(共23张PPT)
1.6.1 完全平方公式的认识
七年级下
北师版
1.经历完全平方公式的探索及推导过程，掌握完全平方公式的结构特征.
2.灵活应用完全平方公式进行简单的计算.
学习目标
难点
重点
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米. 形成四块实验田，以种植不同的新品种 (如图). 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.
a
a
b
b
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
(a+b)2=a2+2ab+b2
新课引入
(m + 3)2 = (m + 3) (m + 3)
= m2 + 3m + 3m + 9
= m2+ 2×3m + 9
= m2 + 6m + 9
观察下列算式及其运算结果， 你有什么发现？
新知学习
(2 + 3x)2 = (2 + 3x) (2 + 3x)
= 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2
= 4 + 2×2×3x + 9x2
= 4 + 12x + 9x2.
你发现了什么？
前面的几个运算都是形如(a+b)2的多项式相乘.
(a+b) 2= ( a + b)(a + b )=a2+ab+ab+b2= a2+2ab+b2
再举两例验证你的发现．
（1）（2x + y）2 ; （2）（3a – 2b）2 .
（1）（2x + y）2
=(2x + y)(2x + y)
= 2x·2x + 2x·y + y·2x + y·y
= 4x2 + 4xy + y2
（2）（3a – 2b）2
=(3a – 2b) (3a – 2b)
= 3a·3a – 3a·2b – 2b·3a + 2b·2b
= 9a2 – 12ab + 4b2
探究
议一议
（a – b）2 = ？你是怎样做的？
（a – b）2
= （a – b）（a – b）
= a2 – 2ab + b2
1
（a – b）2
= [a+（– b）]2
= a2 +2a（– b）+（– b）2
= a2 – 2ab + b2
2
归纳
对于形如(a±b)2的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
这就是说，两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.
简记为：“首平方，尾平方，首尾2倍放中间”
完全平方公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和；另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；
3.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗？
b
a
a
b
b
a
b
a
图 1
图2
思考
几何解释:
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a+b)2= .
和的完全平方公式：
b
a
a
b
图 1
a2+2ab+b2
几何解释:
(a-b)2= .
差的完全平方公式：
b
a
b
a
=
-
-
a2
ab
图2
b2
+
ab
a2-2ab+b2
例1 计算：
(1)(2x+3y)2;
解：(2x+3y)2
=(2x)2+2·2x·3y+(3y)2
=4x2+12xy+9y2；
(2)
解：
(3)(3x-2y)3;
解：(3x-2y)2
=(3x)2-2·3x·2y+(2y)2
=9x2-12xy+4y2；
(4)
解：解法2
解：解法1
归纳
在应用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时关键是弄清题目中哪一个相当于公式中的 a，哪一个相当于公式中的 b，同时还要确定用两数和的完全平方公式还是两数差的完全平方公式；
应用完全平方公式计算时，应注意以下问题：
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗
分析一：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2;
分析二：(-a-b)2=[-(a+b)]2=(-1)2(a+b)2=(a+b)2
分析一：(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2;
(a-b)2与(b-a)2相等吗
分析二：(b-a)=-(a-b) ∴ (b-a)2=[-(a-b)]2=(-1)2(a-b)2=(a-b)2;
1.若(x＋3)2＝x2＋ax＋9，则a的值为( )
A．3
B．±3
C．6
D．±6
C
随堂练习
2.下列计算正确的是( )
A．(x＋y)2＝x2＋y2
B．(x－y)2＝x2－2xy－y2
C．(x＋1)(x－1)＝x2－1
D．(x－1)2＝x2－1
C
3.运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2
=16m2+8mn+n2；
(1)(4m+n)2；
=(4m)2+2·(4m) ·n+n2
=y2
-y
+
=y2
+
-2·y·
(2) .
解：
(3) (a+b+c)2
解：(a+b+c)2
= [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
4.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解：∵x+y=8，
∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4，
∴(x-y)2=16，即x2+y2-2xy=16②;
由①-②，得
4xy=48，
∴xy=12.
5.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图),此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律，例如：(a+b)0=1;(a+b) =a+b;(a+b) =a +2ab+b ;
(a+b) =a +3a b+3ab +b ;
(a+b)4=a4+4a b+6a b +4ab +b4;
请你猜想(a+b)9的展开式中所有系数的和是________.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
...
512
解法提示：(a+b)0=1,系数为1,20=1.(a+b) =a+b,系数和为2,21=2.
(a+b) =a +2ab+b ,系数和为4,2 =4.
(a+b) =a +3a b+3ab +b ,系数和为8,2 =8.
(a+b)9展开式的系数和为：29=512.
