(共24张PPT)
4.1.1 三角形及其内角和
七年级下
北师版
1.结合具体实例，认识三角形的概念，能正确识别和表示三角形.
2.会按角的大小对三角形进行分类.
3.知道三角形的内角和等于180°，并会据此解决简单的问题.
学习目标
难点
重点
你知道“柱子”和“李云龙”是如何目测距离的吗？
实际上，他们都是应用了三角形相关的知识来目测和目标的距离.
新课引入
你知道铸铁支架和金字塔的侧面为什么都是三角形的吗？
铸铁支架可以承受极大的重量
金字塔经历几千年始终稳固
不论是支架还是金字塔，都是因为三角形的结构获得了极大的稳定性.
三角形是我们生活中最常见的图形之一，同时也具有多种性质，为了对三角形有更深的认识，我们今天就开始探索学习三角形的奥秘！
？
这是一种老式房梁结构，你能从中找出几个三角形来？
这些三角形有什么共同的特点？
思考
每一个三角形的3条边都不在同一条直线上.
新知学习
定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形有3条顶点，3个边和3个内角.
边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
顶点A的对边BC也可以用小写a来表示；
顶点B的对边AC也可以用小写b来表示；
顶点C的对边AB也可以用小写c来表示.
顶点：点A，B，C是三角形的顶点.
归纳
记法：三角形ABC用符号表示为△ABC.
角：∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角，简称三角
形的角.
那三角形的3个内角有什么关系？
做一做
探究三角形的3个内角有什么关系？
我们已经知道将三角形的3个角撕下来，拼在一起，可用得到一个平角，即三角形的3个内角和为180°.
而小明只撕下了一个角，也得到了上面的结论，你知道他是如何做的吗？
1
(1)如图所示，剪一个三角形纸片，它的三个内角分别为∠1,∠2和∠3.
此时∠1的另一条边b与∠3的一条边a平行吗？为什么？
(2)将∠1撕下，按图所示进行摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合.
a
b
c
2
3
平行；因为撕下后的∠1与原来的∠1是内错角，且相等，所以∠1的另一条边b与∠3的一条边a平行.
1
b
小明的做法：
(3)如图所示，将∠3与∠2的公共边延长，它与b所夹的角为∠4.∠3与∠4的大小有什么关系？为什么？
a
b
c
2
3
1
4
∠4=∠3，因为b∥a，而∠4与∠3是同位角，所以∠4=∠3.
通过以上活动证明：三角形3个内角的和等于180°.
∵∠1+∠2+∠4=180°
∴∠1+∠2+∠3=180°
同学们还有其他的方法证明三角形内角和为180°吗？
A
B
C
D
E
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
本质：借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
想一想
例1 已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
解：在△DFB中，
∵∠DFB＝90°，∠D＝50°，
∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，
∴∠B＝40°.
在△ABC中，
∵∠A＝46°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
议一议
(1)图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？试着说明理由.
小明、小颖所拿三角形露出的内角分别是钝角、直角，因为三角形内角和为180°，所以两人所拿三角形被遮住的是2个锐角.
二人所拿三角形被遮住的内角有没有可能不是锐角？想想看，为什么？
(2)图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将所得结果与(1)的结果进行比较.
图中三角形露出的内角是锐角，因为三角形内角和为180°，所以被遮住的两个内角可能是锐角+锐角、直角+锐角或钝角+锐角的组合.
根据内角的大小，可以把三角形分为3类：
三个内角都是锐角 有一个内角是直角 有一个内角是钝角
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
归纳
通常，我们用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”(如图).
把直角所对的边称为直角三角形的斜边,夹直角的两条边称为直角边.
A
C
B
注意
A
C
B
直角三角形的2个锐角有什么关系呢
思考
因为三角形内角和为180°，且直角三角形有1个角为直角，等于90°，所以剩余2个锐角的和为180°-90°=90°.
直角三角形的两个锐角互余.
例2 若一直角三角形的两个锐角的差是20°，则其较大锐角的度数是多少度？
解：设较大的锐角度数是x°，则较小的锐角为（90﹣x）°，
由题意得，x﹣（90﹣x）=20，
解得x=55，
即较大锐角的度数是55°．
想一想
观察图中的三角形，你能够按角将它们的形状分类吗？
解：(1)、(5)为锐角三角形；(3)为直角三角形；(2)、(4)为钝角三角形.
