么是二元一次方程组的解：
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
新知学习
还记得上一节课中的篮球赛问题吗？我们如何求出所列二元一次方程组的解呢？
问题 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分. 某队在 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜负场数分别是多少？
等量关系：胜的场数＋负的场数＝总场数；
胜场积分＋负场积分＝总积分.
解：设胜 x 场，则负(10－x)场.
2x+(10－x)=16.
解得 x = 6 ，
10－x = 10-6 = 4
答：胜 6 场，负4场.
解：设胜了 x 场，负了 y 场.
x+y=10，①
2x+y=16 ②
y = 10-x ，代入②
2x + (10－x) = 16
二元
一元
消元思想
x + y =10， ①
2x +y = 16 ②
如何解这个二元一次方程组呢？
基本思想 → 消元
解：由 ①，得 y = 10-x
将 ③ 代入 ②，得 2x+ 10-x = 16
解得，x = 6.
将 x = 6 代入③，得 y = 10-6 = 4.
所以原方程组的解是
③
→ 变形(用一个未知数表示另一个)
→ 代入消元
→ 求解
→ 回代求解
→ 写解
y = 4.
x = 6.
探究
归纳
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程. 我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法称为代入消元法，简称代入法.
归纳
思考
1.解这个方程组时，可以先消去 x 吗？
x + y = 10， ①
2x + y = 16 ②
解：由 ①，得 x = 10-y
将 ③ 代入 ②，得 2(10-y)+y =16
解得 y = 4.
将 y = 4 代入③，得 x = 10-4 =6.
所以原方程组的解是
③
y = 4.
x = 6.
→ 变形
→ 代入消元
→ 求解
→ 回代求解
→ 写解
x + y = 10， ①
2x +y =16 ②
2. 能先将 ② 进行变形吗？消去哪个未知数更简便呢？
2x +y =16
2x = 16-y
x =
2x +y =16
y = 16-2x
很明显消去 x 更简便
归纳
解二元一次方程组的步骤：
1. 变形：在已知方程组中选择一个适当的方程，将它的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
2. 代入消元：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.
3. 求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
4. 回代求解：回代求出另一个未知数的值.
5. 写解：把方程组的解表示出来.
6. 检验：即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
①
②
所以这个方程组的解是
把 y=-1代入③，得 x=2.
把③代入②，得 3(y+3)-8y=14.
解：由①，得 x=y+3 .③
例1 用代入法解方程组
解这个方程，得 y=-1.
分析：方程①中 x的系数是1，用含y的式子表示x，比较简便.
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g），两种产品的销售数量（按瓶计算）的比为2:5.某厂每天生产这种消毒液22.5t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
分析：等量关系① 大瓶数：小瓶数＝2：5
等量关系② 大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液＝总生产量
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶
根据题意，可列方程组：
①
②
由 ① 得，y = ③
将 ③ 代入 ② 得：
解得 x= 20000
把x= 20000代入③，得y =50000
所以原方程组的解是
y = 50000.
x = 20000.
答：这些消毒液应该分装20000大瓶、50000小瓶.
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
5x=2y
500x+250y=22 500 000
x = 20 000
y = 50 000
解得 x
变形
解得 y
消去 y
一元一次方程
代入
二
元
一
次
方
程
组
用 代替y，消去未知数y．
解这个方程组时，可以先消去 x 吗？试试看.
思考
由①，得 . ③
解：设这些消毒液应该分装 x 大瓶、y 小瓶.
根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总产量的数量关系，得
①
②
把③代入②，得 .
解这个方程，得 y=50 000.
把 y=50 000代入 ③， 得 x=20 000.
答：这些消毒液应该分装 20 000 大瓶和 50 000 小瓶.
所以这个方程组的解是
1. 解方程组 时，用代入消元法整体消去 4x，得到的方程是 ( )
A. 2y = -2
B. 2y = -36
C. 12y = -36
D. 12y = -2
4x + 5y = 17 ①
4x + 7y = -19 ②
B
随堂练习
2. 小明解二元一次方程组 时写出了四种解法，其中最合适的解法是 ( )
A. 由 ① 得 ，代入 ②
B. 由 ① 得 ，代入 ②
C. 由 ② 得 ，代入 ①
D. 由 ② 得 ，代入 ①
3x - 4y = 5 ①
x - 2y = 3 ②
D
3. 用代入法解下列方程组：
y = 2x - 3，
3x + 2y = 8.
(1)
①
②
解：将 ① 代入②得：
3x + 2(2x - 3) = 8
3x + 4x - 6 = 8
7x = 14
x = 2
将 x = 2 代入①得
y = 2×2 - 3 = 1
∴原方程组的解是
y = 1.
x = 2.
x + y = 5，
2x + 3y = 11.
(2)
①
②
解：由 ① 得，x = 5 - y ③
将 ③ 代入 ② 得：
2(5 - y) + 3y = 11
10 - 2y + 3y = 11
y = 1
将 y = 1 代入③得
x = 5 - 1 = 4
∴原方程组的解是
y = 1.
x = 4.
