(共21张PPT)
1.4.1 单项式与
单项式相乘
八年级下
北师版
1.掌握单项式与单项式相乘的运算法则.
2.能够灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.
学习目标
难点
重点
幂的运算的三个性质 (m、n都为正整数)：
同底数幂的乘法法则：am·an=am+n
幂的乘方法则：(am)n=amn
积的乘方法则：(ab)n=anbn
同底数幂的除法法则：am÷an=am-n(a ≠0，且m>n)
新课引入
京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画. 如下图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有 m 的空白.
新知学习
（1）第一幅画的画面面积是多少平方米？ 第二幅呢？ 你是怎样做的？
第一幅：1.2x·x=1.2x2
根据乘法的交换律和结合律
第二幅：1.2x· x =1.2× ×(x·x)= x2
（2）若把图中的 1.2x 改为 nx，其他不变， 则两幅画的面积又该怎样表示呢 ？
第一幅：nx·x=nx2
第二幅：nx· x=(n× )· ( x·x)= nx2
（1）3a2b·2ab3 及 xyz·y2z 等于什么？ 你是怎样计算的？
3a2b·2ab3
= 3×2·（a2·a）·（b·b3）
= 6a3b4
xyz·y2z
= x·（y·y2）·（z·z）
= xy3z2
想一想
单项式与单项式相乘
有理数的乘法与同底数幂的乘法
乘法交换律和结合律
转化
想一想
（2）根据前面的计算，想一想如何进行单项式的计算？
单项式与单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
温馨提示
（1）系数相乘；
（2）相同字母的幂相乘；
（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
例1 计算：（1） ； （2） - 2 a2b3 · ( - 3a) ；
（3） 7 xy 2z·(2xyz) 2.
解：（1） ；
（2）- 2 a2b3·( - 3a) = [ ( - 2)·( - 3) ] ( a2 a)·b3
= 6 a3b3 ；
（3）7 xy 2z·(2xyz) 2=7xy2z ·4x2y2z2= 28x3y4z3 ；
单项式相乘的结果仍是单项式
1. 在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；
2. 注意按顺序运算有乘方，先算乘方 ；
3. 不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式；
4. 此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
归纳
例2 计算：0.5x2y · - (-2x)3·xy3.
解：
原式
1.在单项式乘法与加减法的混合运算中，实数的运算顺序同样适用；
2.如果单项式的系数既有小数又有分数，通常把小数化为分数，再进行计算；
3.计算结果有同类项的要进行合并；
4.如果是带分数系数形式的，要写成假分数形式．
归纳
例3 已知－2x3m＋1y2n与7xm－6y－2－n的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．
解：因为－2x3m＋1y2n与7xm－6y－2－n的积与x3y是同类项，
所以m2＋n＝7.
故n＝3， m=2 .
方法总结：单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项的定义，列出一元一次方程求出参数的值，然后代入求值即可．
所以2n-2-n＝1且3m＋1＋m-6=3.
2.一个长方体的长为2×103 cm，宽为1.5×102 cm，高为1.2×102 cm，则它的体积是_____________．
3.6×107 cm3
1.若(ambn)·(a2b)=a5b3，则m+n=( )
A.8 B.7
C.6 D.5
D
随堂练习
答：这间屋子的面积是210a2平方厘米.
3.小唯的步长为a厘米，他量得一间屋子长15步、宽14步，这间屋子的面积是多少平方厘米？
解∶(15·a)·(14·a)=210a (平方厘米）
4.计算：
（1）3x2y·(-2xy3); (2)(-5a2b3)·(-4b2c)；
解：原式=[3·(-2)]·(x2·x)·(y·y3)
=-6x3y4；
解：原式=[(-5)· (-4)] · a2· (b3· b2) · c
=20a2b5c ；
(3) 3x2 ·5x3 ； (4)4y ·(-2xy2)；
解：原式=(3×5)(x2·x3)
=15x5；
解：原式=[4×(-2)]x·(y·y2)
=-8xy3；
解：原式 =
5.一家住房的结构如图所示，房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是a元/m2，那么购买所需地砖至少需要多少元？(计算时不扣除门、窗所占的面积)
4y
x
y
2y
4x
2x
卧室
卫生间
厨房
客厅
4y
x
y
2y
4x
2x
卧室
卫生间
厨房
客厅
解：由题意可知：客厅的面积为(2x·4y)m2,厨房的面积为(x·2y)m2,卫生间的面积为(x·y)m2,所以需要铺地砖的面积为2x·4y+x·2y+x·y=11xy m2；
则购买地砖需要花费11xya 元.
