(共18张PPT)
1.5.1 平方差公式的认识
七年级下
北师版
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.
2.灵活应用平方差公式进行简单的计算.
学习目标
难点
重点
从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．
你知道张老汉是否吃亏了吗
新课引入
探究
（1）(x ＋1)( x－1)= ；
（2）(m ＋2)( m－2)= ；
（3）(2m＋1)(2m－1)= ；
（4）(5y ＋z)(5y－z)= .
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
x2 - 12
m2－22
(2m)2 - 12
(5y)2 - z2
新知学习
对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
(a+b) (a-b) =a2-b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差，这个公式叫做平方差公式.
归纳
公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
例1 利用平方差公式计算：
（1）( 5+ 6x) ( 5-6x)； （2）( x-2y) ( x+2y)；
（3）(- m+n) (-m-n)
解：（1）( 5 + 6 x) ( 5- 6 x) = 52 - ( 6 x )2
（2）( x - 2y ) ( x + 2 y ) = x2 - ( 2 y )2
（3）( -m+n ) ( -m-n ) = ( - m )2 - n2
= 25- 36x2；
= x2 - 4y2；
= m2 -n2．
例2 利用平方差公式计算：
（1） ；
（2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )．
解：
（1）
（2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )= (ab)2- 64
= a2b2- 64 ．
归纳
1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
2.右边是相同项的平方减去相反项的平方；
3.公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )
A．(x＋y)(x＋y)
B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x)
D．(x＋y)(－x－y)
C
随堂练习
B
2．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则( )
A．m＝2，n＝3
B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3
D．m＝－2，n＝3
(1)(a+3b)(a- 3b)；
=4a2－9；
=4x4－y2.
解：原式=(2a+3)(2a-3)
=a2－9b2 ；
=(2a)2－32
解：原式=(-2x2 )2－y2
解：原式=a2－(3b)2
(2)(3+2a)(－3+2a)；
(3)(－2x2－y)(－2x2+y).
3.利用平方差公式计算：
(4)（-x+2y)(-x-2y).
解：原式＝ (-x)2 - (2y)2
＝x2 - 4y2.
解：原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)
= 9x2-16-6x2-5x+6
= 3x2-5x-10
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
(5)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
(6)(3x-y)(3x+y)+y(x+y) .
解：原式=(3x)2-y2+xy+y2
= 9x2+xy
4.已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a2－b2的值．
解：把b－c＝2，a＋c＝14相加，得a＋b＝16，
所以a2－b2 ＝(a－b)(a＋b)
＝2×16
＝32.
分析：a2－b2 ＝(a－b)(a＋b)，所以要将已知条件转化出a＋b的形式.
5.探索规律：
(x - 1)(x + 1) = x2 - 1；
(x - 1)(x2 + x + 1) = x3 - 1；
(x - 1)(x3 + x2 + x + 1) = x4 - 1；
……
(1)计算：(x - 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) = ________；
x5－1
(2)试求25＋24＋23＋22＋2＋1的值；
解：∵(2－1)(25＋24＋23＋22＋2＋1)＝26－1，
∴原式＝26－1=63.
(3)试求22020＋22019＋22018＋…＋22＋2＋1的值；
解：∵(2－1)(22020＋22019＋22018＋…＋22＋2＋1)＝22021－1，
∴原式＝22021－1.
(4)由上面的规律解决下列问题：
(a－b)(a＋b)＝_________，
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝_________，
(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝_________，
……
由此得到(a－b)(a2020＋a2019b＋…＋ab2019＋b2020)＝_______________.
a2-b2
a3-b3
a4-b4
a2021-b2021
注意
内容
平方差公式
在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
(a+b)(a-b)=a2-b2
课堂小结(共22张PPT)
1.5.2 平方差公式的应用
七年级下
北师版
1.掌握平方差公式，会进行平方差公式的变形计算.
2.应用平方差公式解决实际问题，培养数学感知能力.
