(共17张PPT)
第一课时 三角形的内角和
七年级下
华师版
1. 理解并掌握三角形的内角和的性质.
2. 探索三角形内角和的性质，能证明三角形内角和的性质.
3. 应用三角形的内角和的性质解决角度问题.
学习目标
重点
难点
回忆小学学习三角形内角和的探索过程.
在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角和恰好拼成了一个平角，得出如下结论：
三角形的内角和等于 180°.
新课引入
你能用演绎推理的方式说明上述结论的正确性吗？
如图：已知△ABC，∠1、∠2、∠3 分别表示△ABC 的三个内角.
证明：∠1 +∠2 +∠3 = 180°.
B
A
C
1
2
3
新知学习
解：方法一：
延长 BC 至点 E，以点 C 为顶点，在 BE 的上侧作∠DCE =∠2，
则 CD∥BA (同位角相等，两直线平行).
∵CD∥BA，
∴∠1 = ∠ACD (两直线平行，内错角相等).
∵∠3 +∠ACD +∠DCE = 180°，
∴∠1 +∠2 +∠3 = 180° (等量代换).
E
D
B
A
C
1
2
3
解：方法二：
过点 A 作直线 l，使得 l ∥ BC，∵ l ∥ BC，
∴∠2 =∠4 (两直线平行，内错角相等). 同理∠3 =∠5.
∵∠1，∠4，∠5 组成平角，
∴∠1 +∠4 +∠5 = 180° (平角定义).
∴∠1 +∠2 +∠3 = 180° (等量代换).
l
A
C
B
1
2
3
4
5
问题 1：如图，在直角△ABC 中，∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？
在直角△ABC 中，∠C = 90°， 由三角形内角和定理，得∠A +∠B +
∠C = 180°，故∠A + ∠B = 90°.
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
归纳
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．
应用格式：
在 Rt△ABC 中，
∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°．
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC．
例1 在 △ABC 中， ∠A 的度数是 ∠B 的度数的 3 倍，∠C 比 ∠B 大15°，求 ∠A，∠B，∠C 的度数.
解: 设 ∠B 为 x°，则 ∠A 为(3x)°，
∠C 为 (x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C 的度数分别为 99°，33°， 48°.
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
例 3 如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点 E. ∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
在 Rt△ACE 中，∠CAE = 90° - ∠AEC.
在 Rt△BDE 中，∠DBE = 90° -∠BED.
∵∠AEC = ∠BED，
∴∠CAE = ∠DBE.
解：∠CAE = ∠DBE. 理由如下：
1. 如图，△ABC 中，∠A = 60°，∠B = 40°，则∠C 等于 ( )
A. 100°
B. 80°
C. 60°
D. 40°
B
随堂练习
2. 如图①是一个创意相框架，其侧面的示意图如图②所示，其中横挡DE与地面BC平行，小俞测量得∠A=40°，∠ADE=70°，则支架AC与地面所夹锐角∠ACB的度数为 .
【解析】∵∠A=40°，∠ADE=70°，
∴∠AED=180°－∠A－∠ADE=70°，
∵DE∥BC，∴∠ACB=∠AED=70°.
70°
3. 如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α = _____.
75°
4. 如图，在△ABC 中，∠B +∠C = 100°，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，DE∥AB，交 AC 于 E，则∠ADE 的大小是 _____.
40°
5. 如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线 BE、CD 相交于点 F，∠A = 60°，求∠BFC 的度数.
解：因为∠A = 60°，所以∠ABC +∠ACB = 120°.
因为 BE，CD 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，
所以∠CBE = ∠ABC，∠BCD = ∠BCA.
所以∠CBE +∠BCD = (∠ABC + ∠BCA) = ×120° = 60°，
所以∠BFC = 180° - 60° = 120°.
6. 在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠BAC = 63°，求∠DAC 的度数.
解：因为∠4 =∠1 +∠2，∠1 =∠2，所以∠4 = 2∠2，
又因为∠3 =∠4，所以∠3 = 2∠2，即∠2 = ∠3，
在△ABC 中，∠2 +∠3 +∠BAC = 180°，
因为∠BAC = 63°，所以 ∠3 +∠3 + 63° = 180°，
所以∠3 =∠4 = 78°，所以∠DAC = 180° - 78° - 78° = 24°.
1. 三角形内角和定理是什么？
2. 三角形内角和定理如何推导？
3. 直角三角形的两个锐角有什么关系？
三角形的内角和等于 180°.
通过构造平角，利用平行线的性质转移角，利用平角的定义得到 180°.
直角三角形的两个锐角互余.
课堂小结(共19张PPT)
第二课时 三角形的外角和
七年级下
华师版
1. 掌握三角形外角和及外角的性质.