注意
法则
单项式与
单项式相乘
1.计算时,要注意符号问题；
2.不要出现漏乘现象；
3.运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减；
4.对于混合运算，注意最后应合并同类项
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
课堂小结(共21张PPT)
1.4.2 单项式与多项式相乘
七年级下
北师版
1.掌握单项式与多项式相乘的运算法则.
2.能够灵活地进行单项式与多项式相乘的运算.
学习目标
难点
重点
新课引入
宁宁也作了一幅画， 所用纸的大小如图所示， 她在纸的左、右两边各留了 m 的空白，这幅画的画面面积是多少？
方法一， 可以先表示出画面的长与宽， 由此得到画面的面积为
x(mx – x)
方法二， 也可以用纸的面积减去空白处的面积， 由此得到画面的面积为
x·mx – 2·x· x
x(mx – x)
x·mx – 2·x· x
乘法分配律
怎么计算的呢？
想一想
新知学习
ab·(abc + 2x) 及 c2·(m + n – p) 等于什么？ 你是怎样计算的？
ab·(abc + 2x) = ab·abc+ab·2x
= a2b2c+2abx
乘法分配律
c2·(m + n – p) = c2m+c2n – c2p
想一想
如何单项式与多项式相乘的运算？
归纳
单项式与多项式的乘法法则
单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
x(mx – x)
x·mx – 2·x· x
注意：（1）依据是乘法分配律
（2）积的项数与多项式的项数相同.
例1 计算：（1） 2ab (5ab2+3a2b ) ；（2） ；
（3） 5 m2n (2n+3m-n2 ) ； （4） 2 ( x+y2z+xy2z3 )·xyz．
解：（1） 2ab (5ab2+3a2b ) =2ab·5 ab2+2ab·3a2b
=10a2b3+ 6a3b2；
（2）
（3） 5 m2n (2n+3m-n2 )
=5m2n·2n+5m2n·3m +5m2n· ( -n2)
=10m2n2+15m3n - 5m2n3；
解：（4）2 ( x+y2z+xy2z3 )·xyz
= (2x +2y2z+2xy2z3) ·xyz
=2x·xyz+2y2z·xyz+2xy2z3·xyz
=2x2yz+2xy3z2+2x2y3z4 ．
例2 先化简，再求值：x2(3 - x) + x(x2 - 2x) + 1，其中 x = -3.
分析：直接将已知数值代入式子求值运算量大，一般是先化简，再将数值代入化简后的式子求值.
解：原式 = 3x2 - x3 + x3 - 2x2 + 1 = x2＋1.
当 x = -3 时，
原式 = (-3)2 + 1 = 9 + 1 = 10.
你答对了吗？
在计算时要注意先化简然后再代值计算．
温馨提示
1. 注意活用乘法分配律，将积的问题转化为和的问题，不要漏项；
2. 注意确定积的每一项的符号时，既要看单项式的符号，又要看多项式每一项的符号；
3. 注意单项式与多项式相乘，其积仍是多项式且积的项数与多项式的项数相同．
A
B
C
3a+2b
2a-b
4a
例3 如图，一块长方形基地用来种植A、B、C 3种不同的蔬菜，求这块地的面积.
解：由题意得，
4a[(3a + 2b) + (2a - b)]
= 4a(5a + b)
= 4a·5a + 4a·b
= 20a2 + 4ab.
答：这块地的面积为20a2 + 4ab.
1.要使x(x + a) + 3x - 2b = x2 + 5x + 4成立，则a、b的值分别为( )
A. a = -2，b = -2
B. a = 2，b = 2
C. a = 2，b = -2
D. a = -2，b = 2
C
随堂练习
2.今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：-3xy(4y-2x-1) = -12xy2+6x2y＋□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写 ( )
A. 3xy
B. -3xy
C. -1
D. 1
A
A
3. 如果一个三角形的底边长为 2x2y + xy - y2，高为 6xy，则这个三角形的面积是 ( )
A. 6x3y2 + 3x2y2 - 3xy3
B. 6x3y2 + 3xy - 3xy3
C. 6x3y2 + 3x2y2 - y2
D. 6x3y + 3x2y2
4.计算：
(1)(-4x)·(2x2+3x-1)；
解：(1)原式 = (-4x)·(2x2)+(-4x)·3x+(-4x)·(-1)
= -8x3-12x2+4x；
(2)原式 =
(2)
(3)－2x2·(xy+y2)-5x(x2y-xy2).
