(共25张PPT)
5.3.1 等腰三角形的对称性及性质
七年级下
北师版
1.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质，进一步理解轴对称的性质.
2.通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质．
难点
重点
学习目标
以下图片都含有:
等腰三角形
新课引入
你还记得等腰三角形吗？
定义:
两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图 AB=AC , 就是等腰三角形
基本要素:
1.相等的两边叫做腰
2.另一边叫做底边
3.两腰的夹角叫做顶角
4.腰和底边的夹角叫做底角
A
B
C
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
思考
等腰三角形是轴对称图形吗？对称轴是什么？
思考
在半透明的纸上，画一个等腰三角形，把它对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折痕为AD.
B
A
C
D
A
B
C
D
从折叠过程中你能发现什么？
新知学习
等腰三角形是轴对称图形
重合的线段 重合的角
A
C
B
D
AB＝AC
BD＝CD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB＝∠ADC = 90°
等腰三角形除了两腰相等以外，你还能发现它的其他相等的量吗
（AD平分顶角）
（AD为底边的高）
（AD为底边的中线）
对于“∠B=∠C”这一结果如何表述成命题
等腰三角形两底角相等.
C
A
B
D
已知：如图 ΔABC 中，AB = AC.
求证：∠B =∠C.
等腰三角形两底角相等.
猜想：
定理：
分析：常用什么方法证明线段相等？
如何构造全等三角形？
全等三角形
作 AD 平分∠BAC
ΔABD ≌ ΔACD
(SAS)
∠B=∠C
作 BC 边中线 AD
ΔABD ≌ΔACD
(SSS)
∠B=∠C
是正确的吗？
C
A
B
D
已知：如图 ΔABC 中，AB = AC.
求证：∠B =∠C.
解：作 AD 平分∠BAC
∠BAD=∠CAD
∴ΔABD ≌ ΔACD
(SAS)
∴∠B=∠C
∵在△ABD与△ACD中
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD=AD
C
A
B
等腰三角形两底角相等.
定理：
（等边对等角）
在 ΔABC 中，
∵AB = AC
∴∠B = ∠C
归纳
重合的线段 重合的角
A
C
B
D
BD＝CD
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB＝∠ADC = 90°
（AD平分顶角）
（AD为底边的高）
（AD为底边的中线）
等腰三角形底边上的中线、高及顶角角平分线互相重合.
对于这三个结果如何表述成命题
思考
AB＝AC
∠B ＝ ∠C.
已知：如图 ΔABC中，AB=AC,
求证：BD=CD,
猜想：
定理：
等腰三角形底边上的中线、高及顶角角平分线互相重合.
AD⊥BC.
AD平分∠BAC
已知：如图 ΔABC 中，AB=AC.
BD=CD.
求证：AD⊥BC，
AD平分∠BAC.
已知：如图 ΔABC 中，AB=AC,
求证：BD=CD,
AD⊥BC
AD平分∠BAC.
（AAS）
（SSS）
C
A
B
D
（SAS）
是真命题吗？
C
D
B
A
①在ΔABC 中，∵AB=AC，∴ ∠B=∠C（ ）
等边对等角
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠____ = ∠____，___= ___
（2）∵AB=AC，AD是中线，
∴___⊥___ , ∠____ =∠____
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
∴___ ⊥___ ，___ =___
BAD CAD
BD CD
AD BC
AD BC
BD CD
②在ΔABC中，
BAD CAD
（“三线合一”）
（“三线合一”）
（“三线合一”）
归纳
1.等腰三角形是轴对称图形.
3.等腰三角形的两个底角相等.
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
等腰三角形的性质
特别解读
适用条件：
（1） 必须是等腰三角形.
（2）必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才
相互重合.
三边都相等的三角形是等边三角形也叫正三角形.
等边三角形每条边上的中线、高线和对角的平分线互相重合.
等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都是60°.
等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴.
思考1
你能发现它的哪些特征？
思考2
归纳
等边三角形的性质
1.等边三角形的三条边都相等.
2.等边三角形的内角都相等，且等于 60 °.
3.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
4.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一.
1. 等腰三角形的顶角一定是锐角.
2. 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角.
3. 钝角三角形不可能是等腰三角形.
4. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边.
5. 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6. 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（ X ）
（ X ）
（ X ）
（ X ）
（√）
（√）
例1 判断下列说法的正误：
按下面的步骤做一做：
（1）将长方形纸片对折；
（2）然后沿对角线折叠，再沿折痕剪开.
你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流.
议一议
1. 在△ABC 中，AB = AC.
(1) 如果∠B = 70°，那么∠C = _____°，∠A = _____°；
(2) 如果∠A = 70°，那么∠B = _____°，∠C = _____°.
(3) 如果有一个角等于 120°，那么∠A = _____°，∠B = _____°，∠C = _____°；
70
40
55
55
120
30
30
随堂练习
(4) 如果有一个角等于 50°，那么另两个角等于多少度？
若∠A = 50°，
则∠B =∠C = 65°.