2. 会用简单的说理计算三角形相关的角.
3. 经历三角形外角和以及外角的性质的探索过程，能证明三角形外角和以及外角的性质.
学习目标
重点
难点
三角形的内角和为多少？
三角形的内角和为 180°.
三角形的外角又有怎样的性质呢？
新课引入
现在我们探索三角形的外角的一些性质.
如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角.
相邻内角
外角
不相邻内角
新知学习
在下图中，∠_____ 是△ABC 的一个外角，内角∠_____ 与它相邻，内角∠_____、∠_____ 与它不相邻.
B
A
C
D
CBD
ABC
A
C
三角形的外角与和它相邻内角的关系是 ______.
即∠_____ +∠_____ = 180°. ①
在图中，依据三角形的内角和等于 180° 可得
∠_____ +∠_____ +∠_____ = 180°. ②
由 ①② 可得∠CBD =∠_____ +∠_____.
B
A
C
D
互补
CBD
ABC
ACB
BAC
ABC
ACB
BAC
归纳
由上述探究可知：
(1) 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
(2) 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
例1 如图，D 是△ABC 的 BC 边上的一点，则
(1) ∠ADC =∠_____ +∠_____，
∠ADC >∠_____，∠ADC >∠_____.
(2) ∠ADB =∠_____ +∠_____，
∠ADB >∠_____，∠ADB >∠_____.
A
C
D
B
ABD
BAD
ABD
BAD
CAD
ACD
ACD
CAD
探究
与三角形的每个内角相邻的外角分别有 _____ 个，它们是 _____ 角. 从与每个内角相邻的外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
2
对顶
B
A
C
1
2
3
在上图中，∠1 + _____ = 180°，∠2 + _____ = 180°，∠3 + _____ = 180°，
三式相加可以得到∠1 +∠2 +∠3 + _____ + _____ + _____ = _____①，
而∠ACB +∠BAC +∠ABC = _____②，
把 ① 和 ②相比较，可以得出结论是 ∠1 +∠2 +∠3 = _____°.
由此可知：
三角形的外角和等于 360°.
ACB
BAC
ABC
ACB
BAC
ABC
540°
180°
360
例 如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点，∠B = ∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°. 求：
(1) ∠B 的度数；
(2) ∠C 的度数.
B
A
C
D
解：(1) ∵∠ADC 是△ABD 的外角 (已知)，
∴∠B +∠BAD =∠ADC = 80° (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).
又∵∠B =∠BAD (已知)，
∴∠B = 80°× = 40° (等量代换).
例2 如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点，∠B = ∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°. 求：
(1) ∠B 的度数；
(2) ∠C 的度数.
B
A
C
D
(2) ∵∠B +∠BAC +∠C = 180° (三角形的内角和等于 180°)，
∴∠C = 180° -∠B -∠BAC (等式的性质)
= 180° - 40° - 70°
= 70°.
1. 如图所示，∠A、∠1、∠2 的大小关系是( )
A. ∠A >∠1 >∠2 B. ∠2 >∠1 >∠A
C. ∠A >∠2 >∠1 D. ∠2 >∠A >∠1
B
随堂练习
2. 如图，已知 AB∥CD，若∠A = 20°，∠E = 35°，则∠C 等于 ( )
A. 20° B. 35°
C. 45° D. 55°
D
3.将一个含45°角的直角三角板和一个直尺按如图方式摆放．已知∠1＝160°，则∠2的度数为____．
25°
4. 一个零件的形状如图所示，按规定∠BAC = 90°，∠B = 21°，∠C = 20°. 检验工人量得∠BDC = 130°，就断定这个零件不合格，你能运用所学的知识说出其中的道理吗？
解法一：连结 AD 并延长，如图 (1) 所示.
因为∠1 =∠3 +∠C，∠2 =∠4 +∠B，
所以∠1 +∠2 =∠3 +∠C +∠4 +∠B
= (∠3 +∠4) +∠C +∠B
=∠BAC +∠B +∠C
= 90° + 21° + 20 = 131°，
即∠BDC = 131°.
由于零件中∠BDC = 130°，
所以可以断定这个零件不合格.
解法二：延长 CD 交 AB 于 E，如图 (2) 所示.
因为∠CEB =∠C +∠A，
∠CDB =∠CEB +∠B，
所以∠BDC =∠C +∠A +∠B = 20° + 90° + 21° = 131°.
由于零件中∠BDC = 130°，
所以可以断定这个零件不合格.
1. 三角形的外角有什么性质？
(1) 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
(2) 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
2. 三角形的外角和等于多少？
三角形的外角和等于 360°.
课堂小结
