(共21张PPT)
2.2.1 利用“同位角”判定两直线
平行与平行公理
七年级下
北师版
1. 通过用直尺和三角尺画平行线的方法理解平行线的判定方法，会识别同位角.
2. 了解平行公理和“平行于同一条直线的两直线平行”的定理.
3. 掌握平行公理并会运用其解决问题.
学习目标
难点
重点
在日常生活中,人们经常用到平行线. 如图，装修工人正在向墙上钉木条.如果木条b与墙壁的边缘垂直，那么木条a与墙壁的边缘所成的角为多少度时，才能使木条a与木条b平行？
新课引入
(1)如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b、c，转动木条a , 观察∠1， ∠2满足什么条件时直线a与b平行.
做一做
新知学习
当∠1＞∠2时
当∠1＝∠2时
当∠1＜∠2时
①直线a和b不平行
②直线a∥b
③直线a和b不平行
经过测量，我们发现：
如图，具有∠1与∠5这样位置关系的角称为同位角.
∠4与∠6也是同位角.
归纳
你能说出同位角的特征吗
(2)如图， 观察∠1 与∠5 的位置关系：
发现：① 在直线 EF 的右侧 (同侧)；
② 在直线 AB、CD 的上方 (同方向).
这样的两个角叫同位角
同位角是 形状
F
做一做
图中还有几对同位角？
∠4 和∠6
∠3 和∠7
∠2 和∠8
思考
①直线a和b不平行
②直线a∥b
③直线a和b不平行
由此你能得到什么结论？
当∠1＞∠2时
当∠1＝∠2时
当∠1＜∠2时
归纳
利用同位角判定两条直线平行的方法：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简称为：同位角相等，两直线平行.
数学语言：
∵∠1 =∠2 (已知)，
∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行)
例 下图中，如果∠1=∠7，能得出AB∥CD吗？写出你的推理过程.
解：因为∠1=∠7,
∠1=∠3,
所以 ∠7=∠3.
所以 AB∥CD.
B
1
A
C
D
F
3
7
E
(已知)
(对顶角相等)
(等量代换 )
(同位角相等两直线平行)
探究
1.你能借助三角尺画平行线吗？如图，请试着过已知直线外一点画它的平行线.你能说明其中的道理吗？
●
一、放
二、靠
三、推
四、画
同位角相等，两直线平行.
2.你能过直线AB 外一点P 画直线AB 的平行线吗？能画出几条？
●
只能画1条.
A
B
P
3.分别过点C、D 画直线AB 的平行线EF、GH ，那么直线EF与直线GH 有怎样的位置关系？
●
A
B
C
D
●
E
F
G
H
EF//GH
归纳
平行公理：
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
平行于同一直线的两条直线平行.
a
b
c
也就是说：如果 b∥a ，c∥a ，
那么 b∥c .
平行的传递性
1.下列图形中，∠1 和∠2 是同位角的有 ( )
A. (1) (2) (3) B. (3) (4)
C. (1) (2) D. (2) (3) (4)
C
随堂练习
2.如图，∠3与∠1互余，∠3与∠2互余，试说明AB∥CD．
解：∵∠3与∠1互余，∠3与∠2互余，
即∠3＋∠1＝90°，∠3＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠2.
∴AB∥CD.
3.如图，若∠ABC=∠ ，可以推出 AB∥CD，
理由是 .
若想推出AD∥BC，则只需∠ADC=∠_ ，
理由是 .
DCE
同位角相等，两直线平行
BCF
同位角相等，两直线平行
3.如图，直线AB，CD是一条河的两岸，并且AB∥CD，E为直线AB，CD外一点．现想过点E作河岸CD的平行线，只需过点E作________的平行线即可，其理由是_______________________
_________________________________．
AB
平行于同一条直线的两
条直线平行
4.已知直线AB及AB外一点P，若过点P作一直线与AB平行，则这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在 D．有无数条
A
5.如图，∠1＝∠3，∠1＝∠5，则BE与DF的关系是____________．
BE∥DF
6．如图，∠1＝∠4，∠1＋∠2＝180°.问：AB，CD，EF的位置关系如何？你能说明其道理吗？
解：AB∥CD∥EF；理由如下：
∵∠1＝∠4
∴AB∥EF
∵∠1＋∠2＝180°
∠1＋∠3＝180°
∴∠2＝∠3
∴AB∥CD
∴EF∥CD
∴AB∥CD∥EF.
(平行于同一直线的两条直线平行.)
3、平行公理：
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
平行于同一直线的两条直线平行.
利用“同位角”判定
两直线平行与平行公理
1、同位角：同位角是 形状
2、同位角相等,两直线平行.
