(共21张PPT)
7.2.1 代入消元法解二元一次方程组
七年级下
华师版
1. 通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程.
2. 了解“代入消元法”，并掌握 (直接) 代入消元法.
3. 通过代入消元，初步理解把“未知”转化为“已知”，和复杂问题转化为简单问题思想方法.
学习目标
重点
难点
1. 下列方程是二元一次方程吗？
(1) x + 3y = 7； (2) 2y + 2 = 0；
(3) 2x - 3 = 5； (4) 3x + y = 9.
2. 你能把上面的二元一次方程改写成用 x 表示 y 的形式吗？
x + 3y = 7 → y =
3x + y = 9 → y = 9 - 3x
新课引入
那么，我们能不能通过把x用y来表示，或者把y用x来表示，将二元一次方程转化成一元一次方程来进行求解呢？这就是本节课要学习的内容.
上节课的问题2，可得到方程组 ，怎样求这个方程组的解呢？
分析：观察方程 ②，可以把 y 看作 _____，因此，方程 ① 中 y 也可以看成 _____，即将 ② 代入 ①.
4x
4x
新知学习
上节课的问题2，可得到方程组 ，怎样求这个方程组的解呢？
将 ② 代入 ①
可得 ___________________，③
解方程 ③ 得 x = _____.
把 x = _____ 代入②，得 y = _____.
所以方程组的解为：
4x - x = 20000×30%
2000
2000
8000
从这个解法中我们可以发现，通过将②“代入”①，能消去未知数 y，得到一个关于 x 的一元一次方程，实现求解.
例1 解方程组：
解：将 ② 代入 ①
得 3(y + 3) + 2y = 14，③
解方程 ③ 得 y = 1.
把 y = 1 代入②，得 x = 4.
所以方程组的解为：
归纳
上面二元一次方程组中有 2 个未知数 x、y，消去其中一个未知数 x，就把二元一次方程转化成了我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出其中的一个未知数，再求出另一个未知数，这种将未知数由多化少，逐一解决的思想叫做消元思想.
例2 解方程组：
思考：
(1) 从方程的结构看，例 1 与前面的问题 2 及针对训练的方程有什么区别？
例 1 中方程的未知数 x、y 都在方程的同侧不能直接代入消元，需要先变形，再代入消元.
(2) 如何变形？
将方程组中的一个方程转化为用一个未知数表示另一个未知数的形式.
例2 解方程组：
(3) 选用哪个方程进行变形比较简便呢？为什么？
选用方程①变形. 当方程组中的一个未知数系数为 1 (或 -1) 时，选择这个方程进行变形，用代入法比较简便.
例2 解方程组：
解：由 ① 得 y = -x + 7 ③，
将③代入②，得 3x + (-x + 7) = 17，
即 x = 5.
将 x 的值代入③，得 y = 2.
所以 .
归纳
总结解二元一次方程组的步骤：
(1) 选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数的方程，记作方程③；
(2) 把③代入另一个方程，得到一个一元一次方程；
(3) 解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
(4) 把这个未知数的值代入③，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.
例 3 解方程组：
2x – 7y = 8， ①
3x – 8y – 10 = 0. ②
解 由①，得
x = 4 + y . ③
将③代入②，得
解得 y = – 0.8.
将 y = – 0.8 代入③，得 x = 1.2 .
x = 1.2，
y = – 0.8 .
所以
7
2
1. 用代入法解方程组 时，用 ① 代入 ② 得 ( )
A. 2 - x(x - 7) = 1
B. 2x - 1 - 7 = 1
C. 2x - 3(x - 7) = 1
D. 2x - 3x - 7 = 1
y = x - 7， ①
2x - 3y = 1 ②
C
随堂练习
2. 解方程组 时，用代入消元法整体消去 4x，得到的方程是 ( )
A. 2y = -2
B. 2y = -36
C. 12y = -36
D. 12y = -2
4x + 5y = 17 ①
4x + 7y = -19 ②
B
3. 用代入法解方程组 以下各式正确的是 ( )
A. x - 2(3 - 5x) = 2
B. x - 5 = 2(3 - 5x)
C. 5x + (x - 5) = 3
D. 5x (x - 5) = 6
x - 2y = 5
5x + y = 3
B
4. 小明解二元一次方程组 时写出了四种解法，其中最合适的解法是 ( )
A. 由 ① 得 ，代入 ②
B. 由 ① 得 ，代入 ②
C. 由 ② 得 ，代入 ①
D. 由 ② 得 ，代入 ①
3x - 4y = 5 ①
x - 2y = 3 ②
D
5. 用代入法解下列方程组：
y = 2x - 3，
3x + 2y = 8.
