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7.1 二元一次方程组和它的解
七年级下
华师版
1. 了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念.
2. 会判断一组数据是不是某个二元一次方程组的解.
3. 学会类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性.
学习目标
重点
难点
什么叫一元一次方程？什么是一元一次方程的解？
使方程左、右两边的值相等的未知数的值，就是方程的解.
只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1，这样的方程叫做一元一次方程.
新课引入
问题1：暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 比赛规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分. 勇士队在第一轮比赛中赛了 9 场，只负了 2 场，共得 17 分.
那么这个队胜了几场？又平了几场呢？
新知学习
(1) 请用算术方法解答.
解：平局场数：
[(9 - 2)×3 - 17]÷(3 - 1) = 2 (场)
获胜场数：
9 - 2 - 2 = 5 (场).
答：这个队赢了 5 场，平了 2 场
(2) 请用一元一次方程解答.
解：若设这个队胜 x 场，则平了 (9 - 2 - x) 场.
根据题意可得，3x + (9 - 2 - x)×1 = 17.
解得 x = 5，
则 9 - 2 - x = 2.
答：这个队赢了 5 场，平了 2 场
思考
1. 试比较以上两种解法，判断用算术方法与方程方法来刻画实际问题中的数量关系，哪一种较简便？
使用方程方法刻画实际问题中的数量关系更为直观.
2. 此题中有两个问题，如果分别设为 x、y，怎样列式呢？是不是更容易表示题目中的数量关系呢？
探究
设勇士队胜了 x 场，平了 y 场. 在下表的空格中填入数字或式子.
胜 平 合计
场数 x y
得分
方程 ① ____________________ ② ____________________ 9 - 2
3x
y
17
x + y = 9 - 2
3x + y = 17
归纳
观察刚才得到的方程的特点，与一元一次方程作比较，你有什么发现？
这两个方程都含有 2 个未知数，并且未知数的次数都是 1.
含有 2 个未知数，并且未知数的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程.
把两个二元一次方程合在一起，用一个大括号“ { ”表示，就组成了一个二元一次方程组.
x + y = 9 - 2
3x + y = 17
根据二元一次方程 (组) 的概念回答问题：
1. 二元一次方程组中每个方程都必须是二元一次方程吗？
例如：
① ② ③
这三个方程组都是二元一次方程组，其中方程组 ② 中的第一个方程只有一个未知数；方程组 ③ 中的两个方程也都分别只有一个未知数，但它们仍然是二元一次方程组.
因此我们可以这样叙述：在一个方程组中，共有两个未知数，并且每个方程都是一次方程，这样的方程组就是二元一次方程组.
根据二元一次方程 (组) 的概念回答问题：
2. 一次方程指的是“含未知数的项的次数是 1”还是“各个未知数的次数是 1”？
含未知数的项的次数是 1.
3. 二元一次方程组中一定只能含有两个一次方程吗？
是的.
1. 通过刚才的计算，我们已经得到勇士队胜了 _____ 场，平了 _____ 场，即 x = _____，y = _____.
它既满足方程 x + y = 7 ①，又满足方程 3x + y = 17 ②，我们就说 x 与 y 的值是由方程 ①② 组成的二元一次方程组的解，并记作
x = _____
y = _____
探究
5
2
5
2
5
2
2. 你能分别写出上面的方程 ① 和方程 ② 的解吗？各有多少个？
归纳
二元一次方程组的解
一般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
温馨提示
1. 未知数的值必须同时满足两个方程时，才是方程组的解. 若取 x = 4，y = 3 时，它们能满足方程 ①，但是不满足方程 ②，所以它们不是方程组的解.
2. 二元一次方程组的解是一对数，而不是一个数，所以必须把 x = 5 与 y = 2 合起来才是方程组的解.
问题2：某校现有校舍 20000 m2，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加 30%. 若新建校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的 4 倍，则应拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？
分析：(1) 本题中的两组等量关系是什么？
① 剩余旧校舍面积 + 新校舍面积 = (1 + 30%)×校舍总面积
② 新校舍面积 = 4×拆除的旧校舍面积
(2) 如果设一个未知数，怎样列出方程？
设应拆除旧校舍 x m2，则新校舍面积为 4x m2，
列出方程：(20000 - x) + 4x = (1 + 30%)×20000
(3) 如果设两个未知数，可设应拆除旧校舍 x m2，建造新校舍 y m2，可以怎样列出方程？
20000 - x + y = (1 + 30%)×20000
y = 4x
根据列一元一次方程求解可得此方程组的解为：
x = 2000
y = 8000
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是 ( )
A. B.
C. D.
A
随堂练习
2. 是否存在 m 值，使方程 (|m| - 2)x2 + (m + 2)x + (m + 1)y = m + 5 是关于 x，y 的二元一次方程？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由.
解：方程 (|m| - 2)x2 + (m + 2)x + (m + 1)y = m + 5 是关于 x，y 的二元一次方程，则 |m| - 2 = 0，m + 2 ≠ 0，m + 1 ≠ 0，
解得 m = 2.
故当 m = 2 时，方程 (|m| - 2)x2 + (m + 2)x + (m + 1)y = m + 5 是关于 x，y 的二元一次方程.
3. 下列数组中，是二元一次方程 x + y = 7 的解的是 ( )
A. B.
C. D.
B
注意：二元一次方程组的解有一组，而每个二元一次方程有无数组解.
4. 已知二元一次方程组 下列说法正确的是 ( )
A. 适合方程 ② 的 x，y 的值是方程组的解
B. 适合方程 ① 的 x，y 的值是方程组的解
C. 同时适合方程 ① 和 ② 的 x，y 的值是方程组的解
D. 同时适合方程 ① 和 ② 的 x，y 的值不一定是方程组的解
C
5. 下列各式，属于二元一次方程的个数有 ( )
① xy + 2x - y = 7；② 4x + 1 = x - y；③ +y = 5；④ x = y；⑤ 6x - 2y.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 方程 x + 2y = 5 的正整数解有( )
A. 一组 B. 两组
C. 三组 D. 四组
B
B
1. 什么是二元一次方程？
含有 2 个未知数，并且未知数的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程.
2. 什么是二元一次方程组？
在一个方程组中，共有两个未知数，并且每个方程都是一次方程，这样的方程组就是二元一次方程组.
课堂小结
3. 说一说二元一次方程组解的概念及注意事项.
一般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
注意事项：
1. 未知数的值必须同时满足两个方程时，才是方程组的解.
2. 二元一次方程组的解是一对数，而不是一个数，所以必须把 x = a 与 y = b 合起来才是方程组的解.