F
课堂小结(共19张PPT)
2.2.2 利用“内错角、同旁内角”
判定两直线平行
七年级下
北师版
1. 会识别由“三线八角”构成的内错角和同旁内角．
2. 经历探索直线平行条件的过程，掌握利用内错角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论，并能解决一些问题．
学习目标
难点
重点
小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB（如图）.小明只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
新课引入
5
探究1
(1)如图， 观察∠2 与∠4 的位置关系：
这样的两个角叫内错角
内错角是 形状
z
发现：① 在直线 EF 的两侧；
② 在直线 AB、CD 之间.
新知学习
5
4
2
图中的内错角还有哪些？
∠1 和∠3
探究1
(2)观察∠4 与∠5 的位置关系：
发现：① 在直线 EF 的同旁；
② 在直线 AB、CD 之间.
同旁内角
同旁内角是 形状
u
5
3
4
图中还有哪些同旁内角？
∠1 和∠2
归纳
名称 特征 基本图形 代表字母 相同点 共同特征
同位角
同旁内角 内错角 截线：同侧
被截线：同一方
截线：同侧
被截线：内部
截线：两侧
被截线：内部
F
U
Z
都在截线同侧
都在被截线内部
这三类角都是没有公共顶点的
探究2
内错角满足什么关系时，画板的上下边缘是否平行？为什么？
猜想：内错角相等，两直线平行.
已知：如图，若∠2=∠4， 求证：AB∥CD
证明：∵∠2=∠5(对顶角相等） ∠2=∠4（已知）
∴∠4=∠5 （等量代换）
∴画板的上下边缘平行 （同位角相等，两直线平行）
5
归纳
利用内错角判定两条直线平行的方法：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简称为：内错角相等，两直线平行.
数学语言：
∵∠1 =∠3 (已知)，
∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行)
同旁内角满足什么关系时，画板的上下边缘是否平行？为什么？
探究
猜想：同旁内角互补，两直线平行.
已知：如图，∠3+∠4=180°，求证：AB∥CD
证明：∵∠2+∠3=180°（邻补角定义）
∠3+∠4=180°（已知）
∴∠2=∠4 （同角或等角的补角相等）
∴画板的上下边缘平行 （内错角相等，两直线平行）
5
归纳
利用同旁内角判定两条直线平行的方法：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简称为：同旁内角互补，两直线平行.
数学语言：
∵∠1 +∠4 = 180° (已知)，
∴AB∥CD (同旁内角互补，两直线平行)
归纳
判定两条直线平行的三种方法：
判定方法1：同位角相等，两直线平行
判定方法2：内错角相等，两直线平行
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行
如图，三个相同的三角尺拼接成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由．
B
C
A
E
D
做一做
你能看懂她的意思吗？再找到另一组平行线， 说说你的理由．
BC与AE是平行的．因为∠BCA与∠EAC是内错角，而且又相等．
答：能.她由∠BCA=∠EAC，推出BC∥AE，理由是“内错角相等，两直线平行”.
AB∥EC.理由:因为∠BAC=∠ECA=90°，
根据“内错角相等，两直线平行”，
可知AB∥EC.
B
C
A
E
D
1. 如图，直线 DE，BC 被直线 AB 所截，
∠1 与∠2 是 _____ 角，∠1 与∠3 是 ______ 角，
∠1 与∠4 是 _____ 角.
内错
同旁内
同位
随堂练习
2.如图所示，下列条件中，能判断 AB∥CD 的是 ( )
A. ∠BAD =∠BCD
B. ∠1 =∠2
C. ∠3 =∠4
D. ∠BAC =∠ACD
D
3.如图，已知∠2＝110°，要使a∥b，则须具备的另一个条件是( )
A．∠3＝70° B．∠3＝110°
C．∠4＝70° D．∠1＝70°
A
4.如图，某民宿要给其旁边的一个梯形绿地四周围上栏杆，若上方栏杆的拐角为105°，为了使左侧的栏杆可以对接，下方栏杆的拐角应该为
( )
A. 105° B. 95°
C. 75° D. 55°
C
5.如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由．
解：OA∥BC，OB∥AC，理由如下：
∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2，
∴OB∥AC，
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴OA∥BC.
平行线判定方法：
1.同位角相等，两直线平行
2.内错角相等，两直线平行
3.同旁内角互补，两直线平行
4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
5.平行于同一直线的两条直线平行
平行线的判定
1.同位角：同位角是 形状
2.内错角：内错角是 形状
3.同旁内角：同旁内角是 形状
F
z
u
课堂小结
