(共23张PPT)
4.3.1 利用“边边边”判定三角形全等
七年级下
北师版
1.掌握三角形全等的“SSS”判定，并能应用它判定两个三角形是否全等.
2.了解三角形的稳定性，知道三角形的稳定性在生活中的应用.
学习目标
难点
重点
要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？
新课引入
做一做
1. 只有1个条件(1条边或1个角相等)时，大家画出的三角形全等吗？
1条边相等时，两个三角形不一定全等
1个角相等时，两个三角形不一定全等
新知学习
2. 有2个条件(2条边、2个角或1条边和1个角相等)时，大家画出的三角形全等吗？
4cm
6cm
2个角相等时，两个三角形不一定全等.
1角、1条边相等时，两个三角形不一定全等.
2条边相等时，两个三角形不一定全等.
6cm
4cm
50o
300
300
50o
3cm
300
30o
3cm
50o
4cm
只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等.
议一议
如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
(1)三个角都相等;
(2)三条边都相等;
(3)两边和一角相等;
(4)两角和一边相等;
做一做
(1)已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？
40°
60°
80°
40°
60°
80°
40°
60°
80°
40°
60°
80°
三个角都相等的两个三角形不一定全等.
(2)已知一个三角形的三条边分别为4 cm，5 cm和7 cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？
4cm
5cm
7cm
4cm
5cm
7cm
三条边都相等的两个三角形一定全等.
情况(3)两边和一角相等(4)两角和一边相等;下节课讨论！
归纳
三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.
几何语言描述：
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△ DEF中，
所以 △ABC ≌△ DEF (SSS).
AB=DE，
BC=EF，
CA=FD，
例1 如图， 已知点A,D, B, F在一条直线上，AC=FE，BC= DE,
AD= FB.试说明△ABC≌△FDE.
分析:紧扣“SSS”找出两个三角形中三边对应相等的条件来判定两个三角形全等.
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
解:因为AD=FB,
所以AD+DB=FB+DB,即AB=FD.
在△ABC和△FDE中，
AC=FE
AB=FD
BC=DE .
所以△ABC≌△ FDE (SSS) .
例2. 如图， C是BF的中点，AB =DC，AC=DF.试说明:△ABC ≌△DCF.
在△ABC 和△DCF中，
AB = DC，
∴ △ABC ≌ △DCF
AC = DF，
BC = CF，
解：∵C是BF中点，
∴BC=CF.
(SSS).
A
B
C
F
D
思考
现在你能说出为什么三角形的支架能支撑极大的重量？金字塔经历几千年始终稳固了吗？
只要三角形边的长度确定，三角形就可以确定，只要保证三角形的边长度不变，三角形就不会发生变化.
用小木条分别钉成一个三角形和四边形的框架，用力转动某一个支点，框架的形状会发生改变吗？
探究
三角形的大小和形状是固定不变的，这个性质叫做三角形的稳定性；四边形的形状是可以改变的，四边形具有不稳定性.
思考
小明在钉成四边形框架的基础上，把对角又用一根木条钉起来了(如图)，此时这个四边形是否具有稳定性？
此时的框架相当于两个三角形拼在一起，同样具有稳定性.
三角形的稳定性
(1)如果三角形的三边长确定，这个三角形的形状、大小就完全确定了，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性.
(2)四边形及四边以上的图形，形状是可以改变的，因此具有不稳定性.
总结
在生活中，我们经常会看到应用三角形稳定性的例子.
自行车的车梁
篮球架
塔吊
你还能举出其他例子吗？
1.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了 ( )
A.节省材料，节约成本
B.保持对称
C.利用三角形的稳定性
D.美观漂亮
C
随堂练习
C
O
A
B
C
D
2. 如图，AB＝CD，AD＝BC，则下列结论：
①△ABC≌△CDB；②△ABC≌△CDA；③△ABD ≌△CDB；
④ BA∥DC.
正确的个数是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 两个锐角分别相等的两个直角三角形全等吗？为什么？
解：不全等，因为两个锐角分别相等的两个直角三角形只能保证两个三角形的三个角分别相等，而三个角分别相等的两个三角形不一定全等.
4.如图，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线.你能说明其中的道理吗？
解：在△ABC和△ADC中，
∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，(SSS)
∴∠BAC=∠DAC，即∠QRE=∠PRE
∴所以AE就是∠PRQ的平分线.
(全等三角形的对应角相等)
证明：∵AD=BC，∴AC=BD，
在△ACE和△BDF中，
5.已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF.求证：AE∥BF．
∴△ACE≌△BDF.（SSS）
∴∠A=∠B.
∴AE∥BF.
