备战2024年江苏省扬州市中考数学训练卷(含解析版)

备战2024年江苏省扬州市中考数学训练卷 （试卷满分150分，考试时间为120分钟．）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）
1. 在第七次全国人口普查中，江苏常住人口约为人，
将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
若，则括号内应填的单项式是（ ）
A. a B. C. D.
3 . 估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
4 . 某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，
某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：
在平面内，，的延长线交于点F；若，
则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5. 已知点、、在反比例函数图象上，则（ ）
A． B． C． D．
6 . 某校春季运动会比赛中，七年级六班和七班的实力相当，关于比赛结果，
甲同学说：六班与七班的得分比为4∶3， 乙同学说：六班比七班的得分2倍少40分，
若设六班得x分，七班得y分，则根据题意可列方程组（ ）
A． B． C． D．
7 .赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.
如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A. B. C. D.
8. 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，
其中，且，则矩形的面积为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10. 分解因式： ．
11. 如图，直线，的直角顶点C在直线b上，若，则的度数为 ．
12. 已知关于 x 的一元二次方程 有实数根，则实数 m的取值范围为 ．
13 .分式方程＝的解是 ．
14 .某学习小组利用直立在地面上标杆测量直立在同一水平地面上的旗杆的高度（如图）．
同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是．
已知B、C、E、F在同一直线上，，则 ．
15 . 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，
它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，
若，每个直角三角形的面积为15，则c的长为 ．

16 .如图，在中，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点M，N；
②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；
③作射线，交于点D
若点D到的距离为1，则的长为 ．
17 .某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，
甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，
该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，
那么从开始，经过______分钟时，当两仓库快递件数相同．
18 . 如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，
点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则BG的长是________cm．
解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
计算：
（1）；
（2）．
20. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
21. 甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：年）
甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15
乙厂：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15
丙厂：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16
请回答下面问题：
（1）请把表格补充完整
平均数 众数 中位数
甲厂 5 6
乙厂 9.6 8.5
丙厂 9.4 4
（2）这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数？
（3）你是顾客，你买三家中哪一家的电子产品？为什么？
22 .甲、乙两位同学相约打乒乓球．
有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，
乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，
那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
23 .在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
24 . 如图，已知反比例函数一次函数的图像交于点，两点．
(1)求，，的值；
(2)求的面积；
(3)请直接写出不等式的解．
25. 如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
某动物园在周年庆来临之际，推出、两种纪念章，
已知每个种纪念章的进价比每个种纪念章的进价多4元；
购进6件种纪念章和购进10件种纪念章的费用相同，
且种纪念章售价为13元/个，种纪念章售价为8元/个．
每个种纪念章和每个种纪念章的进价分别是多少元？
(2) 根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进、两种纪念章共400个，
这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？
27. 【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，
两块三角板分别记作和，设．
【操作探究】
如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，
旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．
（1）当时，________；当时，________；
（2）当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________．
28. 抛物线过点A(－1，0)，点B(3，0)，与y轴交于C点．
图1 图2
求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2) 如图1，设M是抛物线上的一点，若∠MAB=45°，求M点的坐标；
(3) 如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，
过P点作PF⊥BC，交BC与F点，△PEF的周长是否有最大值，
若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由．
备战2024年江苏省扬州市中考数学训练卷（解析版）
试卷满分150分，考试时间为120分钟．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）
1. 在第七次全国人口普查中，江苏常住人口约为人，
将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，
其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解此题关键．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，即可解答．
【详解】
故选：C．
若，则括号内应填的单项式是（ ）
A. a B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴（ ）．
故选：A．
3 . 估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】B
【分析】根据进行判断即可．
【详解】解：
故选：B．
4 . 某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，
某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：
在平面内，，的延长线交于点F；若，
则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形外角性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5. 已知点、、在反比例函数图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据判断出反比例函数图象所在的象限，再根据反比例函数的增减性解答即可．
【详解】解：点、、在反比例函数图象上，，
函数图象在第一、三象限，随的增大而减小，
，
，
即，
故选：B．
6 . 某校春季运动会比赛中，七年级六班和七班的实力相当，关于比赛结果，
甲同学说：六班与七班的得分比为4∶3， 乙同学说：六班比七班的得分2倍少40分，
若设六班得x分，七班得y分，则根据题意可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设六班得x分，七班得y分，根据：六班与七班的得分比为4：3，六班比七班的得分2倍少40分，可列方程组．
【详解】解：设六班得x分，七班得y分，则根据题意可列方程组：
，
故选：A．
7 .赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.
