(共28张PPT)
2.1.1 对顶角、补角和余角
七年级下
北师版
1. 初步理解平行线、余角、补角、对顶角的概念.
2. 会根据平行线、余角、补角、对顶角的概念去识别相应的图形.
3. 掌握补角、余角与对顶角的性质，并能运用它们解决简单实际问题.
学习目标
难点
重点
在下面的图片中，你发现直线的位置关系有哪些？
新课引入
平行
相交
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
如图1中的两条直线是相交线；如图2中的两条直线是平行线.
我们知道，在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.
a
b
d
c
图1
图2
新知学习
图中的两条直线是平行线吗？
直线 与直线 不是平行线.因为直线 与直线 相交了.
a
b
b
a
a
b
探究
议一议
∠1
∠3
∠2
∠4
∠1和∠3、 ∠2和∠4位置有什么关系？
议一议
∠1
∠3
∠2
∠4
∠1和∠3、 ∠2和∠4位置有什么关系？
∠1和∠3 有一条公共边 ，∠2和∠4有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线.
O
∠1
∠3
对顶角的定义：
直线AB与CD相交于点O，∠1与∠3有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角.
A
B
C
D
归纳
思考
互为对顶角的两个角你发现它们的大小有什么关系
∠1
∠3
∠2
∠4
猜想：对顶角相等
你能利用有关知识来验证∠1与∠3的数量关系吗？
O
A
B
C
D
4
3
2
1
已知：直线AB与CD相交于O点(如图),求证:∠1=∠3， ∠2=∠4.
证明：因为直线AB与CD相交于O点,
所以∠1+∠2=180°
∠2+∠3=180°，
所以∠1=∠3.
同理可得∠2=∠4.
符号语言：因为直线AB与CD相交于O点，
所以∠1=∠3，∠2=∠4.
证明
对顶角性质：对顶角相等.
1.如图，∠1=∠2，则∠1和∠2是否为对顶角？
2.如图，∠1=∠2，则∠1和∠2是否为对顶角？
你发现了什么？
是
不是
思考
1
2
1
2
找两个角是否为对顶角的方法：
① 看它们有没有公共顶点；
② 看这两个角的两边是否互为反向延长线.
归纳
∠1
∠3
∠2
∠4
思考
(1)∠1与∠2，∠1与∠4，∠2与∠3，∠3与∠4的大小有什么数量关系
∠1+∠2=∠1+∠4=∠2+∠3=∠3+∠4=180°
如果两个角的和是一个平角,这两个角叫做互为补角.简称互补.其中一个角叫做另一个角的补角.
特别地，我们把图中∠1与∠2叫做邻补角.
思考
(2)图中∠α与∠β的度数之间有怎样的关系？具有这种关系的两个角我们称之为什么呢？
α
β
α
β
∠α＋∠β＝90°
∠α＋∠β＝180°
如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角.简称互余.其中一个角叫做另一个角的余角.
归纳
1
2
如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时，∠1=∠2.
将左图简化为右图，ON与DC相交所成的∠DON等于90°，且∠1=∠2.
做一做
（1）有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？
（2）∠3与∠4有什么关系？为什么？
（3）∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
做一做
互为补角的角有∠1与∠AOC，∠2与∠BOD，∠DON与∠CON，
互为余角的角有∠1与∠3，∠2与∠4，
∠3=∠4，因为∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2，而∠1=∠2，
所以 ∠3=∠4
∠AOC=∠BOD，因为∠AOC=180°-∠1，∠BOD=180°-∠2，
而∠1=∠2，所以 ∠AOC=∠BOD
余角、补角的性质
同角(等角) 的余角相等 .
同角(等角) 的补角相等 .
“同角” 指同一个角，“等角”指度数相等的角.
归纳
1.余角与补角是针对两个角而言，并且是相互的.
2.互为余角、互为补角的两个角，只与它们的大小有关，与它们的位置无关.
3.同一个角的补角比它的余角大90°.
4.互余的两个角必须是两个锐角，而互补的两个角可以是一个锐角和一个钝角，也可以是两个直角.
注意
例 如图，已知∠AOB 在∠AOC 内部，∠BOC＝90°，OM、ON 分别是∠AOB，∠AOC 的平分线，∠AOB与∠COM 互补，求∠BON 的度数．
解：∵∠AOB 与∠COM 互补，
∴∠AOB＋∠COM ＝ 180°，
即∠AOB＋∠BOM＋∠COB ＝ 180°.
∵∠COB ＝ 90°，
∴∠AOB＋∠BOM ＝ 90°.
∵ OM 是∠AOB 的平分线，
∴∠BOM＝ ∠AOB，即∠AOB＋ ∠AOB＝90°，
解得∠AOB＝60°.
∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.
∵ ON 平分∠AOC 得∠AON＝ ∠AOC＝ ×150°＝75°.
由角的和差，
∴∠BON＝∠AON－∠AOB
＝75°－60°＝15°.
1.判断
√
√
×
×
(1) 如果两个角是对顶角，则这两个角相等. ( )
(2) 如果两个角相等,则这两个角是对顶角. ( )
(3) 如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等. ( )
(4) 如果两个角不相等,则这两个角不是对顶角. ( )
课堂练习
2.要测量两堵墙所成的角的度数，但人不能进入围墙，如何测量？这样做的理由是什么？
对顶角相等
D
A
B
O
C
3.(1)如图1，∠AOC＝90°，∠BOD＝90°，则∠1与
∠3的关系是_____，其理由是
__________________________.
1
2
3
A
B
C
D
O
图1
(2)如图2，∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，
若∠1=∠3，则∠2与∠4的关系是_______，
其理由是_________________.