利用“边边边”判
定三角形全等
三角形具有稳定性
三边分别相等的两个三角形全等，简写为“SSS”
课堂小结(共22张PPT)
4.3.2 利用“角边角、角角边”判定三角形全等
七年级下
北师版
1.探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”;
2.能运用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等.
学习目标
难点
重点
如图,小明不慎将三角形玻璃板打碎为三块,如果他只想带其中的一块碎片到商店去,带哪一块可以配一块与原来一样的三角形模具
①
②
③
新课引入
带碎片①
①
带碎片②
②
带碎片③
③
碎片①可以还原三角形
碎片②不能还原三角形
碎片③不能还原三角形
思考
用碎片①为什么可以还原三角形？碎片①上有什么条件？
1
2
a
碎片①有两个角和两角所夹的边是确定的.
如果三角形有两个角和两角所夹的边相等，两个三角形就全等吗？
做一做
1. 三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm,你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
2cm
60°
80°
两个内角为60°和80°、所夹边为2cm的三角形全等.
2cm
60°
80°
新知学习
改变角度和边长，也能得出相同的结论吗？尝试画一画.
归纳
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
几何语言描述：
∠A=∠A′ (已知)，
AB=A′ B′ (已知)，
∠B=∠B′ (已知)，
在△ABC和△A′ B′ C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ (ASA).
A
B
C
A ′
B ′
C ′
例1 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，
试说明：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知)，
BC＝CB(公共边)，
∠ACB＝∠DBC(已知)，
解：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(ASA ).
B
C
A
D
判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．
思考
三角形的两个内角分别是60°和80°，60°角所对的边为2cm,你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
两个内角为60°和80°、60°角所对的边为2cm的三角形全等.
60°
80°
2cm
60°
80°
2cm
归纳
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成
“角角边”或“AAS”.
几何语言描述：
A
B
C
A ′
B ′
C ′
∠A=∠A′(已知)，
∠B=∠B′ (已知)，
AC=A′C ′(已知)，
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ (AAS).
例2 如图, 已知AB=AC, AD=AE,试说明△BOD≌△COE.
解:在△ ABE和△ ACD中，
AB=AC,
∠A=∠A (公共角)
AE=AD,
所以△ ABE ≌ △ ACD (SAS).
所以∠B=∠C.
B
C
A
D
O
E
因为AB=AC, AD=AE,
所以BD=CE.
在△BOD和△COE中，
∠B=∠C,
∠BOD=∠COE,
BD=CE,
所以△BOD≌ △COE ( AAS)
B
C
A
D
O
E
如图所示，AB与CD相交于点O,O是AB的中点，∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗？为什么？
想一想
解：∵O是AB的中点
∴OA=OB
∵AB与CD相交于点O
∴∠AOC=∠BOD(对顶角相等)
又∵∠A=∠B
∴△AOC≌△BOD(ASA)
如图所示，AB与CD相交于点O,O是CD的中点，∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗？为什么？
变式
解：∵O是CD的中点
∴OC=OD
∵AB与CD相交于点O
∴∠AOC=∠BOD(对顶角相等)
又∵∠A=∠B
∴△AOC≌△BOD(AAS)
1. 在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形( )
A．一定不全等 B．一定全等
C．不一定全等 D．以上都不对
B
随堂练习
2.如图，小明在设计明信片时，不小心将墨水滴在了画好的三角形上，他重新准备了一张明信片，并很快画出了一个与原来完全一样的三角形，他作图的依据是( )
A. SSS B. ASA
C. AAS D. SAS
B
3. 图中的两个三角形全等吗？请说明理由.
110°
110°
35°
35°
解：两个三角形全等；根据图中信息，三角形已经有两个角相等，且有一条边为公共边且为对应边，符合“角角边”的判定定理.
4. 如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
解：不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.
A
B
C
D
5.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ADB＝∠ECB，CE⊥BD交BD的延长线于E，求证：BD＝2CE.
F
∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，
∴∠BAC＝∠DEC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴∠ABD＝∠DCE，
证明：如图，延长CE与BA交于点F，
在△BAD和△CAF中
F
∴△BAD≌△CAF(ASA)，
∴BD＝CF，∠ADB＝∠F
F
∵∠ADB＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠F，
在△BEF和△BEC中，
∴△BEF≌△BEC(AAS)，
∴CE＝EF，
∴DB＝2CE.(等量代换)
利用“角边角”、“角角
边”判定三角形全等
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“ASA”.
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“AAS”.
课堂小结(共19张PPT)
4.3.3 利用“边角边”判定三角形全等
七年级下
北师版
1.探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”;
2.能运用三角形全等的判定方法“SAS”证明两个三角形全等;
3.理解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件.
