2024年山东省济南市九年级学业水平考试数学综合模拟试题（含答案）

济南市2024年九年级学业水平考试
数学综合试题模拟
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，共40分）
1．﹣2024的相反数是
A．﹣2024 B．2024 C．±2024 D．
2．三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是
A． B． C． D．
3．2024年元旦假期的到来，点燃了消费者的出游热情，也激发了旅游市场的活力．元旦假期三天，长沙市共接待游客609.65万人次．数据“609.65万”用科学记数法表示为
A．0.60965×108 B．6.0965×107 C．60.965×106 D．6.0965×106
4．近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为
A．130° B．120° C．110° D．100°
5．若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，
则|a+b|+|c﹣a|＝
A．b+c B．﹣b﹣c C．﹣2a﹣b+c D．b﹣c
6．如图，一个钟摆的摆长OA的长为a，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角∠AOB为2x，点C是AB的中点，OC与AB交于点D，则CD的长为
A．asin2x B．acos2x
C．a（1﹣sinx） D．a（1﹣cosx）
7．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚现将二维码打印在面积为200cm2的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为
A．0.4cm2 B．0.6cm2 C．180cm2 D．120cm2
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA、BC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结BP交AC于点D．若AB＝2，则CD的长为
A． B． C． D．
9．已知点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）均在反比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系为
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：
①b＞0； ②若时，则3a+2c＜0；
③若点M（x1，y1），N（x2，y2），在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；
④当a ﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．
其中结论正确的结论有
A．①③ B．①② C．③④ D．①③④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请直接写答案.）
11．分解因式：m2﹣36＝__________．
12．某学校开设了劳动教育课程，小明从感兴趣的“陶艺”“电工”“烹饪”3门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“陶艺”的概率为__________．
13．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2019﹣a﹣b的值是_________________．
14．《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其大意为：今有一圆柱形木材埋在墙壁中，不知其大小．设其横截面为⊙O，用锯子去锯这个木材，锯口深AB为1寸，锯道长CD为1尺．由此可得这块圆柱形木材横截面的直径是___________尺．（注：1尺＝10寸）
第14题图 第15题图 第16题图
15．在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，0），B（1，2），C（3，3）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3，请分别计算2k1+b1，2k2+b2，2k3+b3的值，其中最小的值为_________________．
16．平面直角坐标系中，C（0，4），K（2，0），A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动，BK取最小值时，点B的坐标为_________________．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分6分）
计算：．
18．（本小题满分6分）
解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
19．（本小题满分6分）
如图，在 ABCD中，点E在边BC上，连接AE，过点C作CF⊥AD于点F，且AF＝CE．请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
20．（本小题满分8分）
如图所示是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝131厘米，真空集热管AB的斜面坡度为1：，另一根辅助支架DE＝70厘米，∠CED＝57°．
（参考数据：sin57°≈0.8，cos57°≈0.6）
（1）求垂直支架CE的长度．
（2）求水箱半径的长度．
21．（本小题满分8分）
为提高学生的爱国情感，某学校组织学生参加了“爱国知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取____________人，条形统计图中的m＝____________；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；
（3）该校有1000名学生，估计该校学生答题成绩良好以上的有多少人；
（4）答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中有两名男生两名女生，学校从中随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好都是男生的概率．
22．（本小题满分8分）
如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，作∠BAC的角平分线与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线上于点E，延长线段AB、ED交于点F，连接DA、DB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，，求BF．
23．（本小题满分10分）
为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：m2） 每天施工费用（单位：元）
甲 x+300 3600
乙 x 2200
信息二
甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？
24．（本小题满分10分）
阅读与思考：下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
今天是2023年12月4日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了人教九年级下册19页“活动2”的探究活动．如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点O25cm处挂一个重9.8N的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧秤与中点O的距离l（单位：cm），看弹簧秤的示数F（单位，N）有什么变化．第一步，实验测量．改变弹簧秤与中点O的距离L，观察弹簧秤的示数F的值，并做好记录（共记录了7组数据）．第二步，整理数据．第一组第二组第三组第四组第五组第六组第七组L/cm…5101420253540…F/N…4924.517.512.259.886.125…第三步，描点连线．以L的数值为横坐标，对应F的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点．在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．
