(共22张PPT)
18.1.1 第1课时 平行四边形的边、角性质
八年级下
人教版
1. 理解平行四边形的概念；
2. 探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等；
3. 理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离.
学习目标
重点
重点
难点
重点
新课引入
平行四边形是常见的图形.小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等，都有平行四边形的形象.你还能举出一些例子吗
我们知道，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
新知学行四边形用“□”表示，如图，平行四边形 ABCD 记作“□ABCD”.
A
B
C
D
注意：四个顶点字母顺序按顺时针或逆时针书写.
一 平行四边形的边、角性质
认识平行四边形的基本元素：
A
B
C
D
边
角
对角线
对边：AB 与 CD；AD 与 BC
邻边：如：AB 与 AD；AB 与 BC；
AD 与 DC；DC 与 BC
对角：∠ADC与∠ABC；∠BCD与∠BAD
邻角：如∠ABC与∠DAB；
∠BCD与∠ADC等
对角线：AC，BD
由平行四边形的定义，你能得出它的什么性质？
性质：平行四边形的两组对边分别平行.
除此之外，平行四边形还有什么性质呢？
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系 它的角之间有什么关系 度量一下，你有什么猜想
探究
通过观察和度量，我们猜想：
① 平行四边形对边相等；
② 平行四边形对角相等.
你能证明这些猜想吗？
分析：上述猜想涉及线段相等、角相等.我们知道，利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法.为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明.
A
B
C
D
证明：如图，连接AC.
∵AB∥CD，AD∥BC,
∴∠1 = ∠2,∠3 = ∠4.
又AC是△CBA和△ADC的公共边.
∴△ADC≌△CBA
∴AB=CD，AD=BC. ∠B = ∠D.
又 ∠1 = ∠2,∠3 = ∠4.
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
即∠BAD =∠BCD.
1
2
3
4
不添加辅助线、你能否直接运用平行四边形的定义,证明其对角相等
证明：如图，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠B=180°，
∴∠A = ∠C.
同理，可得∠B = ∠D.
A
B
C
D
归纳
这样我们证明了平行四边形具有以下性质：
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等.
A
B
C
D
例1 如图，在 □ABCD 中，∠B = 40°，求其余三个角的度数.
解：∵平行四边形的对角相等，
∴∠D =∠B = 40°，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，∠C+∠B=180°，
∴∠A =∠C = 140°.
A
B
C
D
变式 如图，在 □ABCD 中，AD = 8，其周长为 24，求其余三条边的长度.
解：∵平行四边形的对边相等，
∴BC = AD = 8，AB = CD，
∵周长为 24，
∴AD + AB = 12，
∴AB = CD = 4.
A
B
C
D
二 两条平行线之间的距离
例2 如图，在□ABCD 中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为 E，F.
求证：AE = CF.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD = BC，∠A =∠C.
∵∠ AED =∠ BFC = 90°.
∴△ADE ≌△CBF
∴AE = CF.
距离是几何中的重要度量之一,前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离．在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍两条平行线之间的距离.
如图，a//b，c//d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.
由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB=CD.
也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
A
B
C
D
c
d
a
b
从上面的结论可以知道,如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
A
B
a
b
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
归纳
如图，a//b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的距离.
概念辨析：
1. 在 □ABCD 中，若∠A -∠B = 40°，则∠A = ______，∠B = ______.
2. 若平行四边形周长为 54cm，两邻边之差为 5cm，则这两边的长度分别为 ____________．
110°
70°
16cm，11cm
随堂练习
3. 如图，在 □ABCD 中，∠ABC 的平分线交 CD 于点 E，∠ADE 的平分线交 AB 于点 F，试判断 AF 与 CE 是否相等，并说明理由.
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴∠ABC = ∠ADC，∠A = ∠C，AD = CB，
又∵BE 与 DF 分别是∠ABC 和∠ADC 的角平分线，
∴∠ CBE = ∠ADF.
在△ADF 与△CBE 中，
∠A = ∠C，
AD = CB，
∠ADF = ∠CBE，
∴△ADF ≌ △CBE (ASA)
∴AF = CE.
