(共20张PPT)
8.3 第1课时 和差倍分问题与配套问题
七年级下
人教版
1. 能分析简单问题中的数量关系，建立方程组解决问题.
2. 掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤.
学习目标
重点
难点
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣，其中下卷第 31 题“雉兔同笼”流传尤为广泛，飘洋过海流传到了日本等国.
新课引入
“雉兔同笼”题如图：
今有雉 (鸡) 兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
总数
头
脚
x
y
35
2x
4y
94
x + y = 35
2x + 4y = 94.
如何解这个方程组呢？
新知学习
解：设有鸡 x 只，有兔 y 只. 由题意，得
x + y = 35 ①
2x + 4y = 94. ②
由 ① 得 x = 35 - y ③
将 ③代入 ②，得：2(35 - y) + 4y = 94，
解得 y = 12.
把 y = 12 代入 ①，得 x = 23.
原方程的解是 x = 23
y = 12
答：有鸡 23 只，有兔 12 只.
代入消元法
加减消元法
解：设有鸡 x 只，有兔 y 只. 由题意，得
x + y = 35 ①
2x + 4y = 94. ②
①×2 得 2x + 2y = 70 ③
② - ③ 得：2y = 24
解得 y = 12
把 y = 12 代入 ①，得 x = 23.
原方程的解是 x = 23
y = 12
养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18~20 kg，每只小牛1天约需饲料7~8 kg.你能通过计算检验他的估计吗？
探究
分析：设每头大牛和小牛1天各约用饲料 x kg和 y kg.
根据两种情况的饲料用量，找出等量关系，列方程组
解得
这就是说，每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg.因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高.
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
例1 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺. 绳长、井深各几何？
题目大意：用绳子测量水井的深度. 如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多 5 尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多 1 尺. 绳长、井深各是多少尺？
思考
题中有哪些等量关系？
绳长的 - 井深 = 5
绳长的 - 井深 = 1
等量关系一
等量关系二
解：设绳长 x 尺，井深 y 尺，由题意，得
解得 x = 48
y = 11
答：绳长 48 尺，井深 11 尺.
解法一：
等量关系： 3(井深 + 5) = 绳长
4(井深 + 1) = 绳长
解：设绳长 x 尺，井深 y 尺，由题意，得
3(y + 5) = x
4(y + 1) = x
解得 x = 48
y = 11
答：绳长 48 尺，井深 11 尺.
解法二：
1. 一只蛐蛐 6 条腿，一只蜘蛛 8 条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共 10 只，共有 68 条腿，若设蛐蛐有 x 只，蜘蛛有 y 只，则列出方程组为
____________.
6x + 8y = 68
x + y = 10
随堂练习
解：设每头牛值“金”x 两，每头羊值“金”y 两. 由题意得
5x + 2y = 10 ①
2x + 5y = 8 ②
解得： x =
y =
答：牛值“金” 两，羊值“金” 两.
2. 今有牛五、羊二，直金十两;牛二、羊五，直金八两. 牛、羊各直金几何？
3. 父亲给女儿出一道题，5 年前父亲的年龄是女儿的 15 倍，15 年后，父亲的年龄是女儿的 2 倍多 6 岁. 那么现在这对父女的年龄分别是多少岁？
解：设现在这对父女的年龄分别是 x 岁和 y 岁.
据题意得
解得
x - 5 = 15(y – 5)
x + 15 = 2(y + 15) + 6
x = 35
y = 7
答：现在这对父女的年龄分别是 35 岁和 7 岁.
4.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品．每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质．若病人每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
乙原料
甲原料
0.5 单位蛋白质，1 单位铁质
0.7 单位蛋白质，0.4 单位铁质
病人每餐需要35 单位蛋白质，40 单位铁质
甲原料x 乙原料y 营养品
蛋白质 35
铁质 40
0.5x
0.7y
x
0.4y
0.5x + 0.7y = 35
x + 0.4y = 40
设：每餐甲、乙原料各需x克和y克.
解：设每餐需要甲原料 x 克、乙原料 y 克，
根据题意可得
解得
答：每餐需要甲原料 28 克，乙原料 30 克.
0.5x + 0.7y = 35
x + 0.4y = 40
x = 28
y = 30
课堂小结
列二元一次方程组解应用题的一般步骤(共18张PPT)
8.3 第2课时 几何问题与行程问题
七年级下
人教版
1. 归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
2. 在解决问题的过程中，学会借助图表分析问题，感受化归思想.