学习目标
难点
重点
新课引入
如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
a
b
图1
(1)请表示图1中的阴影部分的面积.
a2-b2
(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(图2)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
长=a+b; 宽=a-b; 面积= (a+b)(a-b)
(3) 比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？
a
b
图2
a
a
b
b
a + b
a - b
b
b
方法一：
新知学习
a
a
b
b
a2-b2
a
b
b
b
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
a-b
a-b
方法二：
方法三：如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
解： S1＝a2－b2，
S2＝ (2b＋2a)(a－b) ＝(a＋b)(a－b)．
所以S1＝S2＝(a＋b)(a－b)＝ a2－b2.
想一想
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点:
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗
7×9=
8×8=
11×13=
12×12=
79×81=
80×80=
63
64
143
144
6399
6400
两个连续奇数的积等于中间所夹偶数平方减1.
(a＋1)(a－1)＝ a2－1.
例1 计算:(1)103×97. (2)704×696.
解：(1)103×97
=(100+3)(100-3)
=10000-9
=9991.
=100 -3
解：(2)704×696
=(700+4)(700-4)
=490000-16
=489984.
=700 -4
例2 计算:
(1)a2(a＋b)(a－b)+a2b2. (2)(2x＋5)(2x－5)-2x(2x－3)
解：(1)a2(a＋b)(a－b)+a2b2
=a2(a2－b2)+a2b2
=a4
=a4－a2b2+a2b2
解：(2)(2x＋5)(2x－5)-2x(2x－3)
=(2x)2－25-(4x2－6x)
=6x－25
=4x2－25-4x2+6x
归纳
应用平方差公式计算时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.
例3 对于任意的正整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2-1-(9-n2)
＝10n2-10.
因为(10n2-10)÷10=n2-1.
n为正整数，
所以n2-1为整数
方法总结：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
1.如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小明将图①的阴影部分拼成了一个长方形，如图②，这一过程可以验证
( )
A．a2＋b2－2ab＝(a－b)2
B．a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
C．2a2＋b2－3ab＝(2a－b)(a－b)
D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D
随堂练习
2.如图①是由一个方鉴和一个方尊缶组成的青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，已知大正方形与小正方形的边长和为1.1 m，差为0.5 m，则阴影部分的面积为________m2.
第2题图
0.55
3.计算：
(1) 51×49; (2)102 × 98.
解: 原式=(50＋1)(50－1)
= 502-12
=2500 – 1
=2499
解: 102×98
= 1002-22
=10000 – 4
=(100＋2)(100－2)
=9996
(3) 1998×2002. (4) 992-1
解：(3)1998×2002
=(2000-2)(2000+2)
=4000 000-4
=3999996.
=2000 -2
解： (4) 992-1
=(99+1)(99-1)
=9800
=100×98
4.计算:
(1)(3mn＋1)(3mn－1)-8m2n2. (2)(x＋y)2-(x-y)2
解：(1)(3mn＋1)(3mn－1)-8m2n2
=(3mn)2－1-8m2n2
=m2n2－1
=9m2n2－1-8m2n2
解：(2)(x＋y)2-(x-y)2
=(x＋y+x-y)(x＋y-x+y)
=4xy
=2x·2y
5.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.
解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3
=2x2－1.
将x＝2代入，得
原式=2×22-1=7.
6.如图，有一个狡猾的地主，把一块边长为 a m 的正方形土地租给马老汉栽种. 过了一年，他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少 5 m，另一边增加 5 m，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？ ”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了. 同学们，你们觉得马老汉有没有吃亏？请说明理由.
解∶马老汉吃亏了. 理由如下：
∵a -(a＋5)(a-5)
=a -(a -25)
=25，
∴与原来相比，马老汉的土地面积减少了 25 m ，即马老汉吃亏了.
7.小红家有一块L型的菜地，如图所示，要把L型的菜地，按图那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是a m，下底都是b m，高都是(b－a)m，请你帮小红家算一算这块菜地的面积共有多少？并求出当a＝10，b＝30时，L型菜地的总面积．
解：由题意，得这块菜地的面积为
2× (a＋b)(b－a)＝b2－a2(m2)．
当a＝10，b＝30时，
原式＝302－102＝800(m2)．
注意
内容
平方差公式
的应用
在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
(a+b)(a-b)=a2-b2
课堂小结
