(共18张PPT)
6.3.1 几何图形问题
七年级下
华师版
1. 通过分析图形中的基本等量关系，应用一元一次方程解决具体的实际问题.
2. 能在实践活动中，借助直观的图形来列方程.
学习目标
难点
重点
1. 列一元一次方程解一元一次方程的步骤是什么？
用一元一次方程解决实际问题，其步骤可以记为：
① 审；② 设；③ 列；④ 解；⑤ 验；⑥ 答.
2. 长方形的周长公式和面积公式分别是什么？
周长公式：C = 2(a + b)
面积公式：S = ab
新课引入
3. 用一块橡皮泥先捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个“又矮又胖”的圆柱，请思考下面几个问题：
(1) 在你操作的过程中，圆柱由“瘦”变“胖”，圆柱的底面直径变了吗？圆柱的高呢？
圆柱的底面直径变大，圆柱的高变小.
(2) 在这个变化过程中，什么量没有变化呢？
圆柱体积始终不变.
问题1：用一根长为 60 厘米的铁丝围成一个长方形.
(1) 若该长方形的宽是长的 ，此时长方形的长、宽各是多少呢？
分析：① 本题的等量关系是 __________________________.
② 如果设长方形的长是 x cm，则宽是 _____ cm.
根据题意，可列方程 ______________.
解得，x = ______，则宽是 _____cm.
答：长方形的长是 18 cm，宽是 12 cm.
长方形的周长 = 铁丝的长度
18
12
新知学习
问题1：用一根长为 60 厘米的铁丝围成一个长方形.
(2) 如果长方形的宽比长少 4 厘米，求这个长方形的面积；
思考：能不能直接设长方形的面积为 x 平方厘米？若不能，该怎么办？
不能直接设长方形的面积为 x 平方厘米！
解：设长方形的宽为 x cm，则长为 (x + 4)cm，
这个长方形的面积为 x(x + 4) cm2.
由题意可得方程 2·[x + (x + 4)] = 60
解方程 得 x = 13，
则长方形的面积为 13×(13 + 4) = 221 cm2.
问题1：用一根长为 60 厘米的铁丝围成一个长方形.
(3) 比较 (1)、(2) 所得的长方形面积的大小.
解：(1) 的面积 ___________.
(2) 的面积 __________.
所以，__________ 的面积大.
216 cm2
221 cm2
(2)
问题1：用一根长为 60 厘米的铁丝围成一个长方形.
(4) 还能围出面积更大的长方形吗？请你填写下表，想一想有什么发现？
长与宽的关系 长 宽 面积
宽比长少 3 厘米
宽比长少 2 厘米
宽比长少 1 厘米
宽比长少 0 厘米
16.5
13.5
222.75
16
14
224
15.5
14.5
224.75
15
15
225
周长相等的情况下，长方形的长和宽越接近，面积越大，当长方形变成正方形时，面积达到最大.
问题2：某居民楼顶有一个底面半径和高均为 4 m 的圆柱形储水箱. 现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面半径由 4 m 减少为 3.2 m. 那么在容积不变的前提下，水箱的高度应由原先的 4 m 增高为多少米？
分析：(1) 填写下表
如果设水箱的高变为 x m，则
旧水箱 新水箱
底面半径/m
高/m
体积/m2
3.2
4
x
4
π·3.22·x
64π
(2) 根据题意，在这个问题中水箱的 _______ 不变. 根据表格中的分析，可以找出如下的等量关系：___________________________.
容积
新水箱的容积 = 旧水箱的容积
(3) 求出方程的解.
根据等量关系，列出方程：
_______________________________
解得 x = ______.
因此，水箱的高变成了 6.25 m.