学习目标
重点
难点
新课引入
上节课我们学习了运用二元一次方程组解决和差倍分问题和配套问题，这节课我们继续学习运用二元一次方程组建立数学模型来解决实际应用题.
新知学习
例1 小颖家离学校 4800 米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她跑步去学校共用 30 分钟. 已知小颖在上坡时的平均速度是 6 千米/时，下坡时的平均速度是 12 千米/时. 问小颖上、下坡各多少千米？
等量关系：
1.上坡路程 + 下坡路程 = 4.8(km) 2.上坡时间 + 下坡时间 = 0.5(h) .
一 行程问题
解：设上坡路程为 x km，下坡路程为 y km.
据题意得：
解得：
因此上坡1.2 km，下坡3.6 km.
方法一：
解：设上坡需 x小时，下坡需 y 小时.
据题意得：
解得：
因此上坡1.2 km，下坡3.6 km.
方法二：
0.2×6 = 1.2 (km)，0.3×12 = 3.6(km)
注意：在计算过程中要保持单位统一
探究
二 几何问题
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2．现要把一块长200m，宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4？
A
B
C
D
分析：如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.此时设AE=x m, BE=y m,根据题意列出方程.
解：设AE=x m, BE=y m,根据题意，得
解得
x＋y＝200，
100x:(2×100y)＝3:4，
x＝120
y＝80
答： 过长方形土地的长边上离一端120米处,把这块地分为两个长方形.较大一块地种甲种作物,较小一块地种乙种作物.
解法2：如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形DFEC和EFAB.此时设CE为 x 米，BE为 y 米,根据题意列出方程.
x + y＝100
200 x: (2×200 y) ＝3:4
答： 过长方形土地的短边上离一端 60 米处，把这块地分为两个长方形.较大一块地种甲种作物，较小一块地种乙种作物.
解得
x=60
y=40
A
B
C
D
E
┓
y
x
F
解：设CE为 x 米，BE为 y 米，由题意得：
思考
你能归纳列方程组解决实际问题的一般步骤吗？
7.写出答案
4.列方程组
5.解方程组
6.检验
1.一个长方形，它的长减少4cm，宽增加2cm，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面积相等，求原长方形的长与宽．
解：设原长方形的长为xcm，原长方形的宽为ycm.根据题意得
x-4=y+2
xy=(x-4)(y+2)
解得
x=8
y=2
答：原长方形的长是8cm，宽是2cm．
随堂练习
2. (日常生活情境·粽子包装)如图，粽香公司的粽子礼盒有两种形式，都装有大小相同口味不同的八小盒粽子，图①的包装形式刚好装下，图②的包装形式中间会留边长3 cm的小正方形，求图②这种正方形礼盒的边长.
解：设小盒粽子的长为x cm，宽为y cm，
根据题意，得 ，解得
∴正方形礼盒的边长为x＋2y＝33(cm)．
3. 甲、乙两人从相距 36 km 的两地相向而行. 如果甲比乙先走 2 h ，那么他们在乙出发 2.5 h 后相遇；如果乙比甲先走 2 h，那么他们在甲出发 3 h 后相遇. 甲、乙两人的速度各是多少？
分析：设甲、乙两人的速度分别是 x km/h， y km/h.
甲行走的路程 乙行走的路程 甲、乙两人行走的路程之和
甲比乙先走
乙比甲先走
3x
2.5y
(2+2.5)x + 2.5y=36
(2 + 2.5)x
(2 + 3)y
3x + (2 + 3)y=36
由题意可得方程： (2 + 2.5)x + 2.5y = 36，
3x + (2 + 3)y = 36.
解得： x = 6
y = 3.6
答：甲的速度是 6 km/h，乙的速度是 3.6 km/h.
解：设甲、乙两人的速度分别是 x km/h， y km/h.
4.甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇，试问两人的速度各是多少？
分析：
同时出发，同向而行
同时出发，相向而行
解 设甲、乙的速度分别是x km/h，y km/h.根据题意与分析图示的两个相等关系，得
2x – 2y=4，
x+ y=4.
解得
x=5，
y=3.
答：甲的速度是5 km/h，乙的速度是3 km/h.