1
2
3
4
图2
相等
同角的余角相等
相等
等角的补角相等
4.如图①是一种宫灯的实物图，图②是俯瞰其顶部结构的示意图，其内部三根木条支架所在直线交于一点，已知∠1＝∠2＝60°，则∠3的度数为________．
60°
5.如图，直线 AE 与 CD 相交于点 O， OC 平分∠AOB：
(1) 请找出图中∠3 的对顶角；
解：(1) ∠3 的对顶角是∠2.
(2) 若∠3=25°，求∠1 的度数 .
(2) 由对顶角相等，得∠2= ∠3=25°，
因为 OC 平分∠AOB，所以∠1= ∠2=25° .
6.已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大30°，求∠α、∠β的度数 ．
解：根据题意，可得∠β＝∠α＋30°，
因为∠α与∠β互为补角，所以∠α＋∠β＝180°，
即∠α＋（∠α＋30°）＝180°，
所以∠α＝75°，∠β＝75°＋30°＝105°．
课堂小结
对顶角、补角和余角
理解对顶角需要注意的三点
理解余角与补角需要注意的四点
1.对顶角是成对出现的，不能单独说一个角是对顶角.
2.对顶角反映两角相等的数量关系.
3.对顶角还反映两角的位置关系.
1.余角与补角是针对两个角而言，并且是相互的.
2.互为余角、互为补角的两个角，只与它们的大小有关，与它们的位置无关.
3.同一个角的补角比它的余角大90°.
4.互余的两个角必须是两个锐角，而互补的两个角可以是一个锐角和一个钝角，也可以是两个直角.(共22张PPT)
2.1.2 垂线
七年级下
北师版
1. 理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线、垂线段 .
2. 掌握垂直的概念，能根据垂直求出角的度数.
3. 掌握垂线、垂线段的性质，并会利用所学知识进行简单的推理.
学习目标
难点
重点
新课引入
生活中处处充满着相交线，观察下图中的相交线有什么特殊的位置关系？
同一平面内的两条直线的位置有几种情况
平行
相交
如果变成这种
位置呢？
思考
a
b
平行记作“∥”
读“平行于”
“直线a平行于直线b”记作：a∥b
新知学习
垂直的定义：
如果两条直线相交所成的四个角，如果有一个是直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，两条直线的交点叫做垂足.
如图：记作AB⊥CD或a⊥b
垂足为O.
“⊥”是数学书写中“垂直”的符号，读作“垂直于”
a
b
D
A
B
C
O
归纳
注意：垂直是相交的一种特殊情况.
（1）你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
做一做
（2）如果只有直尺，你能在下图方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
做一做
（3）你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看吧！
做一做
探究1
(1)已知一条直线，你能用三角尺或量角器画出它的垂线吗？能画几条？
结论：一条直线的垂线有无数条.
l
…
2. 同一平面内过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
1. 贴
2. 靠
3. 移
4. 画
结论：同一平面内过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3. 过已知直线外一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
1. 贴
2. 靠
3. 移
4. 画
结论：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
归纳
垂线的性质1：
在同一平面内，经过一点 (已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
怎样测量这位同学的跳远成绩？说说其中的道理.
探究2
O
P
l
踏板
沙坑
我们以PO的长度为跳远成绩！
归纳
如图，点P在直线l外，PO⊥l，垂足为O，PO叫做点P到直线l的垂线段.
垂线段:由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足
间的线段叫做垂线段.
O
P
l
1.过直线外一点做直线的垂线段只有一条.
2.垂线是一条直线，长度不可度量；而垂线段
是一条线段，长度可度量.
注意！
易错警示
如图，从P点向直线l 画的几条线段中，用直尺量一量线段PA，PB，PC，PD 和PO谁最短？
经过测量，线段PO的长度最短.
P
A
B
C
D
O
你能发现什么呢？
l
思考
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，
垂线段最短.简单说成：垂线段最短.
P
A
B
C
D
O
l
归纳
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，
叫做点到直线的距离.
图中，垂线段PO的长度就是点P到直线 l 的距离.
例1 如图AB⊥CD垂足为O,∠COF=56°，求∠AOE.
解：因为AB⊥CD（已知）
所以∠COB=90°（垂直的定义）
所以∠BOF= ∠COB－∠COF
=90°－56°=34°
所以∠AOE=∠BOF=34°（对顶角相等）.
F
E
D
C
B
A
O
56°
1.直线l外一点A与直线l上两点的连线线段长分别为5cm，7cm，则点A到直线l的距离是（ ）
A.不超过5cm B.5cm C.7cm D.不少于7cm
2.如图，∠CDB=90° ，线段AC、BC、CD中最短的是 ( )
A. AC B. BC C. CD D. 不能确定
A
D
A
B
C
C
随堂练习
3.如图，P是∠AOB的边OB上一点.
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（2）过点P画OA的垂线，垂足为H.
分别比较PH与PC，PC与CO，PH与PO的大小，
并说明理由.
解：（2）如图所示.
解：（1）如图所示.
C
H
O
P
A
B
PH＜PC，PC＜CO，PH＜PO. 理由：垂线段最短.
4.如图，污水处理厂A要把处理过的水引入排水沟PQ，应如何铺设排水管道，才能使用料最简，试画出铺设管道路线，并说明理由.
理由：垂线段最短.
课堂小结
两条直线相交
垂线
对顶角：相等
邻角：互补
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
特殊情况：相交成直角
垂线段最短
点到直线的距离
一般情况