常用结论
内容
完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
(a±b) 2=a2±2ab+b2
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
课堂小结(共20张PPT)
1.6.2 完全平方公式的应用
七年级下
北师版
1.掌握完全平方公式，会进行完全平方公式的变形计算.
2.灵活应用完全平方公式解决实际问题，培养数学感知能力.
学习目标
难点
重点
数学课上，老师让同学们计算1022的结果，小唯一下子就说出了运算结
果是10404.你知道他是怎样速算的呢？
1022
能不能运用我们刚学习的
完全平方公式将102分解
成两数之和呢？
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404；
=1002+2×100×2+4
新课引入
(1) 1972；
例1 运用完全平方公式计算：
(2) 992.
解：992
= (100 –1)2
=10000 -200+1
=9801.
解：1972
= (200 –3)2
=40000 -1200+9
=38809.
=2002 -2×200×3+9
=1002 -2×100×1+1
新知学习
例2 计算：
(1)(x+3)2－x2； (2) (a+b+3)(a+b－3)； (3) (x+5)2－(x－2) (x－3) .
解：(1) (x+3)2－x2= x2+6x+9－x2=6x+9
(2) (a+b+3)(a+b－3)= [(a+b) +3][(a+b)－3]
= (a+b)2－32 =a2+2ab+b2－9；
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3)= x2+10x+25－(x2－5x+6)
= x2+10x+25－x2+5x－6= 15x+19 .
例3 已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.
分析：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．
解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25；
(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1.
归纳
运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
完全平方公式 变形
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
②2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 ①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab
②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2
③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．如果来1个孩子，老人就给这个孩子1块糖果； 来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖果；如果来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果……
做一做
假如第一天有a个孩子一起去看老人，第二天有b个孩子一起去看老人，第三天有(a+b)个孩子一起去看老人，那么第三天老人给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样多吗？
请你用所学的公式解释自己的结论.
解：第一天a个孩子，给出去的糖果a×a=a2.
第二天b个孩子，给出去的糖果b×b=b2.
第二天(a+b)个孩子，给出去的糖果(a+b)2=a2+2ab+b2.
所以第三天老人给出去的糖果比前两天给出去的糖果多.
随堂练习
1.若m+n=3，则代数式2m2+4mn+2n2-6的值为（ ）
A.12
B.3
C.4
D.0
A
2.如果(a＋b)2＝16，(a－b)2＝4，且a、b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
A
3.利用乘法公式计算：
(1)982－101×99；
＝(2022－2021)2＝1.
解：原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；
解：原式＝20222－2×2022×2021＋20212
(2)20222－2022×4042＋20212.
(1)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)；
解：(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)
＝x2－4－(x2－2x－3)
＝2x－1；
4.计算：
(2)(ab+1)2-(ab-1)2；
解：(ab＋1)2－(ab－1)2
＝(ab＋1＋ab－1)(ab＋1－ab＋1)＝2ab×2
＝4ab；
(3)(x-y+1)(x+y-1)；
解：(x-y+1)(x+y-1)
＝[x－(y－1)][x＋(y－1)]
＝x2－(y－1)2
＝x2－y2＋2y－1；
(4)(a-3b)2+9(a-b)(a+b)．
解：(a-3b)2+9(a-b)(a+b)
＝a2－6ab＋9b2＋9(a2－b2)
＝a2－6ab＋9b2＋9a2－9b2
＝10a2－6ab.
解：a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
5.若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b2.
解题时常用结论：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
6.先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2，其中ab＝－1.
解：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2
＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2－2a2
＝2ab.
当ab＝－1时，原式＝2×(－1)＝－2.
7.如图，将一个边长为a＋b的正方形图形分割成四部分(两个正方形和两个长方形)，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积(用含a、b的代数式表示出来)；
解：根据图中条件得，该图形的总面积为
a2＋2ab＋b2或(a＋b)2；
(2)如果图中的a，b(a＞b)满足a2＋b2＝35，ab＝23，求a＋b的值；
解：由(1)可知(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
∵a2＋b2＝35，ab＝23，
∴(a＋b)2＝35＋46＝81，
∵a＋b＞0，
∴a＋b＝9；
(3)已知(5＋2x)2＋(3－2x)2＝60，求(5＋2x)(3－2x)的值．
解：设5＋2x＝a，3－2x＝b，
则a2＋b2＝60， a＋b＝(5＋2x)＋(3－2x)＝8，
∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
∴64＝60＋2ab，
∴ab＝2，
∴(5＋2x)(3－2x)＝2.
注意
内容
完全平方公式
的应用
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
(a±b) 2=a2±2ab+b2
运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
课堂小结