如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，
由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B
8. 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，
其中，且，则矩形的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据折叠的性质得到，然后根据同角的余角相等得到，进而得到，设，，则，，根据定理求出，，最后利用矩形面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴解得：，负值舍去，
∴，，
∴矩形的面积．
故选：A．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
10. 分解因式： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
11. 如图，直线，的直角顶点C在直线b上，若，则的度数为 ．
【答案】50°
【分析】如图：由平行线的性质可得，然后根据平角的性质可得即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为50°．
12. 已知关于 x 的一元二次方程 有实数根，则实数 m的取值范围为 ．
【答案】m≤4
【分析】根据根的判别式大于或等于零求解即可．
【详解】解：由题意得
=(-4)2-4m≥0，
解得m≤4．
故答案为：m≤4．
13 .分式方程＝的解是 ．
【答案】x＝－6
【分析】去分母后化为整式方程求解后检验即可．
【详解】方程两边同时乘以x（x－3）得：
3x=2(x－3)
3x－2x=－6
x=－6
检验：当x=－6时，x（x－3）≠0
所以x=－6是原分式方程的解．
故答案为： x=－6
14 .某学习小组利用直立在地面上标杆测量直立在同一水平地面上的旗杆的高度（如图）．
同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是．
已知B、C、E、F在同一直线上，，则 ．
【答案】
【分析】由题意可得出，即得出，再根据，即可证，得出，代入数据，即可求出，即旗杆的高度为．
【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴旗杆的高度为．
故答案为：．
15 . 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，
它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，
若，每个直角三角形的面积为15，则c的长为 ．

【答案】8
【分析】由直角三角形的面积可求出，再把两边平方得，再结合勾股定理可知，从而可求出结论．
【详解】解：∵每个直角三角形的面积为15，
∴，
∴，
又，
∴，
整理得，，
又，
∴，
解得，或（负值舍去），
故答案为：8．
16 .如图，在中，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点M，N；
②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；
③作射线，交于点D
若点D到的距离为1，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点D作于点E，由尺规作图AD平分，可求，然后证明∠EDB=∠B，可得DE=BE=1，在Rt△DEB中，由勾股定理得出， 即可得出答案．
【详解】解:过点D作于点E，
由作图步骤知，AD平分，
，点D到的距离为1，
∵
∴∠B=∠CAB=45°，
∴∠EDB=180°-∠DEB-∠B=45°=∠B，
∴DE=BE=1，
在Rt△DEB中，由勾股定理
∴BC=DC+BD=1+．
故答案为1+．
17 .某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，
甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，
该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，
那么从开始，经过______分钟时，当两仓库快递件数相同．
【答案】20
【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
18 . 如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，
点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则BG的长是________cm．
解：由翻折的性质得，DF=EF，设EF=x，则AF=6-x，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=3，
在Rt△AEF中，，
即，解得：x=，
∴AF=，
∵∠FEG=∠D=90°，
∴∠AEF+∠BEG=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠BEG，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BGE，
∴，
即，
解得BG=4，
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】
（1）；
（2）
【分析】（1）先计算负整数指数幂、化简二次根式及特殊角的三角函数，然后计算加减即可；
（2）先计算分式的除法，然后计算加减法即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
20. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析．
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得·，
解不等式②，得：，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
则不等式组解集为：
．
21. 甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：年）
甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15
乙厂：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15
丙厂：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16
请回答下面问题：
（1）请把表格补充完整
平均数 众数 中位数
甲厂 5 6
乙厂 9.6 8.5
丙厂 9.4 4
（2）这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数？
（3）你是顾客，你买三家中哪一家的电子产品？为什么？
【答案】（1）8，8，8；（2）甲家的销售广告利用了平均数8表示集中趋势的特征数；乙家的销售广告利用了众数8表示集中趋势的特征数；丙家的销售广告利用了中位数8表示集中趋势的特征数；（3）作为顾客在选购产品时，应选乙厂的产品．
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义解题，众数：一组数据中，出现次数最多的数，中位数：将一组数据按顺序排列，位于正中间的一个数（或两个数的平均值）；
（2）根据平均数、众数、中位数的定义解题；
（3）根据众数的实际意义解题．
【详解】解：（1）甲厂：平均数为
乙厂：数字8出现的次数最多，故众数为8
丙厂：将这组数据按顺序排列，位于正中间的两个数是，7，9，故中位数为：；
（2）甲家的销售广告利用了平均数8表示集中趋势的特征数
乙家的销售广告利用了众数8表示集中趋势的特征数
丙家的销售广告利用了中位数8表示集中趋势的特征数
（3）∵平均数：乙大于丙大于甲
众数：乙大于甲大于丙
中位数：乙大于丙大于甲
∴作为顾客在选购产品时，应选乙厂的产品．
22 .甲、乙两位同学相约打乒乓球．
有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，
乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，
那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
【答案】（1）
（2）公平．理由见解析
【解析】
【分析】（1）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再用乙选中球拍C的结果数除以总的结果数即可；
（2）分别求出甲先发球和乙先发球的概率，再比较大小，如果概率相同则公平，否则不公平．
【小问1详解】
解：画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，
∴乙选中球拍C的概率；
【小问2详解】
解：公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，
∴甲先发球的概率，
乙先发球的概率，
∵，
∴这个约定公平．
23 .在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据题意，直接运用“角角边”证明即可；
（2）结合（1）的结论，先证明其为平行四边形，然后证明一组邻边相等，根据菱形的定义判定即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵E是AD的中点，
∴，
在△AEF与△DEB中，
∴；
（2）由（1）可知，，
∵D是BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵△ABC为直角三角形，
∴，
∴四边形ADCF是菱形．
24 . 如图，已知反比例函数一次函数的图像交于点，两点．
(1)求，，的值；
(2)求的面积；
(3)请直接写出不等式的解．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）把代入反比例函数解析式，可得，再求解的值，
再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）如图，当，，则一次函数的图像与轴的交点的坐标为，根据计算即可；
（3）根据一次函数的图像在反比例函数图像的上方可得答案.
【详解】（1）解： 反比例函数与一次函数的图像交于点、
，，
∴，解得：，
∴，
∴，解得：，
∴；
（2）如图，当，，
∴一次函数的图像与轴的交点的坐标为，
∴；
（3）由函数图像可得：的解集为：
或．
25. 如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长．
【详解】解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD AB＝2×3＝6，
∴AC＝
某动物园在周年庆来临之际，推出、两种纪念章，
已知每个种纪念章的进价比每个种纪念章的进价多4元；
购进6件种纪念章和购进10件种纪念章的费用相同，
且种纪念章售价为13元/个，种纪念章售价为8元/个．
每个种纪念章和每个种纪念章的进价分别是多少元？
(2) 根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进、两种纪念章共400个，