若∠B =∠C = 50°，
则∠A = 80°.
在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角．若已确定，则直接利用三角形的内角和为180°求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和为180°.
若等腰三角形中一内角是直角或钝角，则此角必为顶角.
方法总结
2.如图①，歼击机是航空兵空中作战的主要机种．如图②是其部分机翼抽象出的几何图形，在△ABC中，AB＝BC，点D是AC的中点，已知BD＝8 m，CD＝5 m，则△ABC的面积为____m2.
40
3.如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B 的度数是 ( )
A.40° B.35° C.25° D.20°
C
4.如图所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作MN∥BC交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，若 BM + CN = 9，则线段MN的长为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
D
5.如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，试说明AE=CD.
解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE=60°.
∴AE=CD.
∴△ABE ≌ △CBD(SAS)，
在△ABE 和△CBD 中，
等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形的
对称性及性质
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
等腰三角形的两个底角相等.
课堂小结(共20张PPT)
5.3.2 线段的对称性及垂直平分线
七年级下
北师版
1.探索线段的轴对称性.
2.理解线段垂直平分线的定义和有关性质.
3.会用尺规作线段的垂直平分线.
难点
重点
学习目标
复习回顾：
1.什么样的图形叫作轴对称图形？
把一个图形沿着某条直线对折，如果对折的两部分是完全重合的，我们就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫作这个图形的对称轴.
2.等腰三角形有哪些性质呢？
①等腰三角形是轴对称图形.
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合
（简称“三线合一”）.
③等腰三角形的两个底角相等.
新课引入
线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？
A
B
这就是我们本节课所要学习的主要内容
A
B
2.把纸展开，画出折痕l，l与AB相交于点O，在l上任取一点C，连接CA，CB；
C
O
1.在纸片上画一条线段AB，对折AB使点A，B重合.
l
你发现了什么？
新知学习
A
B
C
O
l
通过折叠可以看到AB对折后能够重合，说明线段AB是轴对称图形，而且折痕就是线段AB的对称轴. 可以发现折痕与AB垂直，并且平分这条线段AB.
线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线).
温馨提示
线段只有这一条对称轴吗？
其实，线段所在的直线也是线段的对称轴，只不过目前不研究.
AC＝BC
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 O，AO = BO，点 C 在直线 l 上．求证：AC = BC．
解：因为 l⊥AB，所以 ∠COA =∠COB＝90 °.
又 AO =BO，OC =OC，
所以 ΔCOA ≌ ΔCOB（SAS）．
所以 AC =BC．
如图所示，点 C 是线段 AB 垂直平分线 l 上的一点，AC 和 BC 相等吗？改变点 C 的位置，结论还成立吗？
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
用数学语言表示为：
因为 l ⊥ AB， AO = BO，
所以 AC = BC．
归纳
线段垂直平分线的性质
例：利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
1.分别以点A和点B为圆心，以大于AB一半的长为半径作弧，
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
2.作直线CD. 直线CD就是线段AB的垂直平分线．
A
B
C
D
两弧相交于点C 和 D；
作法：
你能说明这样作的道理吗？
温馨提示
垂直平分线的作图理论依据是等腰三角形的三线合一；而垂直平分线的性质就可以直接得到等腰三角形，从而简化了过程（相对三角形全等）.
你能利用尺规作图，找出线段AB的中点吗？
试一试
1.分别以点A和点B为圆心，以大于AB 一半的长为半径作弧，
2.作直线 CD，交 AB 于点 O. 点 O 就是线段 AB的中点．
A
B
C
D
两弧相交于点 C 和 D；
作法：
O
利用尺规作如图所示 ΔABC 的重心.
作法：
（1）作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；
（2）作线段AC的垂直平分线GH交AC于点E；
（3）连接AD，BE，并且AD与BE相交于点O.
点 O 就是 ΔABC 的重心.
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
做一做
1.下列说法中，不正确的是( )
A.线段是轴对称图形
B.将线段AB对折，使A,B两点重合,则折痕所在的直线是线段的一条对称轴
C.一条线段可看作是以它的垂线为对称轴的轴对称图形
D.线段的垂直平分线是它的一条对称轴
C
随堂练习
2.如图所示，在RtΔABC中，∠C=90°，∠B=30°. AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是( )
A.AE=BE B.AC=BE
C.CE=DE D.∠CAE=∠B
B
A
B
D
E
C
3.如图所示，某乳业公司要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离相等
可以先作线段AB的垂直平分线，与河岸边的交点就是码头M的位置.
居民区A
·
居民区B
·
街道
·
M
4.如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若ΔABC的周长为28，BC＝8，求ΔBCE的周长．
解：∵ΔABC的周长为28，
BC＝8且 AB＝AC，
∴AB＋AC＋BC＝28，
即2AC＋BC＝28，
∴AC＝10.
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴ΔBCE的周长为：
BE＋EC＋BC
＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝10＋8＝18.
即ΔBCE的周长是18.
5.如图，ΔABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P. 求证：
（1）PA=PB=PC.