π·3.22·x = 64π
6.25
1. 根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ( )
A. π ×( )2x = π×( )2×(x + 5)
B. π ×( )2x = π×( )2×(x - 5)
C. π×82x = π×62×(x + 5)
D. π×82x = π×62×5
A
随堂练习
2. 一个长方形的周长为 26 cm，这个长方形的长减少 1 cm，宽增加 2 cm，就可成为一个正方形，设长方形的长为 x cm，则可列方程 ( )
A. x - 1 =(26 - x) + 2 B. x - 1 = (13 - x) + 2
C. x + 1 = (26 - x) - 2 D. x + 1 = (13 - x) - 2
B
3. 如图，小明将一个正方形纸剪出一个宽为 4 cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为 5 cm 的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条面积为 ( )
A. 16 cm2 B. 20 cm2
C. 80 cm2 D. 160 cm2
C
4. 图1是边长为 30 cm 的正方形纸板，裁掉阴影后将其折叠成图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的 2 倍，则它的体积是_______cm3.
1000
5.如图，某农场计划将一块长方形土地划分为六个正方形地块，其中五块分别种植不同蔬菜，中间预留一块边长为40 cm的土地装置自动洒水器，则这块长方形土地的周长为__________cm.
1920
6. 某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示. 根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多 4 cm，求这种药品包装盒的体积.
解：设宽为 x cm，则长为 (x + 4) cm，高为 (18 - x)cm，
由题意得 2(x + 4) + x + (18 - x) = 37，
解得 x = 8，
则 x + 4 = 8 + 4 = 12(cm)，
(18 - x) = ×(18 - 8) = ×10 = 5 (cm)，
8×5×12 = 480 (cm3).
答：这种药品包装盒的体积为 480 cm3.
7. 如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为10 cm，原容器内水的高度为 12 cm，把一根半径为 2 cm 的玻璃棒垂直插入水中后，问容器内的水将升高多少厘米？(圆柱的体积= 底面积×高)
解：设容器内水将升高 x 厘米，
根据题意，得 π×102×x = π×22×(12 + x)，
解得 x = 0.5，
答：容器内水将升高 0.5 厘米.
1. 你认为利用方程解决实际问题的关键是什么？
找等量关系，根据等量关系列出方程.
2. 在寻找图表问题中的等量关系时，你学会了什么方法？
将已知量和未知量、变化前的量和变化后的量进行对比，找到等量关系.
课堂小结(共22张PPT)
6.3.2 购买销售问题与变化率问题
七年级下
华师版
1. 掌握“销售中的盈亏”中的相关概念及数量关系.
2. 掌握解决“销售中的盈亏”问题的一般思路.
3. 经历运用方程解决实际问题的过程，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.
学习目标
难点
重点
1. 商品利润等有关知识：
(1) 利润 = __________ - __________；
(2) 商品利润率 = _______________；
(3) 打 x 折就是原价的 __________.
售价
进价
新课引入
2. 小王做服装生意，一批服装的进价是每件 50 元，按成本价提高了 60% 销售，后来又在一次促销活动中按标价的八折进行销售. 请你帮忙计算一下，这批服装在打完折以后还能赚到钱吗？
解：因为每件衣服按成本价提高 60% 进行销售，
所以售价 = 进价×(1 + 60%) = 50×1.6 = 80 (元)，
打八折后的售价为 80×0.8 = 64 (元)，
因为 64 > 50，所以还能赚到钱.
问题1：新学期开始，某校三个年级为地震灾区捐款. 经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的 ，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，已知九年级捐款 1964 元，求其他两个年级的捐款数.
分析：(1) 题目中的等量关系有哪些？
① 七年级捐款 = 捐款总数
② 八年级捐款 = 捐款总数
③ 七年级还款 + 八年级捐款 + 九年级捐款 = 捐款总数
新知学习
问题1：新学期开始，某校三个年级为地震灾区捐款. 经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的 ，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，已知九年级捐款 1964 元，求其他两个年级的捐款数.
分析：(2) 要求的量有两个，你觉得要怎样设未知数？
设捐款总数为 x 元.
问题1：新学期开始，某校三个年级为地震灾区捐款. 经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的 ，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，已知九年级捐款 1964 元，求其他两个年级的捐款数.
解：设捐款总数为 x 元，则七年级捐款 x 元，八年级捐款 x 元.
由题可列出方程 x + x + 1964 = x.
