18.1.2平行四边形的判定 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
18.1.3 平行四边形的判定
八年级下
人教版
1.探索并证明平行四边形的判定定理.
2.能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明.
学习目标
重点
难点
平行四边形的性质有哪些？
平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.
该怎样判定一个四边形是平行四边形呢？
新课引入
问题1 如何寻找平行四边形的判定方法？
类比直角三角形的判定，你有思路了吗？
新知学习
问题2 在过去的学习中，类似的情况还有吗？请举例说明.
两直线平行，同位角相等.
同位角相等，两直线平行.
角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
我们发现：性质和判定互为逆命题.
性质
判定
平行四边形的性质 猜 想 (判 定)
对边相等
对角相等
对角线互相平分
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
逆向思考，提出猜想：
这些猜想正确吗？
猜想1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
如图，在四边形 ABCD 中，AB = CD，AD = BC.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
证明：连接 BD,如图.
∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，
∴△ABD ≌ △CDB
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴AB∥DC，AD∥BC
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
1
2
3
4
归纳
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定定理1：
A
B
C
D
数学语言：
∵ AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
猜想2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
证明：∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°.
∴AD∥BC，AB∥DC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
归纳
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定定理2：
A
B
C
D
数学语言：
∵ ∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
猜想3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，且 OA = OC，OB = OD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵ OA = OC，OB = OD，
∠AOD = ∠COB
∴△AOD ≌ △COB
∴∠OAD = ∠OCB.
∴AD∥BC
同理 AB∥DC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
归纳
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形判定定理3：
数学语言：
A
B
C
D
O
∵ OA=OC , OB=OD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
由上我们知道，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理.也就是说，当定理的条件与结论互换以后,所得命题仍然成立.
这张图揭示了定义、性质、判定间的逻辑关系，提供了研究几何图形的一般思路.
例1 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F是 AC上的两点，并且 AE=CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
A
B
C
D
O
E
F
分析：点E，F在平行四边形的对角线上，可考虑利用对角线互相平分来证明四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO=CO， BO=DO.
∵ AE=CF,
∴ AO-AE=CO-CF， 即EO=FO.
又 BO=DO,
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
A
B
C
D
O
E
F
变式 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别在 AC 两侧的延长线上，且 AE=CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
O
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD，
∵AE = CF，OE = AO + AE，OF = OC + CF，
∴OE = OF，
又∵OB = OD，
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
思考
我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗
如图，在四边形 ABCD 中，AB = DC，AB∥DC.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：连接 AC，如图.
∵AB∥DC ∴∠1 = ∠2，
又 AB = DC，AC = AC
∴△ABC ≌△CDA
∴AD = BC
∴四边形 ABCD 的两组对边分别相等，它是平行四边形.
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
1
2
归纳
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定定理4：
A
B
C
D
∵ AB//CD，AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
数学语言：
归纳
平行四边形的判定方法：
1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2. 判定定理：
(1) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(2) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
(3) 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(4) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
例2 如图，在 □ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点.
求证：四边形 EBFD 是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，DF //EB，
又 DF = DC，EB = AB.
∴DF = EB，
∴四边形 EBFD 是平行四边形.
随堂练习
1. 如图是乐乐家中的鞋架及其侧面简易图，若AB＝CD，AF＝CE，∠B＝∠D＝90°，∠BAE＝∠DCF.求证：四边形AECF为平行四边形．
第1题图
例　证明：在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE＝CF，
又∵AF＝CE，
∴四边形AECF为平行四边形．
第1题图
2.如图，已知在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线. 求证：四边形AFCE是平行四边形.
D
C
B
A
E
F
分析：已知AF∥CE，利用定义法来证明FC∥AE 进而证明平行四边形；也可通过两组对角分别相等来证明平行四边形.
又∵ AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线,
∴∠DAE=∠BAE=∠DCF=∠BCF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵AD∥BC,
∴ ∠DFC=∠FCB,∠DAE=∠AEB,
∴ ∠AFC=∠AEC,
D
C
B
A
E
F
3.如图，分别以 Rt△ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ACD、等边△ABE. 且∠BAC = 30°，EF⊥AB，垂足为 F，连接 DF.
(1) 试说明 AC = EF；
解：(1) 在 Rt△ABC 中，∠BAC = 30°，∴BC = AB，
∵△ABE 是等边三角形，EF⊥AB，
∴AF = AB，∴BC = AF，
∵△ABE 是等边三角形，
∴AB = AE，∴Rt△FEA ≌ Rt△CAB (HL)，
∴AC = EF.
(2) 求证：四边形 ADFE 是平行四边形.
证明：∵△ACD 是等边三角形，∴∠DAC = 60°，
∵∠BAC = 30°. ∴∠BAD = 90°，
∵EF⊥AB，∴∠AFE = 90°.
∴∠BAD = ∠AFE，
∴AD∥EF，
∵△ACD 是等边三角形，AC = AD，
∵AC = EF，∴AD = EF.
∴四边形 ADFE 是平行四边形.
判定一个四边形是平行四边形可从哪些角度思考？
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
从边考虑
从角考虑
从对角线考虑
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
课堂小结