(1)
①
②
解：将 ① 代入 ② 得：
3x + 2(2x - 3) = 8
3x + 4x - 6 = 8
7x = 14
x = 2
将 x = 2 代入 ① 得
y = 2×2 - 3 = 1
∴原方程组的解是
y = 1.
x = 2.
x + y = 5，
2x + 3y = 11.
(2)
5. 用代入法解下列方程组：
①
②
解：由 ① 得，x = 5 - y ③
将 ③ 代入 ② 得：
2(5 - y) + 3y = 11
10 - 2y + 3y = 11
y = 1
将 y = 1 代入③得
x = 5 - 1 = 4
∴原方程组的解是
y = 1.
x = 4.
6. 用代入法解下列方程组：
3x + 2(x - y) = 8，
2x - (x - y) = -4.
方法一：
解：原方程组化简，得
5x - 2y = 8
x + y = -4
①
②
由 ④ 得 y = -x - 4 ⑤
代入 ③ 得
5x - 2( -x - 4 ) = 8
5x + 2x +8 = 8
x = 0
将 x = 0 代入 ⑤ 得
y = -4.
∴原方程组的解是
③
④
y = -4.
x = 0.
方法二：
解：由 ② 得
x - y = 2x + 4 ③
将 ③ 代入 ① 得
6. 用代入法解下列方程组：
3x + 2(x - y) = 8，
2x - (x - y) = -4.
3x + 2(2x + 4) = 8
3x + 4x + 8 = 8
x = 0
将 x = 0 代入 ③ 得
0 - y = 2×0+4
y = -4
∴原方程组的解是
y = -4.
x = 0.
①
②
概念
用代入消元法
解二元一次方程组
用代入消元法
解二元一次方程组
的步骤
将其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代入一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程. 这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
基本思路 → 消元
→ 变形
→ 代入消元
→ 求解
→ 回代求解
→ 写解
课堂小结(共18张PPT)
7.2.2 加减消元法解二元一次方程组
七年级下
华师版
1. 会用加减消元法解二元一次方程组.
2. 进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
3. 选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力.
学习目标
重点
难点
新课引入
解：设苹果汁的单价为 x 元，橙汁的单价为 y 元，
根据题意得
你会解这个方程组吗？
3x + 2y = 23，
5x + 2y = 33.
问题：已知 3 瓶苹果汁和 2 瓶橙汁共需 23 元，买 5 瓶苹果汁和 2 瓶橙汁共需 33 元，请问苹果汁和橙汁的单价分别是多少？
你是怎样解这个方程组的？
解得 y = 4.
把 y = 4 代人 ③ ，得 x = 5.
所以原方程组的解为
3x + 2y = 23，
5x + 2y = 33.
①
②
解：由 ① 得
将 ③ 代入 ② 得
③
x = 5,
y = 4.
除带入消元法外，还有其它方法来解这个方程吗？这就是我们本节课所要学习的内容.
例1 解方程组：
分析：
方程组中未知数 _____ 的系数 _____，都是 _____，如果把这两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减，可以得到 ________________，这样就可以达到消元的目的.
y
相等
2
3x - 5x = - 10
新知学习
3x + 2y = 23，
5x + 2y = 33.
①
②
例1 解方程组：
解：① - ② 得 3x - 5x = - 10，
解得 x = 5.
把 x = 5 代入①，
得 y = 4，
所以原方程组的解为 .
3x + 2y = 23，
5x + 2y = 33.
①
②
x = 5,
y = 4.
例2 解方程组：
分析：用什么方法可以消去一个未知数？先消去哪个未知数比较方便？
方程 ① 与方程 ② 中，未知数 y 的系数互为相反数，因此消去 y 比较方便.