注意：一般情况下，三角形中若没有直角符号，即默认该角不是直角.
随堂练习
1.如图，共有三角形的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
D
2.一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？
(3)50°和20°
(1)30°和60°
(2)40°和70°
分析：根据三角形内角和为180°，计算第3个角的度数，进而判定三
角形类型，最大的内角决定了三角形的形状.
解：(1)第3个角度数为180°-30°-60°=90°，三角形是直角三角形；
(2)第3个角度数为180°-40°-70°=70°，三角形是锐角三角形；
(3)第3个角度数为180°-50°-20°=110°，三角形是钝角三角形.
3.如图，△ABC中BD⊥AC，垂足为D，∠ABD=54°，∠DBC=18°,求∠A和∠C的度数.
C
A
B
D
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°,
∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠CDB=90°.
∠ABD=54°，∠ADB=90°，
∴∠A=180°－∠ABD－∠ADB
=180°－54°－90°=36°.
解：
∠C=180°－∠A－(∠ABD+∠DBC)
=180°－36°－(54°+18°)
=72°.
三角形内角和为180°
三角形及
其内角和
三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形根据内角大小进行分类
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
课堂小结(共20张PPT)
4.1.2 三角形的三边关系
七年级下
北师版
1.通过探索了解三角形三边之间的关系；
2.能根据边的大小关系对三角形进行分类；
3.能运用三角形的三边关系解决相关问题.
学习目标
难点
重点
1.三角形的内角和：
180°
2.根据角的特点对三角形进行分类：
锐角三角形：
直角三角形：
钝角三角形：
3个内角都是锐角
有1个内角是直角
有1个内角是钝角
新课引入
以上是从内角的角度去研究三角形，如果从边的角度去研究三角形，会有什么特点呢？
你能发现下列三角形的边长之间有什么关系吗？
观察
①
②
③
④
⑤
①④⑤三角形的3条边长度各不相等
②三角形有2条边长度相等
③三角形的3条边长度都相等
新知学习
归纳
三角形中有2条边长度相等的三角形叫等腰三角形.
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
腰相等，底角相等
三角形中3条边长度都相等的三角形叫等边三角形.
等边三角形是特殊的等腰三角形；等边三角形的3个内角都为60°.
归纳
我们可以把三角形按照三边情况进行分类
三角形按边分类
不等边三角形
等腰三角形
腰和底不等的等腰三角形
等边三角形（三边都相等的三角形）
那三角形中3条边长度各不相等的三角形是什么三角形呢？
三角形中3条边长度各不相等的三角形是任意三角形.
思考
三边长还有其他的特殊关系吗？
路线1：从A到C再到B的路线走；
路线2：沿线段AB走.
请问：路线1、路线2哪条路程较短，你能说出根据吗？
解：路线2较短；两点之间线段最短.
如图，在三角形的A点有一只小蚂蚁，B点处有一块食物，它从A点到B点有几条路线可以选择？
议一议
由此可以得出：AC+BC>AB
A
B
C
归纳
同理，可以得出：
A
B
C
AB+BC>AC
AB+AC>BC
三角形任意两边之和大于第三边.
做一做
（1）分别量出图中3个三角形的3边长度，并填入表格内.
(1)
(2)
(3)
(1) (2) (3) a b c a b c a b c
单位：cm
4.96 3.73 5.27 2.88 5.06 4.15 6.39 2.71 4.58
（2）请计算任意2条边的长度之差，与第3边进行比较，你发现了什么？
三角形任意两边之差小于第三边.
(1) (2) (3) a b c a b c a b c
单位：cm
4.96 3.73 5.27 2.88 5.06 4.15 6.39 2.71 4.58
a-b c-a c-b b-a b-c c-a a-b a-c c-b
1.23
0.31
1.54
2.18
0.91
1.27
3.68
1.81
1.87
三角形的三边关系：
三角形两边的和大于第三边.
三角形两边的差小于第三边.
