第六章 平面向量及其应用
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知＝(3,0)，那么||等于( )
A．2 B．3
C．(1,2) D．5
2．若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则＝( )
A．(－2,3) B．(0,1)
C．(－1,2) D．(2，－3)
3．已知向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－ B．
C．6 D．2
4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
5．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若b2＋c2－a2＝bc，则sin(B＋C)的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
6．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，若|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围为( )
A． B．
C．[2,3] D．[1,3]
7．如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A． B．
C． D．
8．已知M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则·的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[－1,2]
C．[－1,3] D．[－1,4]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．以下关于正弦定理或其变形正确的有( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件
D．在△ABC中，＝
10．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有( )
A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形
B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形
C．若sin2A＋sin2B＋cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或
11．对于任意的平面向量a，b，c，下列说法错误的是( )
A．若a∥b且b∥c，则a∥c B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c D．(a·b)·c＝a·(b·c)
12．已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R时，|e1＋λe2|的最小值为，则下列结论正确的是( )
A．e1，e2的夹角是 B．e1，e2的夹角是或
C．|e1＋e2|＝1或 D．|e1＋e2|＝1或
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
14．已知向量a＝(m,2)，b＝(－1，n)(n＞0)，且a·b＝0，点P(m，n)在以(0,0)为圆心，半径为的圆上，则m＋n＝________，|2a＋b|＝________．
15．如图，在海岸线上相距2千米的A，C两地分别测得小岛B在A的北偏西α方向，在C的北偏西－α方向，且cos α＝，则B，C之间的距离是________千米．
16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0，b＝3，△ABC的周长为3＋2，则△ABC的面积是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥．
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值．
18．(12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝tan A＋tan B．
(1)求角A的大小；
(2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c．
19．(12分)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝．
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
20．(12分)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b．
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
21．(12分)已知△ABC中三个内角A，B，C满足cos B＝sin(A＋C)＋1．
(1)求sin B；
(2)若C－A＝，b是角B的对边，b＝，求△ABC的面积．
22．(12分)已知函数f(x)＝sin xcos x－cos 2x－．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，D为边AB上一点，CD＝2，B为锐角，且f(B)＝0，求∠BDC的正弦值．第六章 平面向量及其应用
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知＝(3,0)，那么||等于( )
A．2 B．3
C．(1,2) D．5
【答案】B
【解析】∵＝(3,0)，∴||＝＝3．故选B．
2．若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则＝( )
A．(－2,3) B．(0,1)
C．(－1,2) D．(2，－3)
【答案】D
【解析】＝(－1,2)，＝(1，－1)，所以＝－＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3)．
3．已知向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－ B．
C．6 D．2
【答案】C
【解析】∵向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，a⊥b，∴6－k＝0，解得k＝6．故选C．
4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【答案】C
【解析】设向量a，b夹角为θ，|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，则cos θ＝－．又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．故选C．
5．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若b2＋c2－a2＝bc，则sin(B＋C)的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】B
【解析】由b2＋c2－a2＝bc，得cos A＝＝，则sin(B＋C)＝sin A＝．
6．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，若|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围为( )
A． B．
C．[2,3] D．[1,3]
【答案】D
【解析】∵已知|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，|c－a－b|＝1＝|c－(a＋b)|≥|c|－|a＋b|，∴|c|≤1＋|a＋b|．又|a＋b|＝＝＝＝2．∴|c|≤3．再根据|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥|a＋b|－|c|，可得|c|≥|a＋b|－1＝2－1＝1，故有1≤|c|≤3．故选D．
7．如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵＝，∴－＝(－)．∴＝＋．又＝，∴＝＋＝λ＋μ．∴λ＝，μ＝．∴λ＋μ＝．
8．已知M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则·的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[－1,2]
C．[－1,3] D．[－1,4]
【答案】C
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设M(x，y)，其中A(－1，－1)，B(1，－1)，易知x2＋y2≤1，而·＝(－1－x，－1－y)·(1－x，－1－y)＝x2＋(y＋1)2－1，若设E(0，－1)，则·＝||2－1．由于0≤||≤2，所以·＝||2－1的取值范围是[－1,3]．故选C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．以下关于正弦定理或其变形正确的有( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件