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？
证明：∵点 P 是边AB、BC的垂直平分线的交点，
∴ PA=PB，PB=PC.
∴ PA = PB = PC.
∴ PA = PC，点 P 必在 AC 的垂直平分线上.
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等.
线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
线段的对称性
及垂直平分线
线段的
对称性
垂直平分
线的性质
垂直平分线
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线).
课堂小结(共21张PPT)
5.3.3 角的对称性及角平分线
七年级下
北师版
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.
2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.
学习目标
难点
重点
角是轴对称图形吗？你能找到它的对称轴吗？
思考
A
O
B
C
对折.
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
新课引入
O
B
A
C
2
1
如果把∠1 沿 OC 翻折，
发现∠1 =∠2，
即射线 OA 与射线 OB 重合.
结论：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
一、角平分线的性质
新知学习
图形 性质
线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
角平分线
思考
角平分线也具有类似的性质吗？
角平分线上的点_____________________________
猜想：角平分线上的点到角两边距离相等.
点 P 到 OB 上的点有多种情况，哪一种才是我们应该讨论的呢？
在∠AOB 的平分线上任意取一点 P，分别画点 P 到 OA 和 OB 的垂线段 PC 和 PD. PC 与 PD 相等吗？证明你的结论.
探究
把△POC 沿直线 OP 翻折
因为∠_____ =∠_____
所以 OA 与 OB 重合.
因为 _____⊥_____，_____⊥_____
依据“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”
可知 _____ 与 _____ 重合，所以 PC = PD.
AOP
BOP
PC
OA
PD
OB
PD
PC
已知：如图所示，OC 是∠AOB 的角平分线，CD⊥OA，CE⊥OB，垂
足分别为 D，E. 试说明：CD=CE.
解：∵ CD⊥OA,CE⊥OB，
∴ ∠CDO= ∠CEO=90 °.
在△CDO和△CEO中，
∠CDO= ∠CEO，
∠AOC= ∠BOC，
OC= OC，
∴ △CDO ≌ △CEO(AAS).
∴CD=CE.
你还能用别的方法推导出上述结论吗？
思考
归纳
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
①角的平分线；
②点在该平分线上；
③垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
几何格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
PD⊥OA，PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
角平分线的性质
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
A
B
C
D
E
F
证明： 因为 AD 是∠BAC 的角平分线，
DE⊥AB, DF⊥AC，
所以 DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在△BDE 和 △CDF中，
所以△BDE ≌ △CDF(AAS).
所以EB=FC.
∠ B= ∠C ，
DE=DF ，
∠DEB=∠DFC
例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 ∠B=∠C，DE⊥AB， DF⊥AC. 垂足分别为E，F. 求证：EB=FC.
例2 如图，BD是∠ABC的平分线，BA＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N，试说明：PM＝PN.
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵BA＝BC，BD＝BD，
∴△ABD ≌ △CBD (SAS)，
∴∠ADB＝∠CDB.
又∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.
具体运用是：一平分两垂直得相等
优势：相比三角形全等，更加简洁
二、尺规作角平分线
例1 利用尺规，作∠AOB的平分线（如图）.
已知：∠AOB.
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.
作法：1.在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE.
2.分别以D，E为圆心、以大于 DE的长为半径 作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
3.作射线OC. OC就是∠AOB的平分线（如图）.
B
D
E
C
O
你能说明其中的数学依据吗？
A
A
B
O
M
N
C
在△OCM 和△OCN 中
OM=ON
CM=CN
OC=OC
∴△OCM ≌ △OCN（SSS）
∴∠AOC=∠BOC
证明：∠AOC=∠BOC
原理验证
先任意画一个角，然后将它四等分.
作法：画出已知角∠AOB .
1.作∠AOB 的平分线OC.
2.分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE，
即将∠AOB四等分 .
O
B
A
C
E
D
练一练
练一练：利用尺规，作∠AOB的平分线．
已知：∠AOB．
求作：射线 OC，使∠AOC =∠BOC．
作法：
1．在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE．
3．作射线OC．
OC 就是∠AOB的平分线．
O
B
A
C
E
D
2．分别以D，E为圆心．大于 DE的长为半径作弧．两弧在
∠AOB的内部交于C．
1.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
随堂练习
2. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE 的周长是( )
A．6 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．9 cm
A
3.在 Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点 D，DE⊥AC，垂足为点 E，若 BD=3，则 DE 的长为（ ）
A．3
B．1.5
C．2
D．6
A
5.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是 .
A
B
C
D
3
E
4. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= °，BE= .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
6. 如图所示，D 是∠ACG 的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为 E，F. 试说明：CE=CF.
解：因为CD是∠ACG的平分线，
DE⊥AC，DF⊥CG，
所以DE＝DF, ∠DCE= ∠DCF,
∠DEC= ∠DFC.
所以△CDE ≌ △CDF(AAS)，
所以CE＝CF.
属于基本作图，必须熟练掌握.
过角平分线上一点向两边作垂线段.
角的对称性
及角平分线
辅助线添加
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
尺规作图
课堂小结
