8.4三元一次方程组的解法 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
8.3 三元一次方程组
的解法
七年级下
人教版
1. 了解三元一次方程组的概念.
2. 能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想．
学习目标
重点
难点
新课引入
前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法.有些有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决.实际上，有不少问题含有更多未知数，这时又该怎么解决呢？
新知学习
小明手头有 12 张面额分别是 1 元、2 元和 5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍．求 1 元、2 元和 5 元的纸币各多少张.
分析：自然的想法是，设 1 元、2 元和 5 元的纸币分别为 x 张、y 张和 z 张，根据题意，可以得到下面三个方程：
x + y + z = 12，
x +2y + 5z = 22.
x = 4y，
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
x + y + z = 12，
x +2y + 5z = 22.
x = 4y，
思考
这个方程组有什么特点？
①含三个未知数；②每个方程中含未知数的项的次数都是1；
③有三个方程.
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
归纳
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
例1 判断下列方程组是否是三元一次方程组.
√
×
总结：组成三元一次方程组的三个一次方程中，不要求每一个一次方
程都含有三个未知数．
思考
1. 解二元一次方程组的方法有哪些？
(1) 代入消元法 (2) 加减消元法
2. 解二元一次方程组的基本思路是什么？
消元转化
二元一次方程组
一元一次方程
转化
消元
加减消元法和代入消元法能否用来解三元一次方程组？
x + y + z = 12 ①
x + 2y + 5z = 22 ②
x = 4y ③
让我们看前面列出的三元一次方程组
仿照二元一次方程组的代入法，我们可以把③分别代入①②，得到两个只含y、z的方程：
它们组成方程组
解得：
x + y + z = 12 ①
x + 2y + 5z = 22 ②
x = 4y ③
把 y=2 代入③，得 x=8.
因此，这个三元一次方程组的解为
答：1元、2元和5元纸币分别为 8 张、2 张、2 张．
从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是一样的.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
例1 解三元一次方程组
3x + 4z = 7 ①
2x + 3y + z = 9 ②
5x - 9y+ 7z = 8 ③
分析：方程①只含 x，z，因此，可以由②③消去 y，得到一个只含 x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.
3x + 4z = 7 ①
2x + 3y + z = 9 ②
5x - 9y+ 7z = 8 ③
解： ②×3+③ ， 得 11x +10 z = 35 ④
①与④组成方程组 3x +4 z = 7
11x + 10z = 35
解这个方程组，得
把 x=5，z=-2 代入②，得 2×5+3y-2=9，
所以
因此，这个三元一次方程组的解为
解三元一次方程组的一般步骤：
(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中求出最后一个未知数的值；
(4)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起．
归纳
例2 在等式 y=ax2+bx+c 中，当 x=-1 时，y=0；当 x=2 时，y=3；当 x=5 时，y=60，求 a，b，c 的值.
分析：把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.
解：根据题意，得三元一次方程组
②-①，得 a+b=1. ④
③-①，得 4a+b=10. ⑤
① ② ③
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
所以
即 a，b，c 的值分别为 3，-2，-5.
把 代入①，得 c=-5.
1.解方程组
x + y = 3 ①
y + z = 5 ②
z + x = 4 ③
解法1：：③ - ②，得 x - y = -1 ④
① + ④，得 2x = 2
所以 x = 1.
把 x = 1 代入方程 ①、③，分别得
y = 2，z = 3
x = 1，
所以，原方程组的解是 y = 2，
z = 3 .
随堂练习
1.解方程组
x + y = 3 ①
y + z = 5 ②
z + x = 4 ③
解法2：①+②+③ 得 2(x + y + z ) = 12 ④
即，x + y + z = 6 ⑤
⑤ - ①，得 z = 3
⑤ - ②，得 x = 1
⑤ - ③，得 y = 2
所以，原方程组的解是 x = 1，
y = 2，
z = 3 .
2.若 |x - 3y + 5| + |3x + y - 5| + (x + y - 3z)2 = 0，求 x，y，z 的值.
分析：如果几个非负数之和为零，那么这几个非负数分别为零，列一个三元一次方程组， 解方程组即可求得 x，y，z 的值.
解：由题意得
x - 3y + 5 = 0
3x + y - 5 = 0
x + y - 3z = 0
解得：
x = 1
y = 2
z = 1
则 x、y、z 的值分别是 1，2，1.
3.幼儿营养标准中要求一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A，B，C三种食物，下表给出的是每份食物A，B，C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）.
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（1）如果设食谱中A，B，C三种食物各为x， y，z份，请列出方程组，使得A，B，C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求.
解：（1）设食谱中A，B，C三种食物各为x、y、z份，由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得方程组
5x+5y+10z=35， ①
20x+10y+10z=70， ②
5x+15y+5z=35. ③
(2)解该三元一次方程组，求出满足要求的A，B，C的份数.
②-①×4，③-①，得
-10y-30z=-70， ④
10y-5z=0. ⑤
④+⑤，得 z=2
5x+5y+10z=35， ①
20x+10y+10z=70， ②
5x+15y+5z=35. ③
所以，原方程组的解是 x=2,
y=1,
z=2.
答：该食谱包含A种食物2份，B种食物
1份，C种食物2份.
1. 解三元一次方程的基本思路是什么？
课堂小结
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
解三元一次方程组的一般步骤：
(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中求出最后一个未知数的值；
(4)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起．