解得，x = 7365，
则七年级捐款 x = 2946，八年级捐款 x = 2455.
答：七年级捐款 2946 元，八年级捐款 2455 元.
问题2：一家商店将某种服装按成本价提高 40% 后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的成本是多少元？
解：设这件服装每件的成本价为 x 元，则：
(1) 每件服装的标价为：__________
(2) 每件服装的实际售价为：______________
(3) 每件服装的利润为：________________
(4) 由此列出方程：_____________________
(1+40%)x
(1+40%)x·0.8
(1+40%)x·0.8 - x
(1+40%)x·0.8 - x = 15
问题2：一家商店将某种服装按成本价提高 40% 后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的成本是多少元？
解：设这件服装每件的成本价为 x 元，
由此列出方程 (1 + 40%)x·0.8 - x = 15
解方程，得 x = 125
答：每件服装的成本为 125 元.
归纳
① 标价 = 进价×(1 + 利润率)
② 利润与售价、进价之间的关系：
利润 = 售价 - 进价；
③ 利润率与利润、进价之间的关系：
利润率 = ×100% = ×100%；
销售问题中的几个等量关系：
④ 标价、实际售价与打折之间的关系：
实际售价 = 标价×打折数
⑤ 实际售价与进价、利润之间的关系：
利润 = 实际售价 - 进价 = 标价×打折数 - 进价.
销售问题中的几个等量关系：
例 甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板决定将甲服装按 50% 的利润定价，乙服装按 40% 的利润定价. 在实际销售时，应顾客要求，两件服装均打九折销售，共获利 157 元，甲、乙两件服装的成本各是多少元？
分析：设甲服装的成本为 x 元，则乙服装的成本为 _______ 元，
根据等量关系 ________________________，即可得出关于 x 的一元一次方程.
500 - x
甲、乙服装共获利 157 元
例 甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板决定将甲服装按 50% 的利润定价，乙服装按 40% 的利润定价. 在实际销售时，应顾客要求，两件服装均打九折销售，共获利 157 元，甲、乙两件服装的成本各是多少元？
解：设甲服装的成本为 x 元，则乙服装的成本为 __________ 元.
根据题意，可列方程 __________________________________________，
解得：x = __________.
则乙服装的成本为 __________ 元.
答：甲服装的成本为 300 元，乙服装的成本为 200 元.
500 - x
(1+50%)x·0.9 + (1+40%)(500 - x)·0.9 - 500 = 157
300
200
1. 为配合“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价 20 元，凭卡购书可享受 8 折优惠. 小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了 10 元. 若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款 ( )
A. 140元 B. 150元 C. 160元 D. 200元
B
随堂练习
2. 某服装进货价 80 元/件，标价为 200 元/件，商店将此服装打 x 折销售后仍获利 50%，则 x 为 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
B
3. 绿色有机蔬菜越来越受到人们的重视. 餐馆刘师傅去早市选购有机蔬菜，他指着标价为每斤 3 元的豆角问摊主：“这豆角能便宜吗？”摊主：“多买按八折，你要多少斤？”刘师傅报了数量后摊主同意按八折卖给刘师傅，并说：“之前一人只比你少买 5 斤就是按标价，还比你多花了3 元呢！”刘师傅购买豆角的数量是 ( )
A. 25斤 B. 20斤 C. 30斤 D. 15斤
C
4. 一商店把一件商品的利润率定为 20% 后，又降价 20% 以 96 元售出，则卖出这件商品的盈亏情况是 __________.
亏损 4 元
5.近年来，我国着力提升农村学校办学水平，促进新农村学校建设．某村中学为改善寄宿条件，准备将学校内的旧宿舍拆掉一部分建成新宿舍，且新宿舍的面积是拆掉旧宿舍面积的3倍还多800 m2，计划新建后学校宿舍总面积比现有宿舍面积增加20%.已知现有宿舍15 000 m2，则计划完成后新建宿舍的面积是________m2.