学习目标
难点
重点
判定三角形全等的方法有：
1.三边分别相等的两个三角形全等.
“SSS”
2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
“ASA”
3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
“AAS”
新课引入
如果知道两个三角形两边一角，那么有几种可能的情况呢？每种情况下得到的三角形全等吗？
？
两边一角相等
两边及夹角相等
两边及其中一组边的对角相等
满足以上两种情况时，两个三角形全等吗？
做一做
1. 如果三角形两条边分别为2.5cm，3.5cm， 它们所夹的角为40°， 你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
两个边为2.5cm和3.5cm、所夹角为40°的三角形全等.
2.5cm
40°
3.5cm
3.5cm
40°
2.5cm
新知学习
改变角度和边长，也能得出相同的结论吗？尝试画一画.
归纳
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
几何语言描述：
AB=A′ B′(已知)
∠B=∠B′(已知)
BC=B′ C′(已知)
在△ABC和△A′ B′ C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ (SAS).
A
B
C
A ′
B ′
C ′
例1 如果AB=CB,BD是∠ABC的角平分线,那么△ABD 和△CBD全等吗？
A
B
C
D
解：∵BD是∠ABC的角平分线
∴∠ABD=∠CBD
△ABD与△CBD中
AB=CB(已知)
∠ABD=∠CBD(已证)
BD=BD(公共边)
∴△ABD≌△CBD (SAS)
已知:AD=CD，DB平分∠ADC ，试说明:∠A=∠C.
A
B
C
D
1
2
变式
解:∵DB 平分∠ ADC，
∴∠1=∠2.
在△ABD与△CBD中，
AD=CD(已知)
∠1=∠2(已证)
BD=BD(公共边)
∴△ABD≌△CBD(SAS)
∴∠A=∠C.
因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗
例2 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD. 求证：BC = AD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C =∠D = 90°
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB = BA，
∠C =∠D
AC = BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD
∴BC = AD.
方法总结：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
思考
两条边为2.5 cm，3.5 cm，长度2.5 cm边所对角为40°的三角形不一定全等.
如果三角形两条边分别为2.5 cm，3.5 cm，长度2.5 cm边所对的角为40°，你能画出这个三角形吗？
3.5cm
40°
①画一条3.5 cm的线段AO;
②画与线段AO成40°角的直线l;
③以线段a的端点A为圆心，以2.5
cm为半径画弧，交直线l与B、C;
④连接ABC,△AOB与△AOC皆为符合条件的三角形.
l
A
O
B
C
2.5cm
2.5cm
1.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是 ( )
A.∠A＝∠D B.∠E＝∠C
C.∠A=∠C D.∠ABD＝∠EBC
D
随堂练习
2.分别找出各题中的全等三角形，并说明理由.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
40°
40°
(1)
(2)
解：△ABC≌△EFD(SAS)
△ABC≌△CDA(SAS)
3.小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH,ED=FD.将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同伴进行交流.
解：△DEH与△DFH中
∵∠EDH=∠FDH,ED=FD，DH=HD
∴△DEH≌△DFH(SAS)
∴EH=FH
4.如图，已知CA=CB,AD=BD, M,N分别是CA,CB的中点，
试说明：DM=DN.
解:
连接CD，如图所示；
在△ACD与△BCD中
CA=CB(已知)
AD=BD(已知)
CD=CD(公共边)
∴△ACD≌△BCD(SSS)
∴∠A=∠B
又∵M，N分别是CA，CB的中点，
∴AM=BN
在△AMD与△BND中
AM=BN(已证)
∠A=∠B(已证)
AD=BD(已知)
∴△AMD≌△BND(SAS)
∴DM=DN.
5.如图，有一池塘，要测池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个点 C，从点 C不经过池塘可以直接到达点 A 和 B .连接 AC 并延长至点D，使 CD = CA，连接 BC 并延长至 点E，使 CE = CB.连接 ED，那么量出DE 的长就是 A，B 的距离，为什么？
分析:如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB= DE.由题意可知，△ABC和△DEC具备“边角边”的条件.
证明：在△ABC 和△DEC 中，
AC = DC ( 已知 )，
∠l =∠2 ( 对顶角相等 )，
BC = EC ( 已知 )，
∴△ABC ≌△DEC ( SAS ).
∴AB = DE ( 全等三角形的对应边相等 ).
课堂小结
方法归纳
基本事实
1.已知两边，必须找“夹角”；
2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边.
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等( “边角边”或“SAS”).
“SSA”不能判定两个三角形全等.
注意
用“边角边”判定
三角形全等
