(共21张PPT)
9.2.1 多边形的内角和
七年级下
华师版
1. 掌握多边形的内角和公式.
2. 经历把多边形转化为三角形的过程，体会转化思想，感悟从特殊到一般的认识问题的方法.
学习目标
重点
难点
你能从图片里找出几个由一些线段围成的封闭图形吗？
新课引入
你能说一说这些线段围成的图形有什么特性吗？
(1) 它们在同一平面内.
(2) 它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次连结组成的.
你会发现它们和三角形的特性比较类似，我们该如何称呼呢？这就是本节课所要学习的内容.
三角形有 _____ 个内角、_____ 条边，我们也可以把三角形称为三边形 (但我们习惯称为三角形). 我们知道由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形.
你能说出什么叫四边形、五边形、n 边形吗？
3
3
新知学习
四边形是由 ___________________________________________，如图 1；
五边形是由 ___________________________________________，如图 2；
n 边形是由 ___________________________________________；
n 边形，又称多边形.
四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形
五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形
n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形
A
B
C
D
图1
A
B
C
D
E
图2
图 2
如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形.
图 1
A
C
B
D
A
C
B
D
如图 1 是凸多边形； 图 2 不是凸多边形，今后如果不作说明，我们讲的多边形都是凸多边形.
注意
问题 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
特点：
是各边相等，各内角都相等的多边形.
如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形.
注意：
正三角形就是等边三角形，没有正四边形的说法，正四边形就是正方形
探究
1. 三角形有 _____ 个内角，_____ 个外角；
2. 四边形有 _____ 个内角，_____ 个外角；
3. 五边形有 _____ 个内角，_____ 个外角；
4. 六边形有 _____ 个内角，_____ 个外角；
...
5. n 边形有 _____ 个内角，_____ 个外角.
5
10
6
12
n
2n
3
6
4
8
探究
连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
如图，线段 AC 是四边形 ABCD 的一条对角线；
线段 AC、AD 是五边形 ABCDE 的对角线；
线段 AC、AD、AE 是六边形 ABCDEF 的对角线.
从前面的探究我们可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于 180°，那么四边形的内角和等于多少度？五边形、六边形呢？由此，n 边形的内角和等于多少呢？
多边形的边数 3 4 5 6 7 ... n
分成的三角形的个数 1 2 ...
多边形的内角和 180° 360° ...
3
540°
4
720°
5
900°
n - 2
(n-2)×180°
归纳
n 边形的内角和为 (n - 2)·180°.
利用 n 边形的内角和公式，可以求多边形的内角和或求多边形的边数.
例1 求八边形的内角和.
解：八边形的内角和为
(n - 2)×180°
= (8 - 2)×180°
= 1080°.
例2 已知一个多边形的内角和等于 2160°，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为 n，则
(n - 2)×180° = 2160°.
解得 n = 14.
即这个多边形的边数为 14.
1. 下列说法正确的个数有 ( )
(1) 由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形
(2) 各边都相等的多边形是正多边形
(3) 各角都相等的多边形一定是正多边形
(4) 边数相同的正多边形的各个外角都相等
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
随堂练习
2. 阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形. 图 1 给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了 2 个，3 个，4 个小三角形. 请你按照上述方法将图 2 中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数. 试把这一结论推广至 n 边形.
解：如图所示，分别将六边形分割成 4 个，5 个，6 个三角形.
可以发现：
第一种分割法把 n 边形分割成了 (n - 2) 个三角形；
第二种分割法把 n 边形分割成了 (n - 1) 个三角形；
第三种分割法把 n 边形分割成了 n 个三角形.
3. 若一个四边形的四个内角度数的比为 3 : 4 : 5 : 6，求这个四边形的四个内角的度数.
解：设四个内角的度数分别为 3x°，4x°，5x°，6x°，
根据四边形内角和是 360°，列出方程
3x + 4x + 5x + 6x = 360，
解得 x = 20，
所以 3x° = 60°，4x° = 80°，5x° = 100°，6x° = 120°，
即四边形的四个内角的度数分别为 60°，80°，100°，120°.
4. 一个多边形，除一个内角外，其余各内角之和等于 2012°，求这个内角的度数及多边形的边数.