4100
6. “阳光活动”进校园后，李宽同学准备购买一副羽毛球拍和若干个羽毛球. 正赶上甲、乙两家超市搞促销，甲超市的方案是全部商品一律打九折. 乙超市的方案是买一副球拍赠 3 个羽毛球，李宽在心里算了算，在两家超市花钱一样多，已知羽毛球拍 20 元/副，羽毛球 1 元/个，求李宽计划购买羽毛球的个数.
解：设李宽计划买 x 个羽毛球，根据题意，得
(20 + x)×0.9 = 20 + (x - 3)×1，
解得 x = 10.
答：李宽计划购买羽毛球 10 个.
7. 某校组织 10 位教师和部分学生外出考察，全程票价为 25 元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：
方案一：所有师生按票价的 88% 购票；
方案二：前 20 人购全票，从第 21 人开始，每人按票价的 80% 购票.
(1) 若有 30 位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱？
解：设有 x 位学生参加考察.
按方案一购票费用为：25×88%(10 + x) = 22x + 220，
按方案二购票费用为：20×25 + 25×80%(x + 10 - 20) = 20x + 300.
(1) 当 x = 30 时：
22x + 220 = 660 + 220 = 880 (元)，
20x + 300 = 600 + 300 = 900 (元).
答：若有 30 位学生参加考察，选择方案一更省钱.
(2) 参加考察的学生人数是多少时，两种方案车费一样多？
解：(2) 根据题意得 22x + 220 = 20x + 300，
解得 x = 40.
答：参加考察的学生人数为 40 人时，两种方案车费一样多.
1. 用一元一次方程解决实际问题的关键是什么？
① 仔细审题；
② 找等量代换关系；
③ 解方程并验证结果.
课堂小结
2. 销售问题中的几个等量关系：
① 标价 = 进价×(1 + 利润率)
② 利润与售价、进价之间的关系：
利润 = 售价 - 进价；
③ 利润率与利润、进价之间的关系：
利润率 = ×100% = ×100%；
④ 标价、实际售价与打折之间的关系：实际售价 = 标价×打折数
⑤ 实际售价与进价、利润之间的关系：
利润 = 实际售价 - 进价 = 标价×打折数 - 进价.(共17张PPT)
6.3.3 工程问题、行程问题与分段计费问题
七年级下
华师版
1. 使学生理解用一元一次方程解决工程问题等实际问题的本质规律，通过对实际问题的分析进一步培养学生用代数方法解决实际问题的能力.
2. 能利用工程问题中的工作效率、工作总量、工作时间之间的关系方程解应用题.
学习目标
难点
重点
1. 一件工作，如果甲单独做 2 小时完成，那么甲单独做 1 小时完成全部
工作量的 ________.
2. 工作量、工作效率、工作时间之间的关系是什么？
工作量 = 工作效率×工作时间
新课引入
课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人. 已知师傅单独完成需 4 天，徒弟单独完成需 6 天”就停住了. 片刻后，同学们带着疑问的目光，窃窃私语：“这个题目没有完呀！”“要求什么呢？”
李老师开口了：“同学们的疑问是有道理的. 今天我就是要请同学们自己来提出问题. 请发挥你的想象力，把这个问题补充完整.”
探究
新知学习
调皮的小刘说：“让我试一试.”于是，上去添了：两人合作需几天完成？
分析：1. 这是一个关于工程问题的实际问题，在这个问题中，已经知道了 ________________________________；
小刘提出的问题是 ____________.
总工作量、师傅和徒弟的工作效率
求工作时间
2. 怎样列方程解决这个问题？
(1) 本题中的等量关系：______________________________________
师傅的工作量 + 徒弟的工作量 = 总工作量
调皮的小刘说：“让我试一试.”于是，上去添了：两人合作需几天完成？
(2) 若设两人合作需要 x 天完成，那么师傅的工作量是：__________；
徒弟的工作量是：__________.
根据等量关系，可列方程：_____________________________________.
解得 x = ________.