3x + 2( x - y ) = 8，
2x - (x - y) = -4.
方法一：
解：原方程组化简，得
5x - 2y = 8
x + y = -4
①
②
由 ④ 得 y = - 4 -x ⑤
代入 ③ 得
5x - 2( - 4-x ) = 8
5x +8+ 2x = 8
x = 0
将 x = 0 代入 ⑤ 得
y = -4.
∴原方程组的解是
③
④
y = -4.
x = 0.
(3)
方法二：
解：由 ② 得
x - y = 2x + 4 ③
将 ③ 代入 ① 得
3x + 2( x - y ) = 8，
2x - (x - y) = -4.
3x + 2(2x + 4) = 8
解得 x = 0
将 x = 0 代入 ③ 得
0 - y = 2×0+4
y = -4
∴原方程组的解是
y = -4.
x = 0.
方法二运用了整体代入思想.
①
②
4.有 48 支队 520 名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队 10 人，每支排球队 12 人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
分析：等量关系：① 篮球队+足球队＝48(支)；
② 篮球运动员+足球运动员＝520(人).
由①，得 x=48-y. ③
把③代入②，得10(48-y)+12y=520.
解这个方程，得 y=20.
解：设篮球队有 x 支参赛，排球队有 y 支参赛，
由题意，得
①
②
把 y=20 代入③，得 x=28.
所以这个方程组的解为
答：篮球队有 28 支参赛，排球队有 20 支参赛.
5.张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5 h 后到达县城.他骑车的平均速度为 15 km/h，步行的平均速度为 5 km/h，路程全长 20 km，他骑车与步行各用了多少时间？
分析：等量关系：① 骑车时间+步行时间＝1.5(h)；
② 骑车路程+步行路程＝20(km).
解：设他骑车用了 x h，步行用了 y h，
由题意，得
①
②
由①得 x=1.5-y. ③
把③代入②，得 15(1.5-y)+5y=20.
解这个方程，得 y=0.25.
把 y=0.25 代入③，得 x=1.25.
所以这个方程组的解为
答：他骑车用了1.25 h，步行用了0.25 h.
概念
代入消元法
用代入消元法
解二元一次方程组
的步骤
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法称为代入消元法，简称代入法.
基本思想 → 消元
→ 变形
→ 代入消元
→ 求解
→ 回代求解
→ 写解
课堂小结(共31张PPT)
8.2 第2课时 加减消元法
七年级下
人教版
学习目标
1. 会用代入消元法解二元一次方程组.
2. 选择恰当的方法解二元一次方程组.
3. 了解“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
重点
难点
回顾上节课中的篮球赛问题，我们是如何求出所列二元一次方程组的解的？
x + y = 10
2x + y = 16
解：设胜了 x 场，负了 y 场.
采用代入
消元法
新课引入
x + y = 10
2x + y = 16
①
②
由①得 y =10-x ③
将 ③ 代入 ②，得 2x + 10- x = 16，
解得 x = 6
将 x = 6 代入 ③ 得 y = 10-x=10-6= 4
所以原方程组的解是 x = 6
y = 4
还有其他解法吗？
x + y = 10 ①
2x + y = 16 ②
这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
新知学习
这两个方程中未知数 y 的系数相等！②-①可消去未知数y.
x + y = 10 ①
2x + y = 16 ②
分析：②-①可消去未知数y ，即
②左边 - ①左边 = ②右边 - ①右边，即
2x + y - (x + y) = 16 - 10
解得 x = 6
将 x = 6 代入 ① 得 y = 4
所以原方程组的解是 x = 6
y = 4
① - ②也能消去未知数y，求得x吗？
x + y = 10 ①
2x + y = 16 ②
解：① - ②得 x + y - (2x + y) = 10 - 16
解得 x = 6
将 x = 6 代入 ① 得 y = 4
所以原方程组的解是 x = 6
y = 4
你发现了什么？
含同一未知数的项的系数相等时，把两个方程相减消元.
未知数y的系数互为相反数……
联系上面的解法，想一想怎样解方程组？
3x + 10y = 2.8， ①
15x - 10y = 8. ②
基本思路 → 消元
思考
分析：① + ② 可消去未知数y，即
(3x + 10y) + (15x - 10y) =2.8 +8
解得 x = 0.6
3x + 10y = 2.8， ①
15x - 10y =8. ②
解：① + ②，得 18x = 10.8
解得 x = 0.6
将 x = 0.6 代入 ①，得 y = 0.1
所以原方程组的解是 x = 0.6
y = 0.1
→ 加减消元
→ 求解
→ 代入
→ 写解
你发现了什么？
含同一未知数的项的系数相反时，把两个方程相加消元.
归纳
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
3x + 4y = 16， ①
5x - 6y = 33. ②
例1 用加减法解方程组：
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两个方程不能消元.我们对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等.