解：原式 = ( -2x2) ·xy+(-2x2) ·y2+(-5x) ·x2y+(-5x)·(-xy2)
= -2x3y+(-2x2y2)+(-5x3y)+5x2y2
= -7x3y+3x2y2.
5.先化简，再求值：-a(a2 - 2ab - b2) - b(ab + 2a2 - 4b2)，其中 a = 2，b= .
解：-a(a2 - 2ab - b2) - b(ab + 2a2 - 4b2)
= -a3 + 2a2b + ab2 - ab2 - 2a2b + 4b3
= -a3 + 4b3.
当 a = 2，b = 时，
原式 = -23＋4× = -8 =
6．已知(-2x)2·(3x2 - mx - 6) - 3x3 + x2中不含 x 的三次项，试确定 m 的值．
解：原式 = 4x2·(3x2 - mx - 6) - 3x3 + x2
＝12x4－4mx3－24x2 - 3x3 + x2
＝12x4 - (4m + 3)x3 - 23x2.
∵原式不含x3项，所以4m + 3 = 0.
∴m =
7.(1)若 a2 + a - 1 = 0，求 a3 + 2a2 + 2022 的值；
解：由 a2 + a - 1 = 0，得a2 + a = 1.
a3 + 2a2 + 2020 = a(a2 + a) + a2 + 2022 = a2 + a + 2022 = 2023.
(2) 如果 x + x2 + x3 +x4 = 0，求x + x2 + x3 + … + x2023 + x2024 的值．
解：x + x2 + x3 + … +x2023 + x2024
= (x + x2 + x3 + x4) + (x5 + x6 + x7 + x8) + … + (x2021 + x2022 + x2023 + x2024)
= (x + x2 + x3 + x4) + x4(x + x2 + x3 + x4) + x8(x＋x2＋x3＋x4)＋…＋x2020(x＋x2＋x3＋x4)
= 0.
注意
法则
单项式与
多项式相乘
1.要按顺序相乘，不要漏项或增项.
2.单项式系数为负数时，要注意每一项乘积的符号，相乘时,每一项都包括它前面的符号.
3.积是一个多项式，其项数与原多项式的项数相同.
单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加.
课堂小结(共20张PPT)
1.4.3 多项式与
多项式相乘
七年级下
北师版
1.理解并掌握多项式与多项式的乘法运算法则.
2.能够运用多项式与多项式的乘法运算法则进行计算.
学习目标
难点
重点
1. 单项式乘单项式的法则：
2. 单项式乘多项式的法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
新课引入
那多项式乘以多项式怎么计算呢？
某地区在退耕还林期间，有一块原长m米，宽为a米的长方形林区，长增加了n米，宽增加了b米，请你表示这块林区现在的面积.
m
a
b
n
新知学习
探究
你能用不同的形式表示拼图的面积吗？
m
a
b
n
小明的想法:长方形的面积可以有 4 种表示方式：
( m+a ) (n+b )，n(m+a) +b(m+a)，m(n+b) + a(n+ b) 和mn+mb+na+ba，
从而，(m+a) (n+b) = n(m +a) + b(m+a) =m (n+b)+a (n+b) =mn+mb+na+ba．
你认为小明的想法对吗？
从中你受到了什么启发？
归纳
多项式乘多项式的乘法法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
1
2
3
4
(a+b) (m + n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
例1 计算：
(1)(x ＋ 2)(x - 3); (2) (2x + 5y)(3x - 2y).
解：(x＋2)(x - 3)
=x·x+x·(-3)+2x+2×(-3)
=x2 -3x＋2x -6
=x2 - x -6;
解： (2x + 5y)(3x - 2y)
=2x·3x+2x·(- 2y)+5y·3x+5y·(- 2y)
=6x2 -4xy+15xy-10y2
=6x2 +11xy-10y2.
结果中有同类项的要合并同类项.
计算时要注意符号问题.
例2 计算：
(1)(m - 2n)(m +mn - 3n ); (2) (3x - 2x + 2)(2x + 1).
解(1)：(m - 2n)(m +mn - 3n )
=m·m +m·mn +m·(-3n ) +(-2n)·m +(-2n)·mn +(- 2n)·(-3n )
=m3 + m n - 3mn - 2m n - 2mn + 6n3
=m3 - m n - 5mn + 6n3;
解(2)： (3x - 2x+2)(2x+1)
= 3x ·2x+ (- 2x)·2x+2×2x+3x ·1+ (- 2x)×1+2×1
= 6x3 - 4x +4x+3x - 2x+2
= 6x3 - x +2x+2.