解：① + ② 得 3x + 4x = 9 + 5，
解得 x = 2.
把 x = 2 代入①，
得 y = ，
所以原方程组的解为 .
归纳
1. 在解前两节课的例1、例2时，我们是通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的，这种解法叫代入消元法，简称代入法.
2. 本节课的例1、例2，我们是通过将两个方程分别相加 (或相减) 消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解答的，这种解法叫做加减消元法，简称加减法.
使用加减消元法的方程组的特点：某一个未知数系数相等或互为相反数.
用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
1. 通过相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
2. 解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
3. 将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值.
4. 写出方程组的解.
例 3 解方程组：
5x + 6y = 42. ②
3x – 4y = 10，①
直接相加减不能消去一个未知数，怎么办呢？
解 由①×3，②×2，得
③+④，得
19x = 114.
解得 x = 6.
将 x = 6 代入②，得 y = 2.
x = 6，
y = 2.
所以
10x + 12y = 84. ④
9x – 12y = 30， ③
能否先消去 x 再求解？怎么做？
解 由①×5，②×3，得
④ – ③，得
38y = 76，
解得 y = 2.
将 y = 2 代入②，得 x = 6.
x = 6，
y = 2.
所以
15x + 18y = 126. ④
15x – 20y = 50， ③
思考
4x - 3y = 5， ①
4x + 6y = 14. ②
1. 解方程组：
解：② - ①，得 (4x + 6y) - (4x - 3y) = 14 - 5
y = 1
将 y = 1代入 ①，得 4x - 3×1 = 5
x = 2
所以原方程组的解是 x = 2，
y = 1.
随堂练习
2y + 3z = -4， ①
5y + 6z = -7. ②
2. 方程组：
解：①×2，得 4y + 6z = -8 ③
② - ③，得 (5y + 6z) - (4y + 6z) = -7 - (-8)
y = 1
将 y = 1 代入①，得 2×1 + 3z = -4
z = -2
所以原方程的解是 y = 1
z = -2.
2x + 3y = 12， ①
3x + 4y = 17. ②
3. 用加减法解方程组：
解法一：①×3，得 6x + 9y = 36 ③
②×2，得 6x + 8y = 34 ④
③ - ④ 得 y = 2
将 y = 2 代入①，得 2x + 3×2 = 12
x = 3
所以原方程的解是 x = 3
y = 2
2x + 3y = 12， ①
3x + 4y = 17. ②
3. 用加减法解方程组：
解法二：①×4，得 8x + 12y = 48 ③
②×3，得 9x + 12y = 51 ④
③ - ④ 得 x = 3
将 x = 3 代入①，得 2×3 + 3y = 12
y = 2
所以原方程的解是 x = 3
y = 2
①
②
5. 用加减法解方程组
6x+7y=－19①
6x-5y=17②
应用( )
A.①-②消去y
B.①-②消去x
C. ②- ①消去常数项
D. 以上都不对
B
4. 方程组 的解是 __________ ．
6. 解下列方程组
解：
概念
用加减消元法
解二元一次方程组
用加减消元法
解二元一次方程组
的步骤
通过两式相加(减)消去其中一个未知数,这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.
→ 变形
→ 检验
→ 加减消元
→ 求解
→ 回代求解
→ 写解
课堂小结(共18张PPT)
7.2.3 二元一次方程组的实际应用
七年级下
华师版
1. 掌握利用消元的技巧解二元一次方程组的运算技能，借助二元一次方程组解决简单的实际问题.
2. 能分析题目中的数量关系及等量关系.
学习目标
重点
难点
2 台大收割机和 5 台小收割机工作 2 小时收割小麦 3.6 公顷，3 台大收割机和 2 台小收割机工作 5 小时收割小麦 8 公顷，1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时各收割小麦多少公顷？
问题1：列二元一次方程组解应用题的关键是什么？
找两个等量关系
新课引入
问题2：本题中有怎样的等量关系？
2 台大收割机 2 小时的工作量 + 5 台小收割机 2 小时的工作量 = 3.6；
3 台大收割机 5 小时的工作量 + 2 台小收割机 5 小时的工作量 = 8.