解：①×3，得 9x + 12y = 48 ③
②×2，得 10x -12y = 66 ④
③ + ④ 得 19x = 114
x = 6
将 x= 6 代入 ①，得 y =
所以这个方程组的解是 x = 6
y =
3x + 4y = 16， ①
5x - 6y = 33. ②
例1 用加减法解方程组：
→ 加减消元
→ 求解
→ 代入
→ 写解
→ 变形
3x + 4y = 16， ①
5x - 6y = 33. ②
用加减法解方程组：
思考
如果用加减法消去 x 应如何解？解得的结果一样吗？
3x + 4y = 16， ①
5x - 6y = 33. ②
用加减法解方程组：
解：①×5，得 15x + 20y = 80 ③
②×3，得 15x - 18y = 99 ④
③ - ④ 得 38 y = -19
y =
将 y = 代入①，得 x = 6
所以原方程组的解是 x = 6
y =
→ 加减消元
→ 求解
→ 代入
→ 写解
→ 变形
归纳
同一未知数的系数不相等也不互为相反数时，利用等式的性质，使得未知数的系数相等或互为相反数，再使用加减消元法求解.
找同一未知数系数的最小公倍数.
用加减法解二元一次方程组的主要步骤：
1. 变形：利用等式的性质，使得某个未知数的系数相等或互为相反数；
2. 加减消元：通过两式相加 ( 或相减 ) 消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
3. 求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
4. 回代求解：回代求出另一个未知数的值；
5. 写解：把方程组的解表示出来；
6. 检验：把求得的解代入每一个方程看是否成立.
例2 2 台大收割机和 5 台小收割机同时工作 2 h 共收割小麦 3.6 hm2，3 台大收割机和 2 台小收割机同时工作 5 h 共收割小麦 8 hm2．1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
分析：如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和yhm2，
那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1 h共收割小麦(2x+5y) hm2；3台大收割机和2台小收割机同时工作1 h共收割小麦(3x+2y) hm2．由此考虑两种情况下的工作量.
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦 x hm2 和 y hm2 .
根据两种工作方式中的相等关系，得方程组
①
②
②-①，得 11x=4.4.
去括号，得
解这个方程，得 x=0.4.
把 x=0.4 代入①，得 y=0.2.
所以这个方程组的解是
答：1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦0.4 hm2和0.2 hm2.
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
4x+10y=3.6 ①
15x+10y=8 ②
x = 0.4
y = 0.2
解得 x
解得 y
②-①
一元一次方程
11x=4.4
二
元
一
次
方
程
组
两方程相减，
消去未知数y．
1. 用加减法解方程组
6x+7y=－19①
6x-5y=17②
应用( )
A.①-②消去y
B.①-②消去x
C. ②- ①消去常数项
D. 以上都不对
B
随堂练习
4x - 3y = 5， ①
4x + 6y = 14. ②
(1)
解法一：② - ①，得 (4x + 6y) - (4x - 3y) = 14 - 5
解得 y = 1
将 y = 1代入 ①，得 x = 2
所以原方程组的解是 x = 2，
y = 1.
2.用加减法解下列方程组：
解法二： ①-②，得(4x - 3y) - (4x + 6y) = 5-14 解得 y = 1
将 y = 1代入 ①，得 x = 2
所以原方程组的解是 x = 2，
y = 1.
4x - 3y = 5， ①
4x + 6y = 14. ②
(1)
2y + 3z = -4， ①
5y + 6z = -7. ②
解：①×2，得 4y + 6z = -8 ③
② - ③，得 ( 5y + 6z ) - ( 4y + 6z ) = -7 - (-8)
y = 1
将 y = 1 代入①，得 z = -2
所以原方程组的解是 y = 1
z = -2.
(2)
3. 选择合适的方法解下列方程组
4x+y=14， ①
8x+3y=30， ②
由①得， y=14-4x ③
将③代入②，得 x=3
把 x=3代入①，得 y=2，
所以原方程组的解是
x=3，
y=2.
解法一：
(1)
将①×2，得， 8x+2y=28 ③
② – ③，得 y=2，
把y=2代入①，得 x=3.
所以原方程组的解是
x=3，
y=2.
解法二：
4x+y=14， ①
8x+3y=30， ②
(1)
将①×3，得， 12x+3y=42 ③
② – ③，得 x=3.
把x=3代入①，得 y=2.
所以原方程组的解是
x=3，
y=2.
解法三：
4x+y=14， ①
8x+3y=30， ②
(1)
代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同.我们应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法.
4. (日常生活情境·牛奶营养成分)牛奶富含碳水化合物、蛋白质等营养物质，已知100 g某品牌牛奶中含有碳水化合物和蛋白质共8.4 g，其中碳水化合物的含量比蛋白质多1.6 g，求100 g该牛奶中碳水化合物和蛋白质的具体含量分别是多少？
解：设100 g牛奶中含有碳水化合物x g，含有蛋白质y g，根据题意，
得
①＋②得，2x＝10，解得x＝5，将x＝5代入①得，y＝3.4，
∴原方程组的解为
答：100 g牛奶中含有碳水化合物5 g，蛋白质3.4 g.
概念
加减消元法
用加减消元法
解二元一次方程组
的步骤
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
→ 变形
→ 检验
→ 加减消元
→ 求解
→ 回代求解
→ 写解
课堂小结