+ = 1
有同学反对：“这太简单了！”但也引起了大家的兴趣，于是各自试了起来：有考虑一人先做几天再让另一人做的，有考虑两人先一起合作，再一人离开的，也有考虑两人合作完成后的报酬问题 ……
李老师选了两位同学的问题，综合起来，在黑板上写出：现由徒弟先做 1 天，再两人合作，完成后共得报酬 450 元. 如果按个人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
现由徒弟先做 1 天，再两人合作，完成后共得报酬 450 元. 如果按个人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
分析：1. 要解决李老师提出的问题，应先求什么？
师傅和徒弟各自完成的工作量
2. 设师傅做了 x 天，则徒弟做了 _______ 天，
根据等量关系，列方程得 ___________________.
解方程得 x = _______.
师傅完成的工作量为 _____，徒弟完成的工作量为 _____.
所以根据两人完成的工作量可知：_______________________.
x + 1
2
师傅和徒弟各分得 225 元
1. 甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第二个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前 3 天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是 ( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
B
随堂练习
2. 黄河是祖国的母亲河，为打造特色黄河景观区，现有一段河道整治任务由 A、B 两工程队完成. A 工程队单独整治该河道要 16 天才能完成；B 工程队单独整治该河道要 24 天才能完成. 现在 A 工程队单独做 6 天后，B 工程队加入合做完成剩下的工程，那么 A 工程队一共做的天数是
( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
A
3. 电影院的门票售价：成人票每张 40 元，学生票每张 20 元. 某日电影院售出门票 200 张，共得 6400 元. 设学生票售出 x 张，依题意可列方程为 ( )
A. 20x + 40(200 - x) = 6400 B. 40x + 20(200 - x) = 6400
C. 20x - 40(200 - x) = 6400 D. 40x - 20(200 - x) = 6400
A
4. 笼子里有鸡、兔 12 只，共 40 条腿. 设鸡有 x 只，根据题意可列方程为 ( )
A. 2(12 - x) + 4x = 40 B. 4(12 - x) + 2x = 40
C. 2x + 4x = 40 D. = 4(20 - x) + x
B
5. 已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为 2:3，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为 4:5，若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯 120 个，则乙桶内的果汁最多可装满大纸杯 ( )
A. 64 个 B. 100 个 C. 144 个 D. 225 个
B
6. “绿水青山，就是金山银山”. 某市开展“保护母亲河”植树造林活动，该市金桥村有 1000 亩荒山，绿化率达 80%，300 亩良田视为已绿化，河坡地植树面积已达 20%，目前金桥村所有土地的绿化率为 60%，则河坡地有 __________ 亩.
800
分析：由：荒山绿化面积+300亩良田已绿化面积+河坡地绿化面积=所有土地的绿化面积，列方程解答.
解：设河坡地面积为x亩
依题意得方程：1000×80%+300+x×20%=（1000+300+x）×60%，
解得：x=800．
7. 一项工程，甲队单独完成需 40 天，乙队单独完成需 50 天，现甲队单独做 4 天，后两队合作.
(1) 求甲、乙合作多少天才能把该工程完成；
解：(1) 设甲、乙合作 x 天才能把该工程完成，
根据题意得 ×4 + ( + )x = 1，
解得 x = 20.
(2) 在 (1) 的条件下，甲队每天的施工费用为 2 500 元，乙队每天的施工费用为 3 000 元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？
解：(2) 甲队的费用为 2500×(20 + 4) = 60 000 (元)，
乙队的费用为 3000×20 = 60000 (元)，
60000 + 60000 = 120000 (元).
答：完成此项工程需付给甲、乙两队共 120000 元.
8. 一班有 40 位同学，新年时开晚会，班主任到超市花了 115 元买果冻与巧克力共 40 个，若果冻每 2 个 5 元，巧克力每块 3 元，问班主任分别买了多少果冻和巧克力？
解: 设买了 x 个果冻，则买了 (40 - x) 块巧克力，
由题意得： ×5 + (40 - x)×3 = 115.
解得: x = 10.
40 - 10 = 30 (块).
答：他买了 10 个果冻，30 块巧克力.
抽象
寻找等量关系
验证
解方程
解释
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？
课堂小结