归纳
思考
根据“三角形任意两边之和大于第三边”得：c根据“三角形任意两边之差小于第三边”得：c>a-b
即c的取值范围为：a-b已经三角形的两边长度为a、b，若用c表示第三边，你能说出c的取值
范围吗？
例 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？
解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形；
取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形.
思考
为什么在取2cm木棒时，只用2+5与8进行比较？
因为8已经大于2与5，不必要再比较2+8与5、5+8与2，实际上应用两边之和大于第三边判断三角形时，只需要用较小的两边的和与最长边进行比较即可.
1.一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( )
A．3＜x＜11 B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11 D．x＞3
A
随堂练习
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ）
（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ ）
（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ）
（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ ）
2.判断：
√
×
×
（4）等边三角形是锐角三角形.（ ）
×
√
3.在△ABC中，a=4,b=2,若第三边c的长是偶数，求c的长.
解：根据三角形三边关系，可得c的取值范围为：a-b即：4-22由题意可知c的长是偶数，所以c的长为4.
4.若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
解：原式可以写为：
|a－(b+c)|＋|b－(c+a)|＋|(c＋a)－b|
根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，得：
a－(b+c)＜0，b－(c+a)＜0，(c＋a)－b＞0.
∴|a－(b+c)|＋|b－(c+a)|＋|(c＋a)－b|
＝(b+c)－a＋(c+a)－b＋(c＋a)－b
＝3c＋a－b.
即原式化简为：3c＋a－b
课堂小结
分类
定义
顶点、角、边
按边分：三边都不相等的三角形和等腰三角形
按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
1.判断三条线段能否组成三角形；
2.求第三边长.
三角形
应用
三边关系
1. 三角形两边的和大于第三边；
2. 三角形两边的差小于第三边.(共18张PPT)
4.1.3 三角形的中线、角平分线
七年级下
北师版
1.了解三角形的角平分线、中线的概念并掌握其性质；
2.能用工具准确画出三角形的角平分线、中线；
3.能根据三角形角平分线、中线的性质解决实际问题.
学习目标
难点
重点
问题1：小明和哥哥拿着零花钱去买了一块三角形的蛋糕，两人决定平分这块蛋糕，且平分后的蛋糕依旧为三角形，你能帮助他们吗？
平分蛋糕意味着需要把三角形平分成两块面积一样的三角形.
新课引入
问题2：小明和哥哥玩游戏，用一支笔支起一个均匀的三角形纸片最快找到支点即可完成挑战，如何确定支点？
支点需要在三角形纸片质量分布的中点处.
我们的猜测是正确的吗？这节课我们一起来研究一下！
A
B
C
D
如图，在△ABC中，取BC边的中点D，连接AD，线段AD为△ABC的BC边上的中线.
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
新知学习
思考
（1）三角形的中线有什么特点？
A
B
C
D
根据三角形面积计算公式，面积= 底×高
如图，△ABC与△ADC的高相同，底BD=DC，所以S△ABD=S△ADC.
即三角形的1条中线将三角形分成两个面积相同的三角形.
现在你知道如何帮小明和哥哥分蛋糕了吗？
(2)在纸上画出一个锐角三角形，画一画共有几条中线，它们有怎样的位置关系？与同学进行交流.
锐角三角形有3条中线，且相交于三角形内一点.
如图，AD左右2个三角形面积相等，BE左右2个三角形面积相等，
CF左右2个三角形面积相等.
三角形3条中线的交点是三角形的重心，也是可以用铅笔支起三角形的点.
思考
(3)直角和钝角三角形的中线也是如此吗？尝试折一折，画一画.
三角形的三条中线交于一点.这点称为三角形的重心.
思考
例1 如图所示,AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为25 cm,AB比AC长6 cm,求△ACD的周长
解：因为AD是BC边上的中线,
所以BD=CD,
所以△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.
因为△ABD的周长为25 cm,AB比AC长6 cm,
所以△ACD的周长为25-6=19(cm).
方法总结：根据三角形中线的定义,把三角形周长的差转化为已知两边AB,AC的长度的差是解题的关键.
探究
你还记得如何平分一个角吗？
B
A
C
A
B
C
A
D
用圆规作角平分线
对折作角平分线
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，线段AD为△ABC的一条角平分线.