这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)每个A种纪念章的进价为10元，每个B种纪念章的进价为6元；
(2)该专卖店获得销售利润最大的进货方案为购进A纪念章100个，B纪念章300个，最大利润为900元．
【分析】（1）设每个A种纪念章的进价为x元，则每个B种纪念章的进价为元，由等量关系列出方程即可求解；
（2）设购进A种纪念章a个，则购进B种纪念章(400 a)个，利润为w元，由题意知，，利润，然后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个A种纪念章的进价为x元，则每个B种纪念章的进价为元，
由题意得，，
解得：，
∴，
答：每个A种纪念品的进价为10元，每个B种纪念品的进价为6元；
（2）解：设购进A种纪念章a个，则购进B种纪念章(400 a)个，利润为w元，
由题意知，，
解得，，
，
∵，
∴w随着a的增大而增大，
∴当时，w最大，值为900，
∴（个），
答：该专卖店获得销售利润最大的进货方案为购进A纪念章100个，B纪念章300个，最大利润为900元．
27. 【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，
两块三角板分别记作和，设．
【操作探究】
如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，
旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．
（1）当时，________；当时，________；
（2）当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________．
【答案】（1）2；30或210
（2）画图见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，与重合，证明为等边三角形，得出；当时，根据勾股定理逆定理得出，两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可；
（2）证明四边形是正方形，得出， 求出，得出，求出，根据求出两块三角板重叠部分图形的面积即可；
（3）根据等腰三角形的性质，得出，即，确定将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，求出圆的周长即可．
【小问1详解】
解：∵和中，
∴，
∴当时，与重合，如图所示：连接，
∵，，
∴为等边三角形，
∴；
当时，
∵，
∴当时，为直角三角形，，
∴，
当在下方时，如图所示：
∵，
∴此时；
当在上方时，如图所示：
∵，
∴此时；
综上分析可知，当时，或；
故答案为：2；30或210．
【小问2详解】
解：当时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
即两块三角板重叠部分图形的面积为．
【小问3详解】
解：∵，为的中点，
∴，
∴，
∴将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，
∵
∴点F运动的路径长为．
故答案为：．
28. 抛物线过点A(－1，0)，点B(3，0)，与y轴交于C点．
图1 图2
求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2) 如图1，设M是抛物线上的一点，若∠MAB=45°，求M点的坐标；
(3) 如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，
过P点作PF⊥BC，交BC与F点，△PEF的周长是否有最大值，
若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由．
【答案】(1)，C(0，－3)
(2)M（4，5）或M（2，－3）
(3)有，P点的坐标为（，－）
【分析】(1)把点的坐标代入解析式，转化为方程组，确定a，b的值即可．
(2)分点M在第一象限和第四象限两种情况根据45度角的特征列方程求解即可．
(3)根据垂直及对顶角相等易证△FPE∽△OBC，根据相似三角形的性质将题转化为与△OBC的周长有关的比例式；设直线BC的解析式为y=px+q，根据待定系数法求出直线BC的解析式，设P（n，），则E(n，n－3)，列出关于n的二次函数式，根据二次函数最值即可得出答案．
【详解】（1）由题意得
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴点C(0，－3)．
（2）①当M点在第一象限时，
设M（m，），
过M点作MN⊥x轴，
∵∠MAB＝45°，MN＝NA，
∴m＋1＝，
解方程得：m＝4或m＝－1，
m＝－1不合题意，舍去．
故m＝4 ，
∴M（4，5）；
当M点在第四象限时，同理可得：
m＋1＝－（）
解方程得：m＝2或m＝－1，
m＝－1不合题意，舍去．
故m＝2，
∴M（2，－3），
综上M（4，5）或M（2，－3）．
（3）△PEF的周长有最大值．理由如下：
∵PD⊥DB，
∴∠EBD＝90°－∠DEB，
∵PF⊥BC，
∴∠FPE＝90°－∠FEP，
∵∠DEB＝∠FEP，
∴∠EBD＝∠FPE，
又∵∠EFP＝∠BOC＝90°，
∴△FPE∽△OBC，
∴△PEF的周长：△OBC的周长＝PE：BC，
∵OB=OC=3，
∴BC=，
∴△PEF的周长为z，△OBC的周长＝，
∵直线BC过B（3，0）和C（0，－3），
设直线BC的解析式为y=px+q，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x－3，
设P（n，），则E(n，n－3)
PE＝n－3－（）＝，
∴z：（6＋3）＝()：3，
z＝－(＋1) ＋3(＋1）n，
∵－(＋1)＜0，
∴z有最大值，此时n＝，
当n＝时，＝－，
故P点的坐标为（，－）．