解：设这个多边形为 n 边形，这个内角的度数为 x°，
由题意知 (n - 2)×180 = 2012 + x，
x = 180n - 2372
因为 0 < x < 180，所以 0 < 180n - 2372 < 180，
即 13 < n < 14 ，
又因为 n 为整数，所以 n = 14，x = 180×14 - 2372 = 148.
所以这个内角的度数为 148°，多边形的边数为 14.
1. 什么是多边形？
一般地，由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为 n 边形，又称多边形.
2. 什么是正多边形？
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称它为正多边形.
课堂小结
3. 什么是多边形的对角线？
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
4. 多边形的内角和怎样计算？
(n - 2)·180°
5. 转化思想：
多边形转化为三角形.
6. 从特殊到一般：
由四边形、五边形、六边形……的内角和归纳 n 边形的内角和.(共14张PPT)
9.2.2 多边形的外角和
七年级下
华师版
1. 掌握多边形的外角及外角和的性质.
2. 经历把多边形转化为三角形的过程，体会转化思想和从特殊到一般的认识问题方法.
学习目标
重点
难点
复习，回答下列问题：
(1) 三角形的外角和的概念
从与每个内角相邻的外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
(2) 三角形的外角和等于 ______.
360°
新课引入
(3)根据三角形的外角和定义，你能说一说多边形的外角和的定义吗？
从与每个内角相邻的外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和.
那么，我们该如何去求多边形的外角和呢？这就是我们本节课所要学习的内容.
你能根据下面的图形求出四边形的外角和吗？
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
如图，∠1 +∠2 +∠3 +∠4 就是四边形 ABCD 的外角和.
从图中可知：
(∠1 +∠2) + (∠3 +∠4) + (∠5 +∠6) + (∠7 +∠8)
= 4×180° = 720°，
又因为∠5 +∠6 +∠7 +∠8 = 360°，
所以∠1 +∠2 +∠3 +∠4
= 720° - (∠5 +∠6 +∠7 +∠8) = 720° - 360° = 360°
所以，四边形 ABCD 的外角和等于 360°.
新知学习
因为 n 边形的每一个内角与它的相邻的外角互为补角，所以可以求出多边形的内角和与外角和的总和，在减去内角和就可得到外角和.
请将数据填入表格：
多边形的边数 3 4 5 6 7 ... n
多边形的内角和与外角和的总和 3×180°=540° ...
多边形的内角和 180° ...
多边形的外角和 360° ...
720°
360°
360°
900°
540°
360°
1080°
720°
360°
1260°
900°
360°
(180n)°
180·(n-2)
360°
因此，任意多边形的外角和都为 360°.
这就是说多边形的外角和与边数无关，都等于 360°.
归纳
例1 一个多边形的每个外角都是 72°，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数为 n，则
n·72° = 360°，
解得 n = 5.
因此，这个多边形是五边形.
例2 一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形是 n 边形，
根据题意，得 (n - 2)·180° = 5×360°
解得 n = 12.
因此，这个多边形是十二边形.
1. 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是 7∶2，求这个多边形的边数.
解法一：设这个多边形的内角为 7x°，外角为 2x°，根据题意得
7x + 2x = 180，
解得 x = 20.
即每个内角是 140°，每个外角是 40°.
360°÷40° = 9.
答：这个多边形的边数为 9.
(一题多解)
随堂练习
解法二：设这个多边形的边数为 n ，根据题意得
解得 n = 9.
答：这个多边形的边数为 9.
2. 一个多边形所有内角与一个外角的和是 2380°，则这个多边形的边数为___.
15
解析：设这个多边形的边数为 x ( x 为正整数)，则这个多边形的内角和为 ( x-2)×180°，由题意可得：
2380 -180 < (x-2)×180 < 2380，
解得：14.22 < x < 15.22
因为 x 为正整数，所以 x =15，即这个多边形的边数为15.
3. 一个多边形的每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？
解：∵多边形的外角和都是360°
∴360° ÷ 45° = 8
∴这个多边形是八边形
∴180° - 45° = 135°
∴它的每一个内角是135°.
1. 什么是多边形的外角和？
从与每个内角相邻的外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和.
2. 多边形的外角和是多少？和边数有关吗？
多边形的外角与边数无关，都等于 360°.
课堂小结
3. 转化思想：
多边形转化为三角形.
4. 从特殊到一般：
由四边形、五边形、六边形……的外角和归纳 n 边形的外角和.