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
1
2
归纳
∠1=∠2
做一做
准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个，分别画出三角形的3条角平分线，你能发现什么？
三角形的3条角平分线交于一点，这一点叫内心.
锐角三角形的角平分线
直角三角形的角平分线
钝角三角形的角平分线
解：因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，
所以∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
例2 如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
D
C
1.填空：
(1)线段AD是△ABC的角平分线，那么∠BAD= = ；
(2)线段AE是△ABC的中线，那么BE= = BC.
∠DAC
∠BAC
EC
随堂练习
2.如图，在△ABC中,，∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，CF交AD于H，判断下列说法的正误.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
（1）AD是△ABE的角平分线( )
（2）BE是△ABD边AD上的中线( )
（3）BE是△ABC边AC上的中线( )
×
×
×
3.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°，BD是△ABC的一条角平分线，求∠ABD的度数.
解：在△ABC中，
∵∠A=50°，∠C=72°
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-50°-72°=58°
又∵BD平分∠ABC
∴∠ABD= ∠ABC=
4.在△ABC中，CD是中线，已知BC－AC=5cm，△DBC的周长为25cm，求ΔADC的周长.
A
D
B
C
解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD，
∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
则BD+CD＝25－BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC
＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC
＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.
三角形的中线、
角平分线
三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
课堂小结(共18张PPT)
4.1.4 三角形的高线
七年级下
北师版
1.认识三角形的高，能画任意三角形的高，了解三角形三条高所在的直线交于一点.
2.能根据三角形高的性质解决实际问题.
学习目标
难点
重点
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
放、
靠、
过、
画.
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
思考
新课引入
探究
如图所示的三角形房梁中，立柱与横梁有什么特殊的位置关系？
立柱与横梁互相垂直
新知学习
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
如图，在△ABC中，过点A做BC的垂线交于点F，线段AF为△ABC的BC边上的高.
归纳
三角形有3个顶点与3条对边，因此高也有3条.
在作三角形的高时，一定要标明垂直符号和垂足的字母，若在某个角中未标明垂直符号，即条件默认不垂直.
温馨提示
做一做
1.准备一个锐角三角形，作出三角形的3条高.
(1)你能通过折纸的方式得到锐角三角形的3条高吗？
(2)这3条高之间有怎样的位置关系？
锐角三角形的3条高相交于一点.
2.在纸上画一个直角三角形，作出这个直角三角形的3条高，它们的位置有什么关系？
如图，斜边AC上的高是BF，直角边AB上的高是BC，BC上的高是AB，3条高交于点B.
直角三角形的3条高交于直角的顶点.
能否通过折纸的方式找到高AB和BC？
做一做
3.在纸上画一个钝角三角形，作出这个直角三角形的3条高，它们的位置有什么关系？
如图，边AC上的高是BD，边AB上的高是CF，边BC上的高是AE.
最长边上的高在三角形内部，两条较短边上的高在三角形的外部.
思考
锐角三角形和直角三角形的3条高交于一点，钝角三角形
的3条高也是如此吗？
钝角三角形的3条高所在的直线交于一点.
钝角三角形的3条高未交于一点.
不能通过折纸的方式找到钝角三角形两条较短边上的高.
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点的位置
三角形的三条高的特征
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形
内部
直角顶点
三角形
外部
归纳
归纳
三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点叫垂心.
小结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．
例 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，求 BP 的最小值.
解：如图，根据垂线段最短，可知当 BP⊥AC 时，BP 有最小值．
由△ABC 的面积公式可知，
S△ABC= AD · BC＝ BP · AC.
代入数值，可解得 BP＝ .
P
1.作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是( )
D
总结：三角形任意一边上的
高必须满足：(1)过该边所对
的顶点；(2)垂足必须在该边
或在该边的延长线上．
随堂练习
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
B
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=_______．
50°
1
2
A
C
D
B
E
4.如图有一个缺了一角的三角形，请你在不补全三角形的情况下画出边AB上的高.
如图，分别作出点A、B对边的高，
两条高的交点为O，过O作AB的垂线，即为边AB上的高.
三角形的高线
总结：三角形的三条高所在的直线交于一点.
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
直角三角形的三条高交于直角顶点.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
概念
性质
课堂小结