4.如图，直线 AE//BD，点 C 在 BD上，若AE=5，BD=6，△ABD的面积为18，则△ACE的面积为 .
解：设直线AE与直线BD之间的距离为h.
所以.
A
B
C
D
E
15
1. 平行四边形的基本元素有哪些？
A
B
C
D
边
角
对角线
对边：AB 与 CD；AD 与 BC
邻边：如：AB 与 AD；AB 与 BC；
AD 与 DC；DC 与 BC
对角：∠ADC与∠ABC；∠BCD与∠BAD
邻角：如∠ABC 与∠DAB；
∠BCD 与∠ADC 等
对角线：AC，BD
课堂小结
性质
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等.
平行四边形的
边、角性质
两条平行线
之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．(共16张PPT)
18.1.1 第2课时 平行四边形对角线的性质
八年级下
人教版
1.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分；
2.会利用平行四边形对角线的性质解决几何问题.
学习目标
重点
难点
我们已经学过的平行四边形的性质有哪些？
A
B
C
D
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等.
新课引入
上节课我们研究了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质，
下面我们研究平行四边形对角线的性质.
探究
如图，在 □ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系？
你能证明你的猜想吗？
新知学习
猜想：OA = OC，OB = OD.
已知，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O.
求证：OA = OC，OB = OD.
证明：∵AB∥CD，
∴∠1 =∠2，∠3 =∠4，
∵AB = CD，
∴△COD≌△AOB
∴OA=OC ,OB=OD
归纳
平行四边形的对角线互相平分.
我们证明了平行四边形具有以下性质：
1. 平行四边形的对边相等；
2. 平行四边形的对角相等；
3. 平行四边形的对角线互相平分.
由此我们又得到平行四边形的一个性质：
解： ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ BC=AD=8，CD=AB=10.
∵ AC⊥BC
∴△ABC是直角三角形.
∴AC=
例1 如图，在□ ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC，CD ， AC ， OA的长，以及□ABCD的面积.
又OA=OC ，
∴OA=AC=3
∴S□ ABCD=BC·AC=8×6=48.
变式一 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC 和BD交于点O，直线 EF 过点 O，且与 AB，CD 分别相交于点 F，E.
求证：OE = OF.
证明：∵AB∥CD.
∴∠ODE = ∠OBF，∠DEO = ∠BFO，
∵OB = OD，
∴△DOE≌△BOF
∴ OE=OF
例2 如图，在 □ABCD 中，E、F 分别是 OA，OC 的中点. 试探究线段 BE 和 DF 有怎样的关系.
注意考虑数量关系和位置关系哦！可以从全等三角形的角度来考虑.
解：BE = DF 且 BE∥DF.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
又∵E、F 分别是 OA、OC 的中点，
∴OE = ，OF = ，∴OE=OF
在△BOE和△DOF中
OB=OD
∠BOE=∠DOF
OE=OF
∴△BOE≌△DOF
∴ BE=DF ，∠OEB=∠OFD
∴ BE∥DF.
1. □ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O，若 AC = 8，BD = 6，则边 AB 长的取值范围是 _________.
1
2. □ABCD 的周长为 60cm，其对角线交于 O 点，若△AOB 的周长比△BOC 的周长多 10cm， 则 AB = ______，BC = ______.
20cm
10cm
随堂练习
3. 有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形对边相等，对角相等；
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成 4 个面积相等的小三角形.
其中正确说法的序号是 ( ).
A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④
D
4. 已知：如图，在 □ABCD 中，点 E 在 AC 上，AE = 2EC，点 F 在 AB 上，BF = 2AF，若 △BEF 的面积为 2cm2，求 □ABCD 的面积．
证明：∵BF = 2AF，△BEF 的面积为 2cm2 ，
∴△AEF 的面积为 1cm2，
∴△AEB 的面积为 3cm2，
∵AE = 2EC，
∴△CEB 的面积为 cm2，
∴△ACB 的面积为 cm2，
又∵平行四边形的对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形，
∴□ABCD 的面积为 9cm2.
1. 我们学行四边形的哪些性质？
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分.
课堂小结