任务：（1）你认为表中第几组数据是错误的？请把这组数据改正过来：
（2）在平面直角坐标系中，画出F与L的函数图象：
（3）这条曲线是反比例函数的一支吗？为什么？并直接写出F关于L的函数表达式；
（4）点（50，4.9）在这条曲线上吗？说明理由．
25．（本小题满分12分）
如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）如图2，当点P从点B匀速运动到点O时，过点P作PF⊥AB交抛物线于点F，交直线BC于点E，连结CF．求S△CBF的最大值．
（3）若点P从点B匀速运动到点A时，点Q恰好从点C运动到点O，作点Q关于直线BC的对称点Q'，当点Q'落在△CEF的一条边上时，请直接写出CQ的长度．
26．（本小题满分12分）
综合与实践：
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．
如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE．如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连结BD，CE．
（1）探究发现
旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用
如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长．
（3）延伸思考
如图4，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，分别取AB，BC的中点D，E、作△BDE．将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD，CE．当边AB平分线段DE时，求tan∠ECB的值．
济南市2024年九年级学业水平考试
数学综合试题模拟参考答案
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共40分）
1．B 2．B 3．D 4．A 5．B 6．D 7．D 8．B 9．C 10．D
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请直接写答案.）
11．（m﹣6）（m+6） 12． 13．2024
14．2.6 15．2 16．（3，﹣1）
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．解：原式＝11+22．
18．解：，
解不等式①得，x≤2，
解不等式②得，x＞﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，
在数轴上表示为
，
∴不等式组的整数解是：0，1，2．
19．解：四边形AECF是矩形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，∠D＝∠B，
∵AF＝CE，
∴AD﹣AF＝CB﹣CE，
∴DF＝BE，
在△CDF和△ABE中，
，
∴△CDF和≌△ABE（SAS），
∴CF＝AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵作CF⊥AD于点F，
∴∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
20．解：（1）在Rt△DCE中，DE＝70厘米，∠CED＝57°，
∵cos∠CED，
∴CE＝DE cos∠CED≈70×0.6＝42（厘米），
答：支架CE的长度约为42厘米；
（2）设水箱半径的长度为x厘米，
在Rt△DCE中，DE＝70厘米，∠CED＝57°，
∵sin∠CED，
∴CD＝DE sin∠CED≈70×0.8＝56（厘米），
∵斜面AB坡度为1：，
∴tanA，
∴∠A＝30°，
∵sinA，
∴，
解得：x＝19，
经检验，x＝19是原方程的根，
答：水箱半径的长度约为19厘米．
21．解：（1）50，7；
（2）由（1）知，m＝7，
等级为A的有：50﹣16﹣15﹣7＝12（人），
补充完整的条形统计图如图所示，
C等所在扇形圆心角的度数为：360°108°；
（3）1000×（24%+32%）
＝1000×56%
＝560（人），
即估计该校学生答题成绩良好以上的有560人；
（4）树状图如下所示：
由上可得，一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好都是男生的可能性有2种，
∴抽出的两名学生恰好都是男生的概率为．
22．（1）证明：连接OD，
∵∠BAC 的角平分线与⊙O 交于点D，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥DO，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODF＝∠E＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝10，，
∴BD2，
过点D作 DM⊥AB于点M，
∵S△ABD，
∴DM4，
∴AM8，
设BF＝x，
∵∠BAC 的角平分线与⊙O 交于点D，DE⊥AC，DM⊥AB，
∴DE＝DM，
∴CD＝BD，
在Rt△AED和Rt△AMD中，
，
Rt△AED≌Rt△AMD（HL），
∴AE＝AM，
∵DM＝4，
∴DE＝DM＝4，
∵AM＝8
∴AE＝AM＝8，
∵∠F＝∠F，∠ODF＝∠E＝90°，
∴△FDO∽△FEA，
∴，
∴，
∴x，
∴BF．
23．解：（1）根据题意得：，
解得：x＝600，
经检验，x＝600是所列方程的解，且符合题意．
答：x的值为600；
（2）设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工（22﹣m）天，
根据题意得：（600+300）m+600（22﹣m）≥15000，
解得：m≥6，
设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，则w＝3600m+2200（22﹣m），
即w＝1400m+48400，
∵1400＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝6时，w取得最小值，最小值＝1400×6+48400＝56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付56800元施工费用．
24．解：（1）根据表中数据，可发现L与F的乘积为定值245，
所以第六组数据是错误的，
正确应该是：L＝35时，F＝7；
（2）画出F与L的函数图象如图：
（3）因为F、L都是正数，
所以这条曲线是反比例函数的一支，
因为 FL＝245，
其函数表达式为：F；
（4）因为50×4.9＝245，
∴点（50，4.9）在这条曲线上．
25．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入，
得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（m，0），
由过点P作PF⊥AB交抛物线于点F，交直线BC于点E，得E（m，﹣m+3），F（m，﹣m2+2m+3），
由点P从点B匀速运动到点，得点E和F均在第一象限，
∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3），
当时，EF取得最大值，
∵S△CBF＝S△CEF+S△BEF，
∴S△CBF的最大值为；
（3）．
26．解：（1）CE，理由如下：
∵∠B＝90°，AB＝BC，
∴ACAB，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴CE；
（2）由（1）知：△ABD∽△ACE，
∴∠ABE＝∠ACE，∠ADE＝∠AEC，∠ADB＝∠AEC，
∴点A、B、C、E共圆，
∴∠AEC+∠ABC＝180°，∠BCE＝∠BAC＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝45°，
∵AB＝4，AD＝2，
∴AEAD＝2，
∴CE2；
（3）如图，
设AB与DE相交于点Q，作EF⊥BC于F，
∵△DBE∽△ABC，
∴∠BED＝∠ACB，∠DBE＝∠ABC＝90°，
∵AB平分DE，
∴DQ＝QE，
∴BQ＝EQQE，
∴∠ABE＝∠DEB＝∠ACB，
∵∠ABE+∠CBE＝90°，∠CBE+∠BEG＝90°，
∴∠ABE＝∠BEG，
∴∠BEG＝∠ACB，
∴BG＝BE sin∠BEG＝3 sin∠ACB＝3，
EG＝BE cos∠BEG＝3，
∴CG＝BC﹣BG＝6，
∴tan∠ECB．