D．在△ABC中，＝
【答案】ACD
【解析】对于A，由正弦定理，＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故正确；对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得sin A＞sin B a＞b A＞B，因此A＞B是sin A＞sin B的充要条件，正确；对于D，由正弦定理＝＝＝2R，可得右边＝＝＝2R＝左边，故正确．故选ACD．
10．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有( )
A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形
B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形
C．若sin2A＋sin2B＋cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或
【答案】CD
【解析】对于A，sin 2A＝sin 2B，∴A＝B △ABC是等腰三角形，或2A＋2B＝π A＋B＝，即△ABC是直角三角形，故A不对；对于B，由sin A＝cos B，∴A－B＝或A＋B＝，△ABC不一定是直角三角形；对于C，sin2A＋sin2B＜1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2＜c2，则△ABC为钝角三角形，C正确；对于D，由正弦定理，得sin C＝＝，而c＞b，∴C＝60°或C＝120°，则A＝90°或A＝30°，则S△ABC＝bcsin A＝或．D正确．故选CD．
11．对于任意的平面向量a，b，c，下列说法错误的是( )
A．若a∥b且b∥c，则a∥c B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c D．(a·b)·c＝a·(b·c)
【答案】ACD
【解析】a∥b且b∥c，当b为零向量时，则a与c不一定共线，即A错误；由向量数量积的分配律得(a＋b)·c＝a·c＋b·c，即B正确；因为a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，又a≠0，则b＝c或a⊥(b－c)，即C错误；取a，b，c为非零向量，且a与b垂直，b与c不垂直，则(a·b)·c＝0，a·(b·c)≠0，即D错误．故选ACD．
12．已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R时，|e1＋λe2|的最小值为，则下列结论正确的是( )
A．e1，e2的夹角是 B．e1，e2的夹角是或
C．|e1＋e2|＝1或 D．|e1＋e2|＝1或
【答案】BC
【解析】∵e1，e2是两个单位向量，且|e1＋λe2|的最小值为，∴(e1＋λe2)2的最小值为．设e1，e2的夹角为θ，(e1＋λe2)2＝λ2＋2λcos θ＋1＝(λ＋cos θ)2＋1－cos2θ，∴1－cos2θ＝，则e1与e2的夹角为或．∴|e1＋e2|2＝1或3，则|e1＋e2|＝1或．故选BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
【答案】
【解析】＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝．
14．已知向量a＝(m,2)，b＝(－1，n)(n＞0)，且a·b＝0，点P(m，n)在以(0,0)为圆心，半径为的圆上，则m＋n＝________，|2a＋b|＝________．
【答案】3
【解析】因为向量a＝(m,2)，b＝(－1，n)(n＞0)，且a·b＝0，P(m，n)在以(0,0)为圆心，半径为的圆上，∴解得m＝2，n＝1，即m＋n＝2＋1＝3．∴2a＋b＝(3,5)，∴|2a＋b|＝．
15．如图，在海岸线上相距2千米的A，C两地分别测得小岛B在A的北偏西α方向，在C的北偏西－α方向，且cos α＝，则B，C之间的距离是________千米．
【答案】12
【解析】依题意，AC＝2，sin∠BAC＝sin＝cos α＝，sin B＝sin＝cos 2α＝2cos2α－1＝．在△ABC中，由正弦定理得BC＝＝＝12，则B与C之间的距离是12千米．
16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0，b＝3，△ABC的周长为3＋2，则△ABC的面积是________．
【答案】
【解析】已知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0，则(sin A＋2sin C)cos B＋sin Bcos A＝0，整理得sin Acos B＋cos A·sin B＋2sin Ccos B＝0，解得cos B＝－．由于0＜B＜π，所以B＝．因为△ABC的周长为3＋2，则a＋b＋c＝3＋2，由于b＝3，则a＋c＝2．由于b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B，解得ac＝3．故S△ABC＝acsin B＝．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥．
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值．
解：因为＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，
所以＝＋＋＝(3,3＋m＋n)．
(1)因为∥，所以＝λ，即解得n＝－3．
(2)因为＝＋＝(2,3＋m)，＝＋＝(4，m－3)，又因为⊥，所以·＝0，即8＋(3＋m)(m－3)＝0，解得m＝±1．
18．(12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝tan A＋tan B．
(1)求角A的大小；
(2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c．
解：(1)∵在△ABC中，＝tan A＋tan B，∴＝＋，
即＝，∴＝，则tan A＝．
又∵0＜A＜π，∴A＝．
(2)由BD＝5，DC＝3，a＝7，得cos∠BDC＝＝－．
又∵0＜∠BDC＜π，∴∠BDC＝．
又∵A＝，∴△ABD为等边三角形．∴c＝5．
19．(12分)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝．
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
解：(1)根据条件，(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝1－b2＝，∴b2＝．|b|＝．
(2)∵a·b＝－，∴a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1－＝，|a＋2b|＝＝＝1．cos θ＝＝＝．∵θ∈[0，π]，∴θ＝．
20．(12分)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b．
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
(1)解：延长AD到G，使＝，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，所以＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)可知＝，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线．
21．(12分)已知△ABC中三个内角A，B，C满足cos B＝sin(A＋C)＋1．
(1)求sin B；
(2)若C－A＝，b是角B的对边，b＝，求△ABC的面积．
解：(1)∵cos B＝sin(A＋C)＋1，sin(A＋C)＝sin B，∴cos B＝sin B＋1．又sin2B＋cos2B＝1，化为3sin2B＋2sin B－1＝0，结合1＞sin B＞0，解得sin B＝．
(2)C－A＝，又∵A＋B＋C＝π，可得2A＝－B，C为钝角．∴sin 2A＝cos B．又∵b＝，∴＝＝＝3．∴a＝3sin A，b＝3sin B．∵B为锐角，∴cos B＝．∴△ABC的面积S＝acsin B＝×3sin A×3sin C×＝sin Asin＝sin Acos A＝sin 2A＝cos B＝×＝．∴△ABC的面积为．
22．(12分)已知函数f(x)＝sin xcos x－cos 2x－．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，D为边AB上一点，CD＝2，B为锐角，且f(B)＝0，求∠BDC的正弦值．
解：(1)f(x)＝sin xcos x－cos 2x－＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，要求函数f(x)的单调递减区间，令2x－∈(k∈Z)，得x∈(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由于f(B)＝0，即sin－＝0，解得B＝或(舍去)，由B＝，在△BCD中，＝，所以sin∠BDC＝×＝．