计算时不能漏乘.
温馨提示
需要注意的几个问题:
1.不要漏乘;
2.符号问题;
3.最后结果应化成最简形式.即有同类项要合并同类项
例3 先化简，再求值：(x-2y)(x＋3y)－(2x-y)(x-4y)，其中x＝－1，y＝2.
解：原式＝x2＋3xy-2xy-6y2-(2x2-8xy-xy＋4y2)
＝x2＋xy-6y2-(2x2-9xy＋4y2)
＝x2＋xy-6y2-2x2＋9xy-4y2
＝-x2＋10xy-10y2.
当x＝-1，y＝2时，
原式＝-(-1)2＋10×(-1)×2-10×22＝-1-20-40＝-61.
归纳
多项式乘法与加减法相结合的混合运算，通常先算出相乘的结果，再进行加减运算，运算中特别要注意括号的运用和符号的变化；当两个多项式相减时，“-”后面的多项式通常用括号括起来，这样可以避免运算结果出错．
1.计算(x－1)(2x＋3)的结果是( )
A．2x2＋x－3 B．2x2－x－3
C．2x2－x＋3 D．x2－2x－3
2.下列多项式相乘结果为a2－3a－18的是( )
A．(a－2)(a＋9) B．(a＋2)(a－9)
C．(a＋3)(a－6) D．(a－3)(a＋6)
A
C
随堂练习
3.若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n＝( )
A．1
B．－2
C．－1
D．2
C
3 . 计算:
(1) (2x+1)(x +3); (2) (m+2n)(3n-m);
解:(2x+1)(x+3)
=(2x)·x+(2x)×3+1·x+1×3
=2x2+6x+x+3
=2x2+7x+3;
解：(m+2n)(3n-m)
=m·(3n)+m·(-m)+(2n)·(3n)+(2n)·(-m)
=3mn-m2+6n2-2mn
=6n2-m2+mn
(3)(3x ＋ 1)(x ＋ 2); (4) (x - 8y)(x - y);
解：(3x ＋ 1)(x ＋ 2)
= (3x) ·x＋(3x ) ×2＋1·x +1×2
=3x2＋6x＋x＋2
=3x2＋7x＋2;
解： (x - 8y)(x - y)
=x·x+x·(- y)+(- 8y)·x+(- 8y)·(- y)
=x2 -xy-8xy＋8y2
=x2 -9xy＋8y2;
(5)(x + y)(x2 - xy + y2).
解： (x + y)(x2 - xy + y2)
=x·x2+x·(- xy)+x·y2+ y·x2+ y·(- xy)+ y·y2
= x3-x2y + xy2 + x2y -xy2 + y3
= x3＋y3.
解： (x-y) (x-y)
=x·x+x·(-y)+(-y)·x+(-y)·(-y)
=x2-xy-xy+y2
=x2-2xy+y2
(6) (x-y)2;
4. 化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)-a(a-5b)(a＋3b)，其中 a = -1，b = 1.
当 a = -1，b = 1时，
解：原式 = a·a2+a·(2ab)+a·(4b2)- 2b ·a2- 2b · 2ab- 2b · 4b2 -(a2-5ab)(a＋3b)
= a3-8b3-(a2·a+a2·3b-5ab·a-5ab·3b)
=a3-8b3-a3-3a2b＋5a2b＋15ab2
=-8b3＋2a2b＋15ab2.
原式 = -8× 13 ＋2 × (-1)2 ×1 +15 ×(-1) × 12 = -21.
5.若(x2＋nx＋3)(x2－3x＋m)的乘积中不含x2项和x3项，求m、n的值．
解：原式＝x4－3x3＋mx2＋nx3－3nx2＋mnx＋3x2－9x＋3m
＝x4＋(n－3)x3＋(m－3n＋3)x2＋(mn－9)x＋3m.
则m、n的值分别是6、3.
由题意，得 解得
方法归纳：不含x2项和x3项，则说明合并同类项后，x2项和x3项的系数均为0，由此得方程或方程组求解．本题解法除了直接展开多项式与多项式的乘积外，也可以不用全部展开，只考虑最后所得积中含x2的项和x3的项．
注意
法则
多项式与
多项式相乘
1.不要漏乘；
2.正确确定各项符号；
3.结果要最简
1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
2.（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
课堂小结