2 台大收割机和 5 台小收割机工作 2 小时收割小麦 3.6 公顷，3 台大收割机和 2 台小收割机工作 5 小时收割小麦 8 公顷，1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时各收割小麦多少公顷？
问题3：设 1 台大收割机 1 小时收割小麦 x 公顷，则 2 台大收割机 1 小时收割小麦 2x 公顷，2 台大收割机 2 小时收割小麦 4x 公顷；
设 1 台小收割机 1 小时收割小麦 y 公顷，以此类推，表示相关量，列出方程求解.
例1 某蔬菜公司收购到某种蔬菜 140 吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力是： 每天可以精加工 6 吨或者粗加工 16 吨，现计划用 15 天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为 1000 元，精加工后的利润为 2000 元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
分析：本题中的等量关系有
(1) __________________________________
(2) __________________________________
粗加工天数 + 精加工天数 = 15
粗加工数量 + 精加工数量 = 140
你能用一元一次方程求解吗？
新知学习
解：设应安排 x 天精加工，则安排粗加工 (15 - x) 天.
可列方程 6x + 16(15 - x) = 140，
解得 x = 10
则粗加工 5 天，
出售这些加工后的蔬菜一共可获利
10×6×2000 + 5×16×1000 = 200000 元.
如果用二元一次方程组又该怎么解呢？
解：设应安排 x 天精加工，安排 y 天粗加工.
根据题意，列方程为
解这个方程组，得
出售这些加工后的蔬菜一共可获利
10×6×2000 + 5×16×1000 = 200000 元.
答：应安排 10 天精加工，5 天粗加工，加工后出售共可获利 200000 元.
思考
你能归纳列方程组解决实际问题的一般步骤吗？
把①代入②，得 x + 4x = 50. 解得 x = 10.
把 x = 10代入①，得 y = 40.
∴这个方程组的解为
随堂练习
1.如图，宽为 50 cm的长方形图案由 10 个相同的小长方形拼成，则每个小长方形的长和宽分别是多少？
解：设每个小长方形的宽为 x cm，
长为 y cm. 观察图形，得
答：每个小长方形的长为 40 cm，宽为 10 cm.
2. 某城市规定：出租车起步价所包含的路程为 0～3 km，超过 3 km 的部分按每千米另收费.
甲说：“我乘这种出租车走了 11 km，付了 17 元.”
乙说：“我乘这种出租车走了 23 km，付了 35 元.”
请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过 3 km 后，每千米的车费是多少元？
分析: 本问题涉及的等量关系有：
总车费 = 0～3 km 的车费(起步价) + 超过 3 km 的车费.
解: 设出租车的起步价是 x 元，超过 3 km 后每千米收费 y 元.
根据等量关系，得
解得
答：这种出租车的起步价是 5 元，超过 3 km 后每千米收费 1.5 元.
起步价 超过 3 km后的费用 合计费用
甲
乙
x
x
(11 - 3)y
(23 - 3)y
17
35
解：设每头牛值“金”x 两，每头羊值“金”y 两. 由题意得：
5x + 2y = 10 ①
2x + 5y = 8 ②
解得： x =
y =
答：牛值“金” 两，羊值“金” 两.
3. 今有牛五、羊二，直金十两. 牛二、羊五，直金八两. 牛、羊各直金几何？
4. 小颖家离学校 4800 米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她跑步去学校共用 30 分钟. 已知小颖在上坡时的平均速度是 6 千米/时，下坡时的平均速度是 12 千米/时. 问小颖上、下坡各多少千米？
解：设上坡路程为 x km，下坡路程为 y km.
据题意得：
解得：
因此上坡 1.2 km，下坡 3.6 km.
方法一：
解：设上坡需 x 小时，下坡需 y 小时.
据题意得：
解得：
因此上坡 1.2 km，下坡 3.6 km.
方法二：
0.2×6 = 1.2 km，0.3×12 = 3.6 km
5. 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品．每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质．若病人每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
解：设每餐需要甲原料 x 克、乙原料 y 克，
根据题意可得：
解得：
答：每餐需要甲原料 28 克，乙原料 30 克.
0.5x + 0.7y = 35
x + 0.4y = 40
x = 28
y = 30
1. 列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
课堂小结