3.两人骑自行车在400米的环形跑道上匀速行驶，当他们同时同地按相反的方向行驶时，每20秒相遇一次；当他们同时同地按同一方向行驶时，每100秒相遇一次，问两人的速度各是多少？
解：设两人中较快者的速度为x米/秒，较慢者的速度为y米/秒，根据题意，得
解得
20（x＋y）＝400，
100（x－y）＝400，
答：两人的速度分别为12米/秒、8米/秒．
x＝12
y＝8
列方程组解决实际问题的一般步骤
7.写出答案
4.列方程组
5.解方程组
6.检验
课堂小结(共18张PPT)
8.3 第3课时 销售、购买、利润问题
七年级下
人教版
1.学会运用二元一次方程组解决销售、购买、利润问题.
2.进一步体验方程组解决实际问题的过程.
学习目标
重点
同学们，你的生活中有哪些必要开支？
新课引入
1. 某工厂去年的总产值是 x 万元，今年的总产值比去年增加了 20%，则今年的总产值是 __________ 万元；
2. 若该厂去年的总支出为 y 万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出是 __________ 万元；
3. 若该厂今年的利润为 780 万元，那么由 1，2 可得方程 __________________________.
(1 + 20%)x
(1 - 10%)y
(1 + 20%)x - (1 - 10%)y = 780
新知学习
温馨提示
经验提升：
增长 ( 降低 ) 率问题：关系式为 a(1 ± x) = b ( 其中：a 表示基数 (原量)；x 表示增降率；b 表示目标数 (增长/下降后的量)；增时为加，降时为减 ).
在计算过程中保持单位的统一
利润 = 售价-进价 ； 利润率 = ×100%
售价 = 进价+利润 = 进价（1+利润率 ）
实际售价 = 标价（原价）×
总利润 = 总销售额 - 总成本 = 单件利润×销量 = (单件售价 - 单件进价)×销量
销售问题常用基本公式
总结
如图，长青化工厂与 A，B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从 A 地购买一批每吨 1 000 元的原料运回工厂，制成每吨8 000 元的产品运到 B 地.已知公路运价为 1.5 元/(t·km)，铁路运价为 1.2 元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费15 000 元，
铁路运费 97 200 元.这批产品的销
售款比原料费与运输费的和多多少元？
探究
分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关.设制成x t 产品，购买 y t 原料.根据题中数量关系填写下表．
产品 x 吨 原料 y 吨 合计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
1.5×20x
1.5×10y
1.5(20x+10y)
1.2×110x
1.2×120y
1.2(110x+120y)
8 000x
1 000y
解：设制成x t 产品，购买 y t 原料.由上表，列方程组
解得
因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多
2 400 000-(400 000 + 112 200)= 1 887 800(元)．
从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具.用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义.
实际问题
数学问题
(二元一次方程组)
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
设未知数,列方程组
解方程组
代入法
加减法
(消元)
检验
x - y = 200
(1+20%)x - (1-10%)y = 780
例1 某公司去年的利润 ( 总收入 - 总支出 ) 为 200 万元. 今年总收入比去年增加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？
总收入 总支出 利润 ( 万元 )
去年
今年
x
y
200
(1+20%)x
(1-10%)y
780
增加 20%
减少 10%
解：设去年的总收入为 x 万元，总支出为 y 万元，
则今年的总收入 = (1 + 20%)x 万元，
今年的总支出 = (1 - 10%)y 万元.
由题意得：
解得
x - y = 200
(1+20%)x - (1-10%)y = 780
x = 2000
y = 1800
答：去年的总收入为 2000 万元，总支出为 1800 万元.
温馨提示
图表分析有利于理清题中的未知量，已知量以及等量关系，条理清楚.
1.有一个商店把某件商品按进价加20%作为定价，可是总卖不出去；后来老板按定价减20%以96元出售，很快就卖掉了，则这次生意盈亏情况是（ ）
A.赚6元 B.不亏不赚 C.亏4元 D.亏24元
C
随堂练习
2.某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；该商品按定价的八五折销售8件与将定价降低35元销售12件所获利润相等. 该商品的进价、定价分别是多少
解: 设该商品定价是 x 元，进价 y 元.根据题意可列出方程组
解得
答: 该商品定价是200元，进价155 元.
x - y = 45
8(0.85x-y) = 12(x-35-y)
x = 200
y = 155
3.某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元（利润=销售价格-进货价格）？
解：设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是
y元.由题意得
5(x - 30)+(y-40)=76
6(x - 30) + 3(y-40) =120
x = 42
y = 56
解得
答: A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是
56元.
课堂小结
实际问题
数学问题
(二元一次方程组)
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
设未知数,列方程组
解方程组
代入法
加减法
(消